初中数学 数学名师 牛顿

1 牛顿牛顿 牛顿 i newton isaac 1643 年 1 月 4 日 儒略历 1642 年 12 月 25 日 生于英格兰林 肯郡格兰瑟姆镇沃尔索普 woolsthorpe 村 1727 年 3 月 31 日 儒略历 1727 年 3 月 20 日 卒于伦敦肯辛顿 数学 力学 物理学 天文学 化学 自然哲学 依萨克 牛顿出身于农民家庭 祖父罗伯特 牛顿 robertnewton 是一位富裕的农庄 主 父亲 亦名依萨克 牛顿 继承了田庄 但与牛顿的母亲汉娜 埃斯库 hannah ayscough 结婚不到半年即病故 牛顿是遗腹子 而且早产 生后勉强存活 牛顿 3 岁时 母亲改嫁 给邻村牧师 b 史密斯 smith 牛顿被留在沃尔索普由外祖母抚养 大约从 5 岁开始 牛 顿被送到附近斯吉林顿和史托克走读小学读书 1653 年 母亲汉娜再度守寡 携牛顿的三 个异父弟妹回到沃尔索普村 两年后 牛顿进入格兰瑟姆中学 少年牛顿不是神童 在校 成绩并不突出 但他喜欢读书 在沃尔索普的农舍里保存有近 200 本牛顿少年时代读过的 书籍 牛顿从中学起就有作读书笔记的习惯 有一本又大又厚的笔记本 原是史密斯牧师 的神学摘记 牛顿将它继承下来并称之为 废书 waste book 废书 后又被带到剑桥 用作力学与数学笔记 其中记录了牛顿早年研究万有引力与微积分的心得 是牛顿早期科 学发现的重要见证 作为中学生的牛顿还酷爱玩具制作 他所制作的玩具实际上是各种机械模型 包括风 车 木钟 日晷以及折叠式提灯 冬日清晨上学路上照明用 等等 在格兰瑟姆牛顿寄宿的 克拉克药店卧室里 堆满了这类自制的玩具 1659 年 17 岁的牛顿被母亲召回沃尔索普管理田庄 但牛顿对务农不感兴趣 一有机 会 仍埋首书卷 在这种情况下 有两个人对他的前途起了决定性作用 牛顿的舅父 w 埃斯库 ays cough 和格兰瑟姆中学校长 j 史托克斯 stokes 先生竭力劝说汉娜让牛 顿复学 史托克斯校长对牛顿母亲说 在繁杂的农务中埋没这样一位天才 对世界来说 将是多么巨大的损失 他甚至答应减收学费并让牛顿到自己家里用餐 他们终于说服了 牛顿的母亲 1660 年秋 牛顿在辍学九个月后又回到格兰瑟姆 为升学作准备 1661 年 6 月 牛顿入剑桥大学 成为三一学院的减费生 su bsizar 入学前 牛顿 已阅读过威廉舅舅送给他的一本桑德生 san derson 逻辑学 这对他顺利掌握大学头 二年的逻辑与哲学课程大有裨益 这一时期 牛顿还阅读了亚里士多德 aristotle 的 工 具篇 伦理学 r 笛卡儿 descartes 的 哲学原理 prin cipia philosophiae 以 及 t 霍布斯 hobbes j 马吉卢斯 magirus 等人的哲学著作 从三年级起 牛顿开始 接触大量自然科学著作 其中包括 g 伽里略 galilei 的 恒星使节 side reus nuncius 两大世界体系的对话 dialogo dei massimi systemi j 开普勒 kepler 的 光学 astronomiae parsoptica 以及 p 伽桑逖 gassendi 的哥白尼天文学概述等 根据 j 康杜德 conduitt 和 a 德 莫阿弗 de moivre 的记述 牛顿在数学上很大 程度是依靠自学 1663 年 牛顿从斯图布里奇集市购得一本占星书 因缺乏三角知识看不 懂其中的天象图 遂又买来三角课本和欧几里得 euclid 几何原本 ele ments 阅 读 但他的注意力很快被其他数学著作所吸引 下面是牛顿本人的回忆 1664 年圣诞节 前夕 当时我还是一个高年级生 我买到了范 舒滕 van schooten 的 杂论 miscellanies 和笛卡儿的 几何学 la g om trie 半年前我已读过笛卡儿的 几何学 与 w 奥特雷德 oughtred 的 数学入门 claviemathematicae 同时借来了 j 沃利 斯 wallis 的著作 根据三一学院保存的牛顿读书笔记 可以进一步了解到牛顿大学时代 数学阅读的范围 涉及的作者还有 f 韦达 vi te p 费马 fermat c 惠更斯 huygens j 德维特 de witt f 德博内 de beaune j 胡德 hudde 和 h 范 休 雷特 van heuraet 等 在所有这些著作中 笛卡儿的 几何学 和沃利斯的 无穷算术 2 arithmetica infinitorum 的影响是决定性的 它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿的 领域 解析几何与微积分 牛顿在广泛阅读的同时也听取大学的各种课程 特别是 i 巴罗 barrow 1664 年后开 设的卢卡斯 lucas 讲座 牛顿后来追溯流数概念的来源时说道 巴罗博士当时讲授关于 运动学的课程 也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题 1665 年 1 月 剑桥大学评议会通过了授予牛顿文学士的决定 同年 8 月 大学因瘟疫 流行而关闭 牛顿离校返乡 随后两年里 除偶尔回校及到邻镇布思比小住外 牛顿都是 在家乡沃尔索普度过 这段时间成为牛顿科学生涯中的黄金岁月 制定微积分 发现万有引力 提出光学颜色理论 可以说描绘了他一生大多数科学创造的蓝 图 