湖南省湘潭市2016届中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 27 页） 2016 年湖南省湘潭市中考数学一模试卷 一、选择题（本题共 8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3分，满分 24分） 1 的倒数是（ ） A B C D 2中国 是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水若每人每天浪费水 么 100 万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（ ） A 07L B 06L C 05L D 04L 3下列说法正确的是（ ） A掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后， 6 点朝上是必然事件 B甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 S 甲 2=S 乙 2=甲的射击成绩较稳定 C “明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨 D了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 4分式 可变形为（ ） A B C D 5如图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 6已知正三角形外接圆半径为 2，这个正三角形的边长是（ ） A 2 B C 3 D 2 7如图 ，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与 似的是（ ） 第 2 页（共 27 页） A B C D 8抛物线 与 x 轴的两个不同交点是点 O 和点 A，顶点 B 在直线 上，则关于 判断正确的是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 二、填空题（本题 8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3分，满分 24分） 9计算：（ 3） 0+3 1= 10如图， ，点 D、 E 分别在边 ， ， ， ，则 11如图，直线 y=双曲线 y= （ x 0）交于点 A（ 1， a），则 k= 12有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 13如图，点 O 在直线 ，射线 分 5，则 第 3 页（共 27 页） 14如图，两根铁棒直 立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ，两根铁棒长度之和为 220时木桶中水的深度是 15如图， O 的弦，半径 ， ，则弦 长为 16如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米 三、解答题（本题共 10个小题，解答应写出说明、证明或演算步骤，请解答过程写在答题卡相应位置上，满分 72分） 17已知： a= ， b=| 2|， 求代数式： a2+b 4c 的值 第 4 页（共 27 页） 18先化简，再求值： ，其中 x= 19解不等式组： ，并求出其整数解 20如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 得杆顶端点 P 的仰角是 45，向前走 6m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30 （ 1）求 度数； （ 2）求该电线杆 高度（结果精确到 1m） 备用数据： ， 21我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导 “节约用水从我做起 ”，小刚在他所在班的 50 名同学中，随机调查了 10 名同学家庭中一年的月均用水量单位： t，并将调查结果绘成了如下的条形统计图： （ 1）求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数； （ 2）根据样本数据，估计小刚所在 班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有多少户？ 22如图， E， F 是四边形 对角线 两点， E， E， 求证： （ 1） （ 2）四边形 平行四边形 第 5 页（共 27 页） 23如图，已知直线 y= x+3 分别与 x， y 轴交于点 A 和 B （ 1）求点 A， B 的坐标； （ 2）求原点 O 到直线 l 的距离； （ 3）若圆 M 的半径为 2，圆心 M 在 y 轴上，当圆 M 与直线 l 相切时，求点 M 的坐标 24如图，点 C 是以 直径的 O 上的一点， 过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D （ 1）求证： 分 （ 2）若 ， ，求 O 的半径长 25某宾馆有客房 100 间供游客居住，当每间客房的定价为每天 180 元时，客房会全部住满当每间客房每 天的定价每增加 10 元时，就会有 5 间客房空闲（注：宾馆客房是以整间出租的） （ 1）若某天每间客房的定价增加了 20 元，则这天宾馆客房收入是 元； （ 2）设某天每间客房的定价增加了 x 元，这天宾馆客房收入 y 元，则 y 与 x 的函数关系式是 ； （ 3）在（ 2）中，如果某天宾馆客房收入 y=17600 元，试求这天每间客房的价格是多少元？ 26如图，已知抛物线 y=x+c 经过 A（ 4， 0）， B（ 1， 0）两点， （ 1）求该抛物线的解析式； 第 6 页（共 27 页） （ 2）在 直线 方的该抛物线上是否存在一点 D，使得 面积最大？