第五单元分数四则混合运算教材分析

本单元在分数四则计算和简单应用的基础上编排 主要教学分数四则混合运算和 稍复杂的求一个数的几分之几是多少的实际问题 这部分内容是五年级下册以来教学 的分数知识的综合 提高和总结 对学生掌握并应用分数知识有很大的影响 教学这 部分内容能够有效地提高学生的计算能力 思维能力和解决问题的能力 也有利于学 生增强学习数学的热情 全单元编排三道例题 具体安排见下表 例 1 按运算顺序或者按运算律计算分数四则混合运算 例 2 例 3 两步计算的求一个数的几分之几是多少的实际问题 从表格里可以看到 例 1 教学分数四则混合运算 内容的容量相当大 不仅有按 照四则混合运算的运算顺序计算 还有应用运算律的简便计算 教材把混合运算的两 个内容结合起来同时教学 是考虑到学生对整数四则混合运算的顺序已经相当熟悉 对整数加法与乘法的运算律掌握得较好 这些知识与经验在分数四则混合运算里仍然 适用 具有较好的迁移条件和较大的迁移空间 另外 混合运算顺序与运算律结合着 教学 学生就需要有选择地使用运算知识 尽量使计算比较简便 这对提高运算能力 十分有利 编排两道例题教学两步计算的求一个数的几分之几是多少的问题 不只是因为这 样的问题稍复杂些 更是因为它们的数量关系与两步计算的求一个数的百分之几是多 少的问题相一致 而且还是列方程解答相应的分数 百分数除法问题的重要基础 对 以后的教学有十分重要的影响 过去的小学数学教材在分数四则混合运算单元里 总要安排两步计算的分数除法 应用题 本单元没有这方面的内容 这是由于本册教科书采用列方程的方法解决分数 除法实际问题 并且和相应的百分数除法问题一起教学 一并安排在 百分数 单元 里教学 本单元只教学两步计算的分数乘法问题 可以在它的数量关系上多投放一些 时间与精力 为后面的教学打下扎实的基础 课程标准只安排分数的四则计算和四则混合运算 没有把分数与小数的混合运算 列为教学内容与要求 所以 本单元没有分数与小数的四则计算和混合运算 一 例 1 通过一题两解 同时教学运算顺序和运算律的知识 例 1 结合解决实际问题教学混合运算的知识 求做两种中国结一共用彩绳多少米 由于这个问题具有特殊性 两种中国结的个数相同 两种中国结每个用彩绳的长度不 同 所以它有不同的解法 教材充分利用这一特殊性 鼓励学生按不同的思路解答 列出综合算式 2 5 18 3 5 18 和 2 5 3 5 18 让他们逐个解释综合算式的结构与含 义 体会分数四则混合运算的运算顺序 第一个算式的思路是先分别求出两种中国结 各用彩绳多少米 因此要先算式子里的乘法 第二个算式的思路是先求两种中国结各 做一个要用彩绳多少米 所以应先算括号里面的 像这样联系解决实际问题的思路体 会算式的运算顺序 一方面感受了运算顺序的合理性 另一方面感受了分数的这些运 算顺序和整数的运算顺序完全一致 两道综合算式解决同一个问题 有相同的结果 能够组成等式 2 5 18 3 5 18 23 3 5 18 而这个等式表示整数乘法分配律在分数 乘法中同样适用 由于加法交换律和结合律在五年级下册分数加法里已经教学 本册 教科书第三单元计算分数连乘 把各个乘数的分子 分母交叉约分 已经在应用乘法 交换律和结合律 所以本单元着重教学乘法分配律 并由此归纳出 整数的运算律在 分数运算中同样适用 的结论 接着例 1 编排的 练一练 里有两道计算题 第 1 题按运算顺序进行计算 要求 学生 先说出运算顺序 再计算 遵循先算乘 除法 后算加 减法的计算顺序 题 目中的分数除法需要转化成分数乘法计算 应该特别细心地处理好这些转化 第 2 题 的第一小题可以用简便方法计算 要启发学生找到可以简便计算的因素 把 1 5 7 6 变成 1 5 6 7 创造应用乘法分配律的条件 整数四则混合运算的简便计算因素比较 明显 而分数四则混合运算的简便计算因素往往比较隐蔽 需要认真审题来发现和利 用 第二小题计算 12 7 1 3 7 15 4 5 按运算顺序算出 1 3 7 15 的商 5 7 以后 应采用减法性质进行简便运算 