1667 年复活节后不久 牛顿回到剑桥 但对自己的重大发现却未作宣布 这年 10 月 他被选为三一学院初级院委 minor fe llow 翌年 4 月 获硕士学位 同时成为高级院 委 major fe llow 1669 年 10 月 牛顿继巴罗任卢卡斯教授 牛顿大学毕业后 曾作过巴罗的助手并协 助修改后者的 几何与光学讲义 lec tiones opticae et geometricae 1669 巴罗 认识到牛顿的才华 他自动辞去卢卡斯教授之职而给牛顿以机会 巴罗让贤 在科学史上 一直被传为美谈 作为卢卡斯教授 牛顿自 1670 年起主持了一系列重要的科学讲座 1670 1672 年光 学讲座 总结了牛顿的光学研究 其讲义经修订后于 1704 年正式出版 这就是著名的 光 学 opticks 接着牛顿用了整整十年 1673 1683 时间讲授代数 1684 1685 年的卢 卡斯讲座主题是运动学 这是由 1684 年 8 月 e 哈雷 ha lley 的一次访问引起的 哈雷 专程到剑桥向牛顿请教在引力服从反平方律时行星的轨道 不久牛顿将答案写成论文寄给 皇家学会 同时将论文扩充为 论运动 de motu corporum 的讲义 即 1684 年秋季开始 的卢卡斯讲座内容 并且也是 自然哲学的数学原理 philosophiae naturalis principia mathematica 第一卷的初稿 此后便是牛顿全力创作 原理 的时期 至 1687 年春 原理 第三卷 宇宙体系 告成 宇宙体系 也是这一年卢卡斯讲座的题目 在 哈雷的敦促与资助下 原理 于同年夏正式出版 这部划时代的巨著奠定了牛顿在科学史 上的不朽地位 在任卢卡斯教授期间 1669 1701 除了上述领域外 牛顿继续致力于改进完善自己 早年的微积分工作以及其他方面的数学研究 同时还花费了大量的精力探讨化学及炼金 术 1680 年代末 牛顿一度卷入政治斗争 他曾作为剑桥大学九人委员会成员之一 在抵 制国王詹姆士二世派遣一名亲信的天主教徒到剑桥任职的行动中起了重要作用 牛顿因此 于 1689 年 1 月当选为代表剑桥大学的议员而进入了国会 1701 年又再度当选 1693 年秋 长期紧张的科学研究使牛顿患了严重的忧郁症 病虽经治愈 但他从此结 束了剑桥宁静的学者生活 1696 年 牛顿通过他的学生 财政大臣 c 蒙塔古 montague 的关系而谋得伦敦造币局总监之职 遂移居伦敦 并指定 w 惠斯顿 whi ston 代理卢卡 斯教授 1699 年 牛顿因督办铸币有方而升任造币局长 这促使他于 1701 年 10 月下决心 最终辞去卢卡斯教授之职 牛顿晚年就在伦敦度过 除了造币局的工作 他于 1703 年起出 任皇家学会会长 牛顿早在 1672 年就已当选为皇家学会会员 1705 年 牛顿被女王安娜 封爵 达到了他一生荣誉之巅 1727 年 3 月 31 日 牛顿在患肺炎与痛风症后溘然辞世 葬礼在威斯特敏斯特大教堂耶路撒冷厅隆重举行 当时参加了牛顿葬礼的 f m a 伏尔 泰 voltaire 看到英国的大人物们都争抬牛顿的灵柩 感叹说 英国人悼念牛顿就像 悼念一位造福于民的国王 据说这位法国作家禁不住虔诚地从牛顿所戴的桂冠上摘下一片 3 叶子珍藏纪念 诗人 a 波普 pope 三年后在为牛顿所作墓志铭中写下了这样的名句 自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜中 上帝说 让牛顿出世 于是一切都豁然明朗 剑桥三一学院教堂大厅内立有牛顿全身雕像 供世人瞻仰 在牛顿的全部科学贡献中 数学成就占有突出的地位 这不仅是因为这些成就开拓了 崭新的近代数学 而且还因为牛顿正是依靠他所创立的数学方法实现了自然科学的一次巨 大综合而开拓了近代科学 二项定理的发现 牛顿数学生涯中第一个创造性成果乃是关于任意次幂的二项展开定 理 根据牛顿本人回忆 他是在 1664 年和 1665 年间的冬天 在研读沃利斯博士的 无 穷算术 并试图修改他的求圆面积 或计算 牛顿对二项定理的原始推导 写在他 1664 1665 年间的一本读书笔记上而被保存至 今 但牛顿迟至 1676 年才在致皇家学会秘书 h 奥尔登堡 oldenburg 的两封信中正式公 布这项发现 这两封信是为了答复 g w 莱布尼茨 leibniz 的有关询问而写 在 前信 epistola prior 1676 年 6 月 13 日 中 牛顿写道 由于他 莱布尼茨 很想了解英国 人在这一领域的工作 而我本人若干年前曾钻研过这一理论 所以我将自己得到的一些结 果寄给您 以满足 至少部分满足 他的要求 牛顿接着便以下列形式首次叙述了二项定理 并指出 此处 p pq 表示要求其根或任意次幂或幂的根的量 p 表示该量的首项 q 则 是首项相除后的余项 m n 是 p pq 的幂指数 不论其是整数还是分数 正数还是负数 而 在计算过程中要求的各商项用 a b c d 等来表示 即第一项 pm n 记作 a 第二项 莱布尼茨复函要求进一步说明二项定理的来源 牛顿于是在 后信 epistola posterior 1676 年 10 月 24 日 中追述了自己发现二项定理的思路 如所周知 沃利斯在 无穷算术 中考虑数列 沃利斯影响但却采取了崭新的途径 他不是考虑数列而是考虑一函数序列 的插值 当 n 为偶数时 牛顿利用沃利斯 f0 x 1 x 牛顿试图对上述级数序列的系数插值 