若存在，求出点 积的最大值；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 27 页） 2016年湖南省湘潭市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3分，满分 24分） 1 的倒数是（ ） A B C D 【考点】 倒数 【分析】 直接根据倒数的定义求解 【解答】 解： 的倒数是 ， 故选 C 【点评】 本题考查了倒数的定义： a 的倒数为 （ a0） 2中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水若每人每天浪费水 么 100 万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（ ） A 07L B 06L C 05L D 04L 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 首先算出 100 万 20000，再利用科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与 小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 100 万 20000 用科学记数法表示为： 05 故选： C 【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3下列说法正确的是（ ） A掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后， 6 点朝上是必然事件 第 8 页（共 27 页） B甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 S 甲 2=S 乙 2=甲的射击成绩较稳定 C “明天降雨的概率为 ”，表示明天有半天都在降雨 D了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 【考点】 方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义 【分析】 利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断 【解答】 解： A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后， 6 点朝上是可能事件，此选项错误； B、甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是 S 甲 2=S 乙 2=甲的射击成绩较稳定，此选项正确； C、 “明天降雨的概率为 ”，表示明天有可能降雨，此选项错误； D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误； 故选 B 【点评】 本题主要考查了方差、全面调查与抽样调查、随机事件以及概率的意义等知识，解答本题的关键是熟练掌握方差性质、概率的意义以及抽样调查与普查的特点，此题难度不大 4分式 可变形为（ ） A B C D 【考点】 分式的基本性质 【分析】 先提取 1，再根据分式的符号变化规律得出即可 【解答】 解： = = ， 故选 D 【点评】 本题考查了分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，变换其中的两个，分式的值不变 5如图为主视图方向的几何体，它的俯视图是（ ） 第 9 页（共 27 页） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 找到从上面看所得到的图形即可 【解答】 解：从上面看可得到三个左右相邻的长方形，故选 D 【点评】 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 6已知正三角形外接圆半径为 2，这个正三角形的边长是（ ） A 2 B C 3 D 2 【考点】 正多边形和圆；勾股定理；垂径定理 【专题】 计算题 【分析】 易得正三角形的中心角 为 120，那么中心角的一半为 60，利用 60的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以 2 即为正三角形的边长 【解答】 解：如图 ，求 60 3=120 连接 点 C， B， 0， A 故选 A 【点评】 考查有关正多边形和圆的相关计算；利用垂径定理和相应的三角函数知识得到 值是解决本题 的关键 7如图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与 似的是（ ） 第 10 页（共 27 页） A B C D 【考点】 相似 三角形的判定 【专题】 网格型 【分析】 设小正方形的边长为 1，根据已知可求出 边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案 【解答】 解： 小正方形的边长均为 1 边分别为 2， ， 同理： A 中各边的长分别为： ， 3， ； B 中各边长分别 为： ， 1， ； C 中各边长分别为： 1、 2 ， ； D 中各边长分别为： 2， ， ； 只有 B 项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 故选 B 【点评】 此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用 8抛物线 与 x 轴的两个不同交点是点 O 和点 A，顶点 B 在直线 上，则关于 判断正确的是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【考点】 二次函数综合题 【分析】 利用二次函数的顶点式公式，即可得出顶点 B 的坐标，代入直线中，即可得出 b 的值，从而可得出 O 点和 A 点在坐标，利用由三 角函数求角 度数，即可判断 形状 【解答】 解：抛物线 ， 即顶点 B 的坐标为（ b， 第 11 页（共 27 页） 代入直线 中， 得 ， 得 b= ， b=0（舍去）， 即可得出 O（ 0， 0）、 A（ ， 0）， B（ ， ）； ，可得 20； 根据抛物线的对称性，可知 O； 故 等腰三角形 故选 A 【点评】 本题主要考查了抛物线的性质及其顶点坐标公式的使用，本题具有一定的综合性，需要同学们理清题意，认真完成题目 二、填空题（本题 8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3分，满分 24分） 9计算：（ 3） 0+3 1= 【考点】 负整数指数幂；零指数幂 【分析】 根据任何非零数的零次幂等于 1，有理数的负整数指数次幂等于正整数次幂的倒数进行计算即可得解 【解答】 解：（ 3） 0+3 1=1+ = 故答案为： 【点评】 本题主要考查了零指数幂，负指数幂的运算负整数指数为正整数指数的倒数；任何非 0数的 0 次幂等于 1 10如图， ，点 D、 E 分别在边 ， ， ， ，则 【考点】 平行线分线段成比例 第 12 页（共 27 页） 【分析】 根据平行线分线段成比例定理即可直接求解 【解答】 解： ， 即 ， 解得： 故答案为： 【点评】 本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是解题的关键 11如图，直线 y=双曲线 y= （ x 0）交于点 A（ 1， a），则 k= 2 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问 题 【分析】 直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可 