在四则混合运算的过程中关注能简便计算的机会 这 是教材提出的新要求 也是学生计算能力逐步提升的一种表现 二 例 2 和例 3 利用线段图表示较复杂问题的数量关系 在分数乘法那个单元里 教学了一步计算的求一个数的几分之几是多少的实际问 题 学生已经会用分数乘法解决这样的实际问题 本单元的例 2 和例 3 都是稍复杂些 的分数乘法问题 不仅含有求一个数的几分之几是多少的数量关系 还含有两个数相 并或相差的数量关系 因而比一步计算的问题要复杂些 分析数量关系是两道例题的教学重点 教材利用线段图直观显示数量关系 采用 先画出一些 让学生继续画下去的方式 帮助他们形成解题思路 例 2 已经画了一条 线段 用来表示六年级参加学校运动会的 45 个同学 要求学生在线段上表示出 男运 动员占 5 9 引导他们在表示男运动员人数的同时 想到线段的另一部分表示女运动 员的人数 很自然地得出数量关系 运动员总人数 男运动员人数 女运动员人数 形成先算男运动员的人数 再算女运动员有多少人的思路 例 3 已经画了一条表示去 年 24 个班级的线段 要求学生继续画表示今年班级数的线段 体会 今年的班级数比 去年增加 1 6 的含义 在线段图上看到今年班级数与去年班级数的关系 得出数量关 系 24 今年比去年增加的班级数 今年的班级数 产生先算今年增加几个班 再算 今年有多少个班的思路 教材恰到好处地使用了线段图 先画出一些 把学生引到线 段图前面 再让学生接着画图 体会重要信息里的数学内涵 在画图过程中理解数量 关系 形成解题思路 教学应该重视画图活动 把学生 会画图 会用图 作为教学 的内容与任务 让他们体会画图有助于理解数量关系和解题步骤 积累画图与用图的 经验 进一步充实曾经教学的画图策略 具体些说 要注意三点 首先找到实际问题 里已知的那个分数并分析其意义 理解运动员总人数和去年的班级数都是可以看作单 位 1 的数量 画出表示运动员总人数和去年班级数的线段 才能继续表示男 女运 动员人数和今年的班级数 这是分析 男运动员人数占 5 9 以及 今年班级数比去年 增加 1 6 这两个条件中分数的意义 得出的画图思路 其次要使学生理解 男运动员 人数是运动员总人数的一部分 可以表示在运动员总人数的线段图上 今年的班级数 与去年的班级数之间是比较关系 不存在包含与被包含关系 因此要各画一条线段分 别表示 然后要让学生看着画成的线段图 口述女运动员人数与运动员总人数 男运 动员人数的关系 得出数量关系式 女运动员人数 运动员总人数 男运动员人数 口 述今年班级数与去年班级数 今年比去年增加的班级数的关系 得出数量关系式 今 年班级数 去年班级数 今年比去年增加的班级数 感受线段图是表示数量关系的手段 是形成解题思路 解决问题的有效工具 过去教学像例 2 和例 3 这样的实际问题 非常提倡一题多解 就例 2 来说 要根 据 运动员总人数减男运动员人数得女运动员人数 列出算式 45 45 5 9 还要根据 女运动员人数占运动员总人数的 1 5 9 列出算式 45 1 5 9 而且十分赞赏后面 一种算式 鼓励学生列这样的式子解题 再说例 3 要根据 去年的班级数加今年比去 年多的班级数得今年的班级数 列出算式 24 24 1 4 还要根据 今年的班级数是去 年的 1 1 4 列出算式 24 1 1 4 也是鼓励学生列后面一种算式解题 本单元教学 的两道例题 只出现前面一种算式 只要求用前面一种数量关系解题 因为这些解法 的数量关系 是实际问题中最基本的数量关系 人们比较熟悉 容易寻找 喜欢使用 而学生对这些数量关系的理解和掌握程度也比较好 用来解题的困难也小 更重要的 是 这些数量关系也是列方程解答其他分数 百分数问题的相等关系 对以后的教学 影响很大 直至初中数学里还会经常应用 至于后面一种解法 要从一个已知的分率 联想其他的分率 思维比较抽象 对推理的要求也比较高 往往需要进行分率联想的 专项训练 也许解答两步计算的分数问题 列后一种算式解答 算起来比较快些 但 如果解决更加复杂的问题 就不太方便了 所以教材不提倡用这样的方法解题 如果 