当 n 1 时就将得到四分之一的单位圆面积 为 此他注意到上述序列中所有级数的第一项都是 x 第二项 0 3 x3 1 3 x3 2 3 x3 3 3 x3 则构 牛顿指出当 n 为偶数时 诸系数 amn 构成帕斯卡三角 且满足关系 am n 2 am 1 n am n 牛顿接着便利用类比推理假定对奇数 n 插值后的 am n 此关系仍成立 由 此便可从已得到的 a0n 1 a1n n 2 而逐步推算出其余的 amn 来 如牛顿算出 f1 x 的前 七项 am1 之值为 由此看出 amn 的一般形式 4 结果逐项微分便立即得到二项定理 其中 牛顿在关于二项定理的早期研究中 根据同样的思路用插值法计算 这实质上是对数级数的最早推导 牛顿又通过逐项微分进而得到几何级数 在后来的文献中牛顿便抛弃了插值法而将此类展开看作是二项定理当指数取负值时的 特例 如在 前信 中 牛顿给出了例子 等等 在牛顿之前 正整数幂的二项展开早为人们熟知 牛顿将其推广到正负有理数幂的情 形 这是从有限向无限的飞跃 这一飞跃为无穷级数研究开辟了广阔的前景 寻找一些熟 知的函数的无穷级数表示 是牛顿同时代数学家们的热门课题 牛顿凭借自己发现的二项 定理而能得到其它一系列函数的无穷级数 例如就在发 正弦级数 同样还得到了 arc tanx 的级数展开 稍后 他运用反演法从已知的 logx 与 arc sin x 的无穷展开推出指数级数 正弦级数以及余弦级数 等等 牛顿为能发现这么多函数级数而自豪 在 17 18 世纪 无穷级数是微积分不可 缺少的工具 微积分的制定 微积分的发明 制定是牛顿最卓越的数学成就 微积分所处理的一些具体问题 如切线问题 求积问题 瞬时速度问题以及函数的极 大 极小值问题等 在牛顿之前即已受到人们的研究 有的 如求积问题 甚至可以远溯古 代 17 世纪上半叶 天文 力学与光学等自然科学的发展使这些问题的解决越益成为燃眉 之急 当时几乎所有的科学大师都竭力寻求有关的数学新工具 特别是描述运动与变化的 无穷小算法 并且正是在牛顿诞生前后的一个时期内 取得了迅速的进展 其中最重要的 如开普勒的旋转体体积计算法 1615 费马求极大极小值的方法 1629 b 卡瓦列里 cavalieri 的 不可分量原理 1635 笛卡儿的解析几何及切线构造法 1637 沃利斯 的分数幂积分 1655 巴罗的微分三角形 1664 1665 等等 这一系列前驱性的工作 对 于求解各类具体无穷小问题作出了宝贵贡献 但却缺乏一般性 尚不能满足当时科学的普 遍需要 牛顿超越前人的功绩是在于 他能站在更高的角度 对以往分散的努力加以综合 将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法 微分与积分 并确立了这两类运算的互逆关系 从而完成了微积分发明中最后的也是最关键的一步 并 为其深入发展与广泛应用铺平了道路 流数论的初建 牛顿对微积分的研究始于 1664 年秋 当时他反复阅读笛卡儿 几何学 对笛卡儿求切线的 圆法 发生了兴趣并试图寻找更好的方法 就在此时 牛顿首创了小 o 记号表示 x 的无限小且最终趋于零的增量 在 1665 年夏瘟疫迫使他离开剑桥前不久 牛 顿接连写了几份手稿 致力于笛卡儿 费马 胡德等人算法的改进 其中 5 月 20 日手稿引 进了一种带双点的字母记号 对于量 a 记号 相当于导数的齐 流数记号混为一谈 1665 年夏至 1667 年春牛顿在家乡躲避瘟疫期间 继续研究微积分并取得了突破性进 展 据他自述 1665 年 11 月发明正流数术 微分法 次年 5 月又建立了反流数术 积分法 5 1666 年 10 月 牛顿着手整理前两年的研究而写成一篇总结性论文 此文现以 1666 年 10 月流数简论 the october 1666 tract on fluxions 著称 当时虽未正式发表 却曾 在牛顿的朋友与同事中传阅 流数简论 是历史上第一篇系统的微积分文献 牛顿在 流数简论 中 事实上以速度形式引进了流数概念 但未使用 流数 这一 术语 他提出流数计算的基本问题如下 a 设有二个或更多个物体 a b c 在同一时刻内描画线段 x y z 已知 表示这些线段关系的方程 求它们的速度 p q r 的关系 b 已知表示线段 x 和运动速度 p q 之比 p q 的关系方程式 求另一线段 y 牛顿对多项式情形给出 a 的解法 将所有的项移至方程一边 相等的倍数 若还有更多的未知量 则依此类推 令所有乘积之和等于零 此方程 就给出了速度 p q r 的关系式 这就是说 对多项式 f x y aijxiyi 0 问题 a 的解为 为了 证明 上述结果 牛顿采用了时间 t 的无穷小瞬 o 的概念 并指出 正如速 度为 p 的物体 a 在某一瞬描画的无穷小线段为 p o 速度为 q 的物体 b 在同一瞬内将描画 出线段 q o 这样 若在某一瞬已描画的线段是 x 和 y 则至下一瞬它们将变成 x po 和 y qo 牛顿分别以 x po 和 y qo 代换方程中的 x 和 y 例如在方程 x3 abx a3 dyy 0 中作这样的代换后 牛顿利用二项展开得 x3 3pox2 3p2o2x p3o3 dy2 2dqoy dq2o2 abx abpo a3 0 消去和为零的项 x3 abx a3 dyy 0 剩下 3px2o 3p2xo2 p3o3 2dqoy dq2o2 abpo 