【解答】 解： 直线 y=双曲线 y= （ x 0）交于点 A（ 1， a）， a=2， k=2， 故答案为： 2 【点评】 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，利用图象上点的坐标性质得出是解题关键 12有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 【考点】 概率公式；轴对称图形；中心对称图形 【分析】 由正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆，利用概率公式即可求得答案 【解答】 解： 正三角形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的是正方形、圆， 第 13 页（共 27 页） 既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是： 故答案为： 【点评】 此题考查了概率公式的应用注意概率 =所求情况数与总情况数之比 13如图，点 O 在直线 ，射线 分 5，则 110 【考点】 角平分线的定义 【分析】 首先根据角平分线定义可得 0，再根据邻补角的性质可得 度数 【解答】 解： 射线 分 5， 0， 80 70=110， 故答案是： 110 【点评】 此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线 把角分成相等的两部分 14如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ，两根铁棒长度之和为 220时木桶中水的深度是 80 【考点】 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用 【分析】 设水的深度为 据两根铁棒露出水面的长度占自身长度的比例，可得第一根的长度为 x，另一根的长度为 x，根据两根铁棒长度之和为 220方程求解 【解答】 解：设水的深度为 第 14 页（共 27 页） 由题意得， x+ x=220， 解得： x=80， 即水深 80 故答案为： 80 【点评】 本题考查了 一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解 15如图， O 的弦，半径 ， ，则弦 长为 【考点】 垂径定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 【分析】 作 D根据垂径定理和三角函数求解 【解答】 解：作 D ， = ， ， = ， 【点评】 此题主要考查了垂径定理、锐角三角函数的定义和勾股定理 16如图， 小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 第 15 页（共 27 页） 【考点】 二次函数的应用 【专题】 压轴题 【分析】 根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答 【解答】 解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为 x 轴，左边树为 y 轴建立平面直角坐标系， 由题意可得 A（ 0， B（ 2， C（ 1） 设函数解析式为 y=bx+c 把 A、 B、 C 三点分别代入得出 c=时可得 4a+2b+c=c=1 解之得 a=2， b= 4， c= y=24x+（ x 1） 2+ 2 0 当 x=1 时， y= 故答案为： 【点评】 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 三、解答 题（本题共 10个小题，解答应写出说明、证明或演算步骤，请解答过程写在答题卡相应位置上，满分 72分） 第 16 页（共 27 页） 17已知： a= ， b=| 2|， 求代数式： a2+b 4c 的值 【考点】 代数式求值 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 将 a， b 及 c 的值代入计算即可求出值 【解答】 解：当 a= ， b=| 2|=2， c= 时， a2+b 4c=3+2 2=3 【点评】 此题考查了代数式求值，涉及的知识有：二次根式的化简，绝对值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18先化简，再求值： ，其中 x= 【考点】 分式的化简求值；分母有理化 【专题】 计算题 【分析】 本题要先将分式化简，再把 x 的值代入求解 【解答】 解：原式 = = = = ， 当 x= 时，原式 = = +1 【点评】 分式的混合运算，要特别注意运算顺序以及符号的处理 19解不等式组： ，并求出其整数解 【考点】 一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组 【分析】 先分别解两个不等式，再找出两个解集的公共部分即可，然后从不等式组解集中找出整数解 第 17 页（共 27 页） 【解答】 解： ， 解不等式 得， x ， 解不等式 得， x 2， 原不等式组的解集为 x 2； 这个不等式组的整数为 1、 0、 1 【点评】 本题考查了解一元一次不等式组，解 题的关键是注意大小小大取中间 20如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 得杆顶端点 P 的仰角是 45，向前走 6m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60和 30 （ 1）求 度数； （ 2）求该电线杆 高度（结果精确到 1m） 备用数据： ， 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （ 1）延 长 直线 点 E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； 92）设 PE=x 米，在直角 直角 ，根据三角函数利用 x 表示出 据 E 可列出方程求得 x 的值，再在直角 利用三角函数求得 长，则 长度即可求解 【解答】 解：延长 直线 点 E， （ 1） 0 60=30； （ 2）设 PE=x 米 在直角 ， A=45， 则 E=x 米； 0 第 18 页（共 27 页） 0 在直角 ， x 米， E 米， 则 x x=6， 解得： x=9+3 则 3 +3）米 在直角 ， （ 3 +3） =（ 3+ ）米 E +3 （ 3+ ） =6+2 9（米） 答：电线杆 高度约 9 米 【点评】 本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得 长度是关键 21我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导 “节约用水从我做起 ”，小刚在他所在班的 50 名同学中，随机调查了 10 名同学家庭中一年的月均用水量单位： t，并将调查结果绘成了如下的条形统计图： （ 1）求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数； （ 2）根据样本数据，估计小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有多少户？ 