学生确实独立想到这些解法 应该给予肯定 但是 不必要求其他学生也照着做 要 使这两道例题的教学 做到着眼今后 突出重点 减轻负担 两道例题都很重视对答案的检验 都提出了验算要求 每道题的检验方法也是多 样的 学生只要选择一种方法检验结果就够了 例 2 可以检验算出的女运动员人数是 不是占运动员总人数的 4 9 或者检验男运动员人数与女运动员人数之和是不是 45 人 例 3 可以检验今年班级数是不是比去年多 1 6 或者检验今年班级数减今年比去 年增加的班级数是不是等于去年的班级数 两道例题都很重视解题以后的回顾反思 应该围绕分析数量关系 利用线段图 检验结果等解题的主要环节 组织学生说说怎样想 怎样做 从而积累解决问题的经 验 提高解决问题的能力 还可以围绕这两题为什么都需要两步计算 它们与以前学 习的分数实际问题有什么不同等进行反思 体会自己的进步 增强学习数学的自信心 练习十三配合例 2 和例 3 的教学 解答两步计算的分数乘法问题时 要组织学生 想想 说说数量关系和解题步骤 适当画些线段图 不仅要关注列式计算是否正确 更要关注数学思维的展开与解题思路的形成 以培养良好的解题习惯 教材里设计了 一些题组 通过解题前 后的比较 能够进一步整理数量关系 明晰思路 1 一步 计算问题和两步计算问题的对比题组 第 7 题的两个问题是连续的 利用已知的 地 下电缆全长 840 米 和 已经铺设了 3 5 可以先求已经铺设的米数 再求还要铺设 的米数 对两个所求问题进行比较 要突出分数乘法的数量关系 电缆全长 已经铺 设的分率 已经铺设的长度 引导学生把已有的 从条件向问题推理 应用到解决分 数问题里来 第 13 题是一道一步计算问题和一道两步计算问题组成的题组 都已知一 根钢条长 5 8 米 各有一个分率 1 4 不过 一道题是用去 1 4 另一道题是还剩 1 4 所以 5 8 1 4 5 32 米 依据的是不同的数量关系 如果分率表示用去 1 4 那么求出的 5 32 米是用去的长度 如果分率表示还剩 1 4 那么求出的 5 32 米 是剩下的长度 尽管两道题都是求还剩多少米 但由于 5 32 米在两道题里的具体意义 不同 使两道题的解答步骤也就不同 2 多几分之几 和 少几分之几 的题组 第 8 题的两小题都已知 10 岁儿童平均每分钟心跳大约 90 次 一道题里新生儿平均每 分钟心跳次数比 10 岁儿童 多 1 2 另一道题里青少年平均每分钟心跳次数比 10 岁 儿童 少 1 5 比较这两个分率的意义 就能体会多几分之几和少几分之几的不同 3 分率和具体数量对比的题组 第 15 题的两道题里设计了两个意义不同的 1 8 其中一个 1 8 表示实际节约用煤的吨数相当于计划用煤吨数的份额 另一个 18 是实际 节约用煤的吨数 由于实际节约用煤的吨数在两道题里分别直接已知或者不是直接已 知 求实际用煤多少吨的算法自然就不同了 4 有 互逆 关系的题组 第 1 4 题 中 一道题的已知条件是另一道题的所求问题 一道题的所求问题是另一道题的已知 条件 先解答第一小题 得到 蓝鲸每小时游 3 5 千米 把它作为已知条件 把已知 的 海豚每小时游 50 千米 改作问题 就编出了第二小题 反之 先解答第二小题 得到 海豚每小时游 50 千米 把它作为已知条件 把已知的 蓝鲸每小时游 3 5 千 米 改作问题 就编出了第一小题 这种有互逆关系的题组 有助于学生把握分数问 题里的数量关系 也为检验答案提供了一条线索 三 编排一次 动手做 培养探索规律的兴趣 提高概括能力 本单元的最后是一次 动手做 分三个层次进行 第一个层次要求在方格纸上画一个长 6 厘米 宽 4 厘米的长方形 再把这个长方 形的长和宽分别增加 1 2 计算新长方形面积是原来长方形的几分之几 这个层次里有 画图形 放大图形 计算面积 求几分之几等活动 得到的结果是新长方形面积是原 来长方形面积的 9 4 第二个层次要求任意画几个长方形 把每个长方形的长和宽分别增加 1 2 算出每 个新长方形面积是原来长方形的几分之几 得到的结果是各个新长方