0 以 o 除之得 3px2 3p2xo p3o2 2dqy dq2o abp 0 此时牛顿指出 其中含 o 的那些项为无限小 略之得 3px2 abp 2dqy 0 即欲求证 的解 对于问题 b 牛顿给出的解法实际上是问题 a 的解的反运算 特别重要的是 流数 简论 中有一个问题讨论了如何借助于这种反运算来求面积 从而建立了所谓 微积分基 本定理 牛顿是这样推导微积分基本定理的 如图 1 设 ab x abc y 为已知曲线 q f x 下 的面积 作 de ab ad be p 1 当垂线 cbe 以单位速度向右移动时 eb 扫出面积 abed x 在牛顿以前 面积总是被看作无限小不可分量之和 牛顿却从确定面积的变化率入手 通过反微分计算面积 面积计算可以看成是求切线的逆过程 这事实以往虽然也曾被少数 人 如牛顿的老师巴罗 模糊地猜测到 但只有牛顿有足够的敏锐与能力将这种互逆关系作 为一般规律明确揭示出来 不仅如此 牛顿在 流数简论 中还指出 一旦 反微分 问 题可解 许多问题也都将迎刃而解 流数简论 的其余部分就用大量篇幅讨论正 反微 分运算的各种应用 处理了求曲线的切线 曲率 拐点 曲线求长 求积 求引力与引力 中心等共 16 类问题 展示了牛顿的算法的普遍性与系统性 向不可分量观点的摇摆 流数简论 标志着系统的微积分算法的诞生 当然它在许多 方面是不成熟的 在完成这部著作后 牛顿于 1667 年春返回剑桥 从那时起直到 1693 年 大约四分之一世纪的时间里 牛顿始终不渝努力改进 完善自己的微积分学说 分析学 6 是这条道路上的第一个脚印 1669 年 7 月 正当巴罗考虑辞去卢卡斯教授职位之际 牛顿交给他一篇题为 用无限 多项方程的分析学 de analysi per ae quationes infinitas 简称 分析学 的论 文手稿 巴罗阅后立即函告当时皇家学会的数学顾问 j 柯林斯 collins 道 此间一位 朋友数日前交给我一篇文章 其中提出了计算量的幂次的方法 与 n 墨卡托 mercator 先生处理双曲线的方法相仿但却更为一般 这位朋友是研究这方面问题的卓越天才 几天后 巴罗便将这份手稿寄给了柯林斯 柯林斯复制的副本从此保存在皇家学会 但 分析学 直到 1711 年才正式发表 分析学 是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作 1668 年 9 月 苏格兰 学者墨卡托发表了 对数技术 loga rithmotechnia 一书 其中陈述了对数级数 这促 使牛顿公布自己关于无穷级数的成果 与此同时 牛顿在 分析学 中利用这些级数来计 算面积 积分 流数以及解方程等 因此 分析学 体现了牛顿的微积分与无穷级数方法 紧密结合的特点 关于微积分本身 牛顿在 分析学 中不失时机地对自己的方法作了简短说明 论文 一开始就叙述了计算曲线 y f x 下面积的法则 其 牛顿取 x 而不是时间 t 的无究小瞬 o 并以 x o 代 x 以 z oy 代 z 则 用二项定理展开后 以 o 除方程两边 略去含 o 的项即得 y axm n 了另一条法则 若 y 值是若干项之和 那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之 和 这相当于逐项积分定理 与 1666 年 10 月 流数简论 不同 牛顿在 分析学 中迴避了流数概念及其运动学 背景 分析学 使用的无穷小瞬 o 的概念在性质上是含糊的 牛顿有时直截了当地令其为 零 因而带上了浓厚的不可分量色彩 成熟的流数法 分析学 是急就篇 两年后牛顿又写成了一部论述流数法的专著 流数法与无穷级数 the method offluxions and infinite series 简称 流数法 流数法 可以看作是 1666 年 10 月 流数简论 的直接发展 牛顿在其中又恢复了运动 学观点 但对于以物体运动速度为原型的流数概念作了进一步提炼 正是在这部著作中 牛顿首次使用了 流数 fluxion 这一术语 他后来对 流数法 中的流数概念作了如下 解释 我把时间看作是连续流的流动或增长 而其他量则随着时间而连续增长 我从时间 的流动性出发 把所有其他量的增长速度称之为流数 又从时间的瞬息性出发 把任何其 他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬 原始文献 9 vol ill p 17 流数论 以清楚的流数语言表述微积分的基本问题为 已知流量间的关系 求流 数关系 以及反过来 已知表示量的流数间的关系的方程 求流量间的关系 与 流数 简论 类似 牛顿从时间的无穷小瞬 o 出发来推导其流数算法 流数语言的使用使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大的成功 以极大 极小值 的确定为例 牛顿借流数概念给出了下述法则 一个量在取极大或极小值的一瞬 它既 不向前也不向后流动 因为如果它向前流动或增加的话 那么它就比原来大 并将变得更 大 反之 若它向后流动或减少的话 情况恰好相反 因此 用前述方法 求出它的流数 并且令此流数等于零 这相当于通过方程 f x 0 来求函数 f x 的极值点 流数法 虽脱稿于 1671 年 但直到 1736 年才正式发表 当时牛顿已经去世 该书 原用拉丁文写成 第一版却是英文本 由 j 