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数 【专题】 图表型 第 19 页（共 27 页） 【分析】 （ 1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家 庭中一年的月均用水量再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解； （ 2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过 7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体 【解答】 解：（ 1）观察条形图，可知这组样本数据的平均数是： 这组样本数据的平均数为 t） 在这组样本数据中， 现了 4 次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 t） 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 有 ， 这组数据的中位数是 t） （ 2） 10 户中月均用水量不超过 7t 的有 7 户， 有 50 =35 根据样本数据，可以估计出小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有 35 户 【点评】 本题考查的是条形统计图的运用 读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 掌握平均数、中位数和众数的计算方法 22如图， E， F 是四边形 对角线 两点 ， E， E， 求证： （ 1） （ 2）四边形 平行四边形 【考点】 平行四边形的判定；全等三角形的判定 第 20 页（共 27 页） 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（ 这一判定定理容易证明 （ 2）由 易证明 C 且 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解答】 证明：（ 1） 又 E， E， （ 2）由（ 1）知 C， 四边形 平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【点评】 此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有： 行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 23如图，已知直线 y= x+3 分别与 x， y 轴交于点 A 和 B （ 1）求点 A， B 的坐标； （ 2）求原点 O 到直线 l 的距离； （ 3）若圆 M 的半径为 2，圆心 M 在 y 轴上，当圆 M 与直线 l 相切时，求点 M 的坐标 第 21 页（共 27 页） 【考点】 一次函数综合题 【专题】 综合题 【分析】 （ 1）对于直线解析式，分别令 x 与 y 为 0，求出 y 与 x 的值，即可确定出 A 与 B 的坐标； （ 2）利用点到直线的距离公式求出原点 O 到直线 l 的距离即可； （ 3）设 M 坐标为（ 0， m），确定出 两种情况考虑：若 M 在 B 点下边时， m；若M 在 B 点上边时， BM=m 3，利用相似三角形对应边成比例求出 m 的值，即可确定出 M 的坐标 【解答】 解：（ 1）对于直线 y= x+3， 令 x=0，得到 y=3；令 y=0，得到 x=4， A（ 4， 0）， B（ 0， 3）； （ 2）直线整理得： 3x+4y 12=0， 原点 O 到直线 l 的距离 d= = ； （ 3）设 M 坐标为（ 0， m）（ m 0），即 OM=m， 若 M 在 B 点下边时， m， = 0， = ，即 = ， 解得： m= ，此时 M（ 0， ）； 若 M 在 B 点上边时， BM=m 3， 同理 有 = ，即 = ， 解得： m= 此时 M（ 0， ） 第 22 页（共 27 页） 【点评】 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 24如图，点 C 是以 直径的 O 上的一点， 过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D （ 1）求证： 分 （ 2）若 ， ，求 O 的半径长 【考点】 切线的性质；勾股定理；相似 三角形的判定与性质 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）连接 由 C，可得 由切线的性质得出 据垂直于同一直线的两直线平行得到 平行线的性质得 量代换后可得 分 （ 2）解法一：如图 2，过点 O 作 E先在 ，由勾股定理求出 ，由垂径定理求出 ，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 相似三角形对 应边成比例得到 ，求出 ，即 O 的半径为 ；解法二：如图 2，连接 在，由勾股定理求出 ，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 相似三角形对应边成比例得到 ，求出 ，则 O 的半径为 【解答】 （ 1）证明：连接 C， 第 23 页（共 27 页） O 于 C， 又 即 分 （ 2）解法一：如图 2，过点 O 作 E 在 ， = =3， 0， ，即 ， ，即 O 的半径为 解法二：如图 2，连接 在 ， = =3 O 直径， 0， 0， ， 即 ， ， = ， 第 24 页（共 27 页） 即 O 的半径为 【点评】 本题考查了等腰三角形、平行线的性质，勾股定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用 25某宾馆有客房 100 间供游客居住，当每间客房的定价为每天 180 元时，客房会全部住 满当每间客房每天的定价每增加 10 元时，就会有 5 间客房空闲（注：宾馆客房是以整间出租的） （ 1）若某天每间客房的定价增加了 20 元，则这天宾馆客房收入是 元； （ 2）设某天每间客房的定价增加了 x 元，这天宾馆客房收入 y 元，则