科尔森 colson 根据 w 琼斯 jones 的拉丁 文抄本译出 需要指出的是 琼斯的抄本在符号上没有忠于原作 流数论 拉丁文原稿中 并未出现带点流数记号 而是仍以字母 l m n r 等表示变量 v x y z 等的流数 这 7 种表述形式使流数方法不易被读者理解 故琼斯抄本便将原稿中所有表示流数的字母统统 换成当时已广为使用的标准点记号 了琼斯的做法 这酿成了后人以为牛顿本人在 流数法 中已引进标准流数记号的误解 曲线求积术 与首末比方法 无论是 分析学 还是 流数法 都是以无穷小量作 为微积分算法的论证基础 所不同的是 在 流数法 中变量 x y 的瞬 p o q o 随时 间瞬 o 而连续变化 而在 分析学 中变量 x y 的瞬则是某种不依赖于时间的固定的无穷 小微元 大约到 80 年代中 牛顿关于微积分的基础在观念上发生了新的变革 这就是 首 末比方法 的提出 首末比法最先以几何形式在 自然哲学的数学原理 中公布 其详尽 的分析表述则是在 曲线求积术 de quadratura curvarum 中给出的 在牛顿所有的微 积分论文中 曲线求积术 写作最晚但发表最早 关于其具体撰写日期 过去一般认为是 在 1676 年 现已弄清 牛顿是在 1691 年才写成这部著作 最初拟作为他的未完成著作 几何学 geometria 的第二卷 后来改变计划而作为 光学 的附录于 1704 年公诸于 世 曲线求积术 可以看作是牛顿最成熟的微积分著述 在这里 牛顿迴避了无穷小量 并批评自己过去那种随意忽略无穷小瞬 o 的做法 在数学中 最微小的误差也不能忽 略 在这里 我认为数学的量不是由非常小的部分组成的 而是用连续的运动来描述 的 在此基础上定义了流数概念之后 牛顿写道 流数之比非常接近于在相等但却很小 的时间间隔内生成的流量的增量比 确切地说 它们构成初生增量的最初比 但可用任何 与之成比例的线段来表示 接着牛顿借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终 比 他举例说明自己的新方法如下 为了求 y xn 的流数 设 x 变为 x o xn 为 x o n 然后 设增量 o 消逝 它们的最终比就是 1 nxn 1 这也是 x 的流数与 xn 的流数之 比 这就是所谓 首末比方法 它相当于求函数自变量与应变量变化之比的极限 因而成 为极限方法的先导 牛顿在 曲线求积术 中第一次引进了后来被普遍使用的流数记号 用字母 x y x v 表示不定量 并用带点的同样字母 或变化率 可称之为相同量 z y x v 的 二次流数 并记作量 著名的记法曾于 1693 年首先公布在沃利斯的 代数学 de algebra tractatus 新版本中 原理 与微积分 牛顿微积分方法的第一次公开表述 出现在 1687 年 自然哲学的 数学原理 之中 原理 中并没有明显的分析形式的微积分运算 整部著作是以综合几何的语言写 成 但牛顿在第一卷第一章开头部分通过一组引理 共 11 条 建立了 首末比方法 这正 是他后来在 曲线求积术 中作为流数运算基础而重新提出的方法 不过在 原理 中 首末比方法 本身亦强烈地诉诸几何直观 第一卷引理 量以及量之比 若在一有限时间内连续趋于相等 并在该时间结束前 相互接近且其差可小于任意给定量 则它们最终亦变为相等 可以看作是初步的极限定 义 在随后的引理中牛顿便借极限过程来定义曲边形的面积 如图 2 在曲线 ace 与直线 aa ae 围成的图形 aace 中内接任意个数的矩形 ab bc cd 同时作矩形 akbl blcm cmdn 牛顿首先设所有的底 ab bc cd de 皆相等 证明了 当这 些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时 内接形 akblcmdd 外接形 aalbmcndoe 与曲线形 aabcde 相互的最终比是等量比 然后指出当矩形之宽互不相等 如图设最大宽度 8 为 af 但都无限缩小时 上述最终比仍是等量之比 牛顿还 而最终相合时 弦 弧及切 线间相互的最终比为等量比 等等 牛顿在第一卷第一章评注中说他 提出这些引理作为前提 以避免古代几何学家所使 用的烦琐的归谬法 另一方面牛顿又阐明了首末比法与不可分量法的区别 虽然 此处所 做的事情与用不可分量法所做的一样 但现在这些原理是经过证明的 我们可以更放心地 使用它们 所以 如果我偶尔将量看作由许多微小元素组成 或是用微小的曲线来代替直 线的话 我的意思不是指不可分量 而是指消逝的可分量 不是指确定部分的和与比 而 是指和与比的极限 牛顿预见到首末比方法可能遭受的批评 并意识到争论的焦点将在于 最终比 概 念 为了答复这类批评 他在前述引理的评注中对于什么是 最终比 作了进一步说明 消逝量的最终比实际上并非最终量之比 而是无限减小的量的比所趋向的极限 它们无 限接近这个极限 其差可小于任意给定的数 但却永远不会超过它 并且在这些量无限减 小之前也不会达到它 尽管 原理 表现出以极限方法作为微积分基础的强烈倾向 但并不意味着牛顿已完 全摒弃无穷小观点 在第二卷第二章中 人们可以看到无穷小瞬方法的陈述 该章引理 指出 任何生成量 genitum 的瞬 等于生成它的各边的瞬乘以这些边的幂指数及系数并 逐项相加 此处所谓 生成量 即雏形的函数概念 牛顿说明这类量的例子有 积 商 根 等 并把它们看成是 变化的和不定的 生成量的瞬则是指函数的微分 因此 上述引理实际上相当于一些微分运算法则 例如 牛顿分别以 a b c 表示任意量 a b c 的瞬 他 早年一般流数法的基础 原理 在创导首末比方法的同时保留了无穷小瞬 而其中对 瞬 概念的解释所使 用的语言仍然是含混的 牛顿说 有限元素不是瞬 而是瞬所生成的量 我们应把它 们想象成有限量的初生元 牛顿的这种做法常常被认为自相矛盾而引起争议 实际上 在 牛顿的时代 建立微积分严格基础的时机还远不成熟 在这样的条件下 牛顿在大胆创造 新算法的同时 坚持对微积分基础给出不同的解释 说明了他对微积分基础所存在的困难 的深邃洞察和谨慎态度 原理 将几何形式的微积分用于引力 流体阻力 声 光 潮汐 彗星乃至宇宙体 系 充分显示了这一新数学工具的威力 为微积分的应用开辟了广阔前景 牛顿在这样做 时实际上获得了一些微分方程的解 后来有一批数学家致力于将牛顿的动力学工作翻译成 分析的形式 推动了 18 世纪常微分方程的研究 牛顿本人在个别场合也曾以分析形式处理 过若干微分方程 优先权争论 在微积分的发明上 牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉 莱布尼茨从 1684 年 开始发表微积分论文 当牛顿 1687 年在 原理 中首次公布流数方法时 曾加有这样一段 评注 十年前 我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出 我发现了一种方法 可 用以求极大值与极小值 作切线及解决其他类似的问题 而且这种方法也适用于无理数 这位名人回信说他也发现了类似的方法 并把他的方法写给我看了 他的方法与我的 大同小异 除了用语 符号 算式和量的产生方式外 没有实质性区别 然而在 1726 年 原理 第 3 版中 牛顿却删去了这段文字 原因是其间他与莱布尼茨 关于优先权问题发生了争执 争端最先是由瑞士数学家 n 法蒂奥 德迪勒 fatio de duillier 1699 年寄给皇家学会的一本小册子引起的 其中提出 牛顿是微积分的第一发 明人 而莱布尼茨作为 第二发明人 曾从牛顿那里有所借鉴 莱布尼茨对此作了反驳 9 并在 1705 年为 教师学报 acta erudi torum 所写对牛顿 光学 的匿名评论中含蓄 地批评牛顿在 曲线求积术 中 用流数偷换莱布尼茨的微分 随着争论的展开 皇家学 会遂于 1712 年指定一个专门的委员会进行调查 并于翌年初公布了著名的 通报 commercium epistolicum 通报 宣布 确认牛顿为第一发明人 并说 那些将第一 发明人的荣誉归于莱布尼茨先生的人 他们对他与柯林斯和奥尔登堡先生之间的通信一无 所知 直到最近才弄清 这份 通报 完全是牛顿本人的手笔 鉴于委员会主要是由牛顿 的朋友 e 哈雷 w 琼斯 b 泰勒 taylor 和 a 棣莫弗 de moiver 等人组成 莱布尼 茨向皇家学会申诉了调查对他 不公 作为回答 他于同年 7 月起草 散发了一份 快报 charta volans 牛顿讥之为 飞页 气愤地指责牛顿 想独占全部功劳 快报 还 引用一位 领头数学家 的判断说牛顿 70 年代所发明的只是无穷级数而不是流数法 所谓 领头数学家 指的是约翰 伯努利 johann bernoulli 他是追随莱布尼茨卷入争论的欧 陆国家数学家的主要代表 当相互指控越演越烈时 一些中立的学者试图进行调解 据牛 顿本人称 汉诺威选侯 后英王乔治一世 访问英国时 莱布尼茨的一些朋友想充当和事佬 但 他们未能使我屈服 莱布尼茨 1716 年去世后 由于法国数学物理学家 p 瓦里克农 varignon 再三斡旋 伯努利首先表示愿意和解 年迈的牛顿此时对争论亦已感到厌倦 终于在 1722 年重印 通报 的最后关头发出了停战信号 他听从瓦里克农的劝告删去了伯 努利的名字和一些过激言辞 这场延续了 20 余年的优先权之争虽然从此逐渐平息 但对 18 世纪英国与欧陆国家数学发展上的分道扬镳产生了消极的影响 莱布尼茨 1676 年 10 月访问伦敦期间 曾在皇家学会借阅了牛顿 分析学 手稿抄本 并作了摘录 这成为他涉嫌剽窃的主要事实 但从后来公布的莱布尼茨笔记本获知 莱布 尼茨当时仅摘录到有关级数的部分 他也不可能从牛顿在 原理 评注中提到的 后信 中了解流数法的奥秘 因为牛顿在信中只以字谜形式隐述了流数法的基本问题 而在 1693 年 10 月牛顿致函莱布尼茨向他揭露谜底以前 后者始终不解其云 现有充分的资料证实 牛顿和莱布尼茨是各自独立完成了微积分的发明 就发明时间而言 牛顿先于莱布尼茨 但就发表而言 莱布尼茨则早于牛顿 值得补充的是 尽管发生了纠纷 两位学者从未怀 疑过对方的科学才能 有一则记载说 1701 年 在柏林王宫的一次宴会上 当普鲁士王后 问到对牛顿的评价时 莱布尼茨回答道 纵观有史以来的全部数学 牛顿做了一多半的 工作 普遍算术 与代数 1683 年秋 牛顿将自己的卢卡斯代数讲义存入了剑桥大学图书 馆 牛顿原打算随即加以修改 发表 但 1684 年夏哈雷的访问打断了这一计划 其后牛顿 便将主要精力投入 原理 的写作 直到 1707 年 牛顿的代数讲义才经他本人同意由 w 惠斯顿整理出版 定名 普遍算术 arithmeticauniversalis 普遍算术 初版 拉 丁文 含有许多错误 牛顿本人颇不满意 遂亲加校订并于 1722 年出版了修订本 普遍算术 主要讨论代数基础及其 通过解方程 在解决各类问题中的应用 书中首 先陈述了代数基本概念与基本运算 接着便用大量实例显示了如何将各类问题化为代数方 程 同时对方程的根及其性质进行深入探讨 引出了方程论方面的丰富结果 像 a 吉拉尔 girard 和笛卡儿等人一样 牛顿未加证明地叙述了代数基本定理 但 普遍算术 对于虚根 牛顿称之为 不可能根 的出现却作了更深入的考察 这使牛顿 在许多场合能走得比前人远 g 卡尔达诺 cardano 曾猜测代数方程的虚根必然成对出现 牛顿则是第一个对此事 作出明确论证的人 牛顿在 普遍算术 中使用了连续性原理 来说明两个互不相等的根 如何连续变化为相等根然后又变为虚根 他通过几何实例来解释自己的论证 设圆 cdef 与 椭圆 acbf 相交于点 c d e f 图 3 由交点向已知直线 ab 引垂线 cg dh ei fk 若通过求任一垂线之长得到一方程 则在圆与椭圆相交的四点 该方程应有四个实根 即四 10 条垂线之长 但若圆心保持不动而圆径逐渐缩减 当点 e 与 f 趋于重合时 圆与椭圆变为 相切 则表示现已重合的垂线 ei 和 fk 的两根亦将变为相等 若圆进一步缩小而不再在点 e f 处与椭圆接触 而仅在另二点 c d 处与其相交 那么四根中表示现已变得不可能的垂 线 ei 和 fk 的那两个根亦将相应地成为不可能 牛顿将这种例证推而广之 指出 在所有 方程中 通过这样地增加或减小它们的项 两不相等根起先趋于相等 然后变成不可 能 结果是 不可能根的数目将永远是偶数 牛顿对笛卡儿符号法则的推广亦在于对虚根情形的分析 笛卡儿法则是说 一方程正 根最多个数等于系数变号的次数 负根最多个数则等于两个 号或两个 号连续出现的次 数 正如牛顿指出的那样 若方程有虚根 则上述法则既不能给出真正的正 负根个数 也不能给出虚根的实际个数 于是牛顿便在 普遍算术 中提出了他自己的改进法则 牛顿的法则由两部分组成 第一部分用来确定虚根个数 即所谓 不完全法则 plete rule 将其中每项分数除以前项分数 所得分数置于方程中间 各项上方 若一中间项平方与其上方分数的乘积大于左右二项之积 就在该项下方记以 号 否则记以 号 同时在首项与末项下方皆记以 号 那么虚根个数恰等于下方所记符号变号 的次数 例如方程 x3 px2 3p2x q 0 按上述法则操作得 x3 px2 3p2x q 0 下标的符号序列 中包含两次变号 故方程有二个虚根 牛顿法则的第二部分即所谓 完全法则 plete rule 可借以进一步 确定方程正负根的个数 根据笛卡儿法则可以判别方程正根的最多个数 牛顿认为这中间 可能 隐藏 着虚根 并称其为 不可能正根 同样地可以定义 不可能负根 牛顿完 全法则是说 在 不完全法则 中得到的方程下标符号序列中 考察变号上方诸项的符号 不可能正根的个数恰等于这些项本身的变化次数 而不可能负根的个数则等于不变号的次 数 例如方程 x5 4x4 4x3 2x2 5x 4 0 按 不完全法则 操作得到的下标符号序列中变号者为 这说明有两个不可 能根 而上方诸项 4x4 4x3 2x2 变号二次 标志着二个不可能正根 但因方程本身各项系 数符号序列 中共有三次变号 故最多正根个数为 3 其中 隐藏 两个 不可能根 结果方程计有一个真正的正根 二个负根和二个虚根 根据现存的牛顿手稿可知 牛顿早在 1665 1666 年间就已发现了他的符号法则 牛顿 法则的证明相当困难 直到 1865 年才由 j 西尔维斯特 sylvester 给出第一个严格的证 明 西尔维斯特证明了包含牛顿法则为特例的更普遍的定理 普遍算术 中有关方程论最突出的贡献或许是表述方程根与系数关系的幂和公式 这公式现以牛顿的名字命名 它为代数方程根的对称函数理论奠定了基础 对于方程 a0 xn a1xn 1 a2xn 2 an 1x an 0 作 n 个根 x1 x2 xn 的 i 次幂和 si xi 1 xi n i 1 2 n 牛顿公 式相当于 a0s1 a1 0 a0s2 a1s1 2a2 0 11 a0sn a1sn 1 a2sn 2 nan 0 牛顿在 普遍算术 中运用上述公式来推算方程的根限 他给出的法则中最重要的一 条可用现代语言表述如下 若有方程 f z a0zn a1zn 1 a2zn 2 an 0 a0 0 则每一个使 f z 及导数 f z f z fn 1 z 皆为正的数 z l 必为 f z 0 的 正根的上限 类似地可以求出方程负根的下限 牛顿进而讨论了如何通过这些根限公式去 逼近方程的数值根 普遍算术 对于代数本身的见解也有重要的意义 牛顿在前言中写道 人们或者 像在通常算术中那样用数字进行计算 或者像分析数学家习惯的那样借助普遍变量 species 直译 类 来进行计算 这两种运算都依赖于同样的基础并服务于同样的目标 算术采用确定的和特殊的方法 而代数则采用不定的和普遍的方法 以致由这种运算得到 的所有结论几乎都可以称作为定理 在这里 牛顿像 f 韦达一样将代数看作是 变量算 术 arithme tica specisa 而将通常算术看作是 数字算术 但他在代数中更加自由 地运用变量 并主张代数与算术相互结合而形成数学的基础 在算术中 问题的解决是 从已知量出发逐步推算出未知量 代数却相反 把未知量当作已知量 并由之出发去反推 已知量 好象这些已知量是要求的量 最终通过某种方式达到某种结论 也就是说某个方 程 而从这方程则可解出真正的未知量 这正是代数的优越性 运用这种技巧 一些极困 难的问题可以迎刃而解 而这些问题的解决单靠算术是无济于事的 不过 算术运算对代 数来说又必不可少 二者似应相互结合而形成统一的完善的计算科学 这就是牛顿 普遍算术 的真谛 牛顿的观点在当时英国反响不大 却很快吸引了欧洲大陆数学家的 注意 这同微积分情形形成对照 1707 年 11 月间约翰 伯努利致函莱伯尼兹说他 正急切 地盼望能读到一本书 此书篇幅不大 但却大大胜过了法国出版的同类巨卷著作 伯努 利指的就是刚出版的 普遍算术 普遍算术 后来成为发行最多的牛顿数学著作 对于 18 世纪数学中代数与分析方法优势的确立颇有影响 几何研究 牛顿对解析几何与综合几何两方面都有贡献 1664 年秋 牛顿在学习掌握笛卡儿 几何学 时 即已面临大多数同时代数学家所关 心的问题 描绘大量尚属未知的曲线并研究它们的性质 这方面的探讨导致了他在解析几 何领域最重要的工作 自阿波罗尼奥斯 apollonious 时代起 希腊数学家已对圆锥曲线作了透彻的研究 笛 卡儿在 几何学 卷 2 中将希腊人的综合工作翻译成了解析语言 然而对于高次曲线 无 论古希腊人还是笛卡儿却都知之不多 希腊人将所有高于二次的曲线统称为 线性曲线 linear line 对此他们只给出了个别实例如蚌线 conchoid 蔓叶线 cissoid 笛卡 儿向他的同时代人展示了三叉线 trident 和叶形线 folium 其后数十年间 数学家们新 认识的三次曲线总共只增添了二种 即沃利斯的立方抛物线与 w 尼尔 neile 的半立方抛 物线 在牛顿之前 也没有人能够像把非退化二次曲线分成椭圆 双曲线与抛物线那样对 三次曲线分类 牛顿从 1664 年起试图追随笛卡儿按方程次数对曲线分类的思路来解决这一 课题 1667 1668 年和 1678 1679 年间 他又两度回到高次曲线的研究并获重大进 展 但如其一贯所为 牛顿迟疑于结果的发表 直到 1695 年 他才将以前的结果总结成专 论 三次曲线枚举 enumeratio linearum tertii ordinis 并作为 光学 的附录发表 1704 三次曲线枚举 首先根据平面曲线与直线相交所产生的交点数来定义曲线的阶 同 时指出圆锥曲线的许多概念与性质可以被推广至高次曲线 例如牛顿提出了适合高次曲线 的一般直径理论 在这理论中 n 次曲线的直径被定义为该曲线与一平行直线簇中每一条的 n 12 个交点的重心轨迹 和一般渐近线理论等 三次曲线枚举 的这个引论部分以著名的 牛 顿定理 为高潮 牛顿定理相当于说 平面上的点关于一三次曲线的三个纵坐标之积与相 应的三横坐标之积保持常数比 在上述一般性讨论之后 牛顿便转向其理论的精粹 三次曲线分类 他注意到任一 三次曲线至少有一个实渐近方向 取与此方向平行的直线为坐标轴之一 牛顿导出了三次 曲线方程的四类基本形式 i xy2 ey ax3 bx2 cx d ii xy ax3 bx2 cx d iii y2 ax3 bx2 cx d iv y ax3 bx2 cx d 它们分别相应于一般立方双曲线 笛卡儿三叉线 发散抛物线 牛顿用语 和立方抛物 线 牛顿并未证明这四类方程穷举了一切可能 1729 年法国数学家 f 尼科尔 nicole 证明 了这一点 对第 i 和第 iii 类情形牛顿又区分出许多子类 结果他总共列举了 72 种三 次曲线 对此后来 j 斯特林 stirling 1717 g 克莱姆 cramer 1746 等人又追加了 6 种 数学家们还发现了其他不同的对高次曲线分类的原则 除了分类 牛顿在 三次曲线枚举 中还将圆锥曲线的射影定义推广到高次曲线 他 大胆地指出 正像所有的圆锥曲线都可看作是圆的投影一样 所有的三次曲线都可以看 作是五种发散抛物线 即由方程 y2 ax3 bx2 cx d 确定的曲线 的投影 这个重要的事实 到 1731 年才由 a c 克莱罗 clairaut 严格证明 三次曲线枚举 是解析几何发展新的一页 以往只了解少数特例的三次曲线 现在 可以从整体上进行分类并考察其性质 这激发了包括克莱姆 欧拉直到 19 世纪的 j 普吕 克 pl cker 等人对高次代数曲线的系统研究 牛顿关于解析几何的工作在他的 流数法 一书中也有大量记述 该书拉丁文本最初甚 至用名 解析几何 其中最重要的是各种坐标系的采用 牛顿在用流数法计算切线问题 时指出 作切线可用不同的方法 这取决于曲线与直线的不同关系 他所说的 曲线与 直线的不同关系 意味着不同的坐标系 事实上 牛顿在 流数法 中引进了 9 种不同的 表示曲线上任意点 d 的坐标 模式 mode 其中 模式 3 与 模式 7 分别为双极坐标 系与一般极坐标系 以一般极坐标为例 牛顿是在求作所谓 机械曲线 mechanical curve 即超越曲线 的切 ag 为半径的圆弧 牛顿将曲线 ade 看作是当 ag 绕中心 a 旋转时 其上 方 f x y 0 确定 于是可用流数法求出 x 与 y 的流数关系并据以确定切线 dt 的位 置 实际上 借助一些初等几何的推导 牛顿获得流 由此可确定 gt 而切线 dt gt 很清楚 这 角与矢径 他还以极坐标形式给出了阿基米德螺线和费马螺线的方程 的创始人 极坐标后又为雅各 伯努利 jakob bernoulli 独立引进 1691 牛顿对古典几何的研究则开始较晚 在 70 年代后期 牛顿表现出