选修4－1几何证明选讲

选修 4 1 几何证明选讲 第一节相似三角形的判定及有关性质 基础盘查一 平行线分线段成比例定理 一 循纲忆知 了解平行线截割定理 平行线等分线段定理 平行线分线段成比例定理 二 小题查验 1 判断正误 1 梯形的中位线平行于两底 且等于两底和 2 若一条直线截三角形的两边 或其延长线 所得对应线段成比例 则此直线与三角形 的第三边平行 答案 1 2 2 如图 F 为 ABCD 的边 AD 延长线上的一点 DF AD BF 分别 交 DC AC 于 G E 两点 EF 16 GF 12 则 BE 的长为 解析 由 DF AD AB CD 知 BG GF 12 又 EF 16 知 EG 4 故 BE 8 答案 8 3 人教 A 版教材习题改编 如图 AB EM DC AE ED EF BC EF 12 cm 则 BC 的长为 cm 解析 Error E 为 AD 中点 M 为 BC 的中点 又 EF BC EF MC 12 cm BC 2MC 24 cm 答案 24 基础盘查二 相似三角形的判定及性质 一 循纲忆知 理解相似三角形的定义与性质 会证明并应用直角三角形射影定理 二 小题查验 1 判断正误 1 在 ABC 中 AD 是 BC 边上的高 若 AD2 BD CD 则 A 为直角 2 在直角三角形 ABC 中 AC BC CD AD 则 BC2 BD AB 3 若两个三角形的相似比等于 1 则这两个三角形全等 答案 1 2 3 2 人教 A 版教材习题改编 如图 D E 分别是 ABC 的边 AB AC 上的点 DE BC 且 2 那么 ADE 与四边形 DBCE 的面积比是 AD DB 解析 DE BC ADE ABC S ADE S ABC AD2 AB2 2 AD DB AD AB 2 3 故 S ADE S ABC 4 9 S ADE S四边形DBCE 4 5 答案 4 5 基础送分型考点 自主练透 考点一 平行线分线段成比例定理的应用 必备知识 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相 等 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论 2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 2 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比 例 提醒 在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱 导致错误 题组练透 1 如图 在 ABC 中 点 D 是 AC 的中点 点 E 是 BD 的中点 AE 交 BC 于点 F 求的值 BF FC 解 如图 过点 D 作 DM AF 交 BC 于点 M 点 E 是 BD 的中点 在 BDM 中 BF FM 又点 D 是 AC 的中点 在 CAF 中 CM MF BF FC BF FM MC 1 2 2 如图 等边三角形 DEF 内接于 ABC 且 DE BC 已知 AH BC 于点 H BC 4 AH 求 DEF 的边长 3 解 设 DE x AH 交 DE 于点 M 显然 MH 的长度与等边三角形 DEF 的高相等 又 DE BC 则 DE BC AM AH AH MH AH 解得 x x 4 3 3 2 x 3 2 x 2 4 3 3 如图 在四边形 ABCD 中 EF BC FG AD 求 的值 EF BC FG AD 解 由平行线分线段成比例定理得 EF BC AF AC FG AD FC AC 故 1 EF BC FG AD AF AC FC AC AC AC 类题通法 对于平行线分线段成比例定理 往往会以相似三角形为载体 通过三角形相似来构建 相应线段比 从而解决问题 解题时要充分利用中点来作辅助线 建立三角形的中位线或 梯形的中位线 从而有效利用平行线分线段成比例定理 重点保分型考点 师生共研 考点二 相似三角形的判定及性质 必备知识 1 相似三角形的判定定理 判定定理 1 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理 2 三边对应成比例的两个三角形相似 判定定理 3 两边对应成比例 并且夹角相等的两个三角形相似 2 相似三角形的性质定理 性质定理 1 相似三角形对应边上的高 中线和它们周长的比都等于相似比 性质定理 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 结论 相似三角形外接圆的直径比 周长比等于相似比 外接圆的面积比等于相似比 的平方 提醒 在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误 典题例析 如图 已知在 ABC 中 D 是 BC 边的中点 且 AD AC DE BC DE 与 AB 相交 于点 E EC 与 AD 相交于点 F 1 求证 ABC FCD 2 若 S FCD 5 BC 10 求 DE 的长 解 1 因为 DE BC D 是 BC 的中点 所以 EB EC 所以 B BCE 又因为 AD AC 所以 ADC ACB 所以 ABC FCD 2 如图 过点 A 作 AM BC 垂足为点 M 因为 ABC FCD BC 2CD 所以 2 4 S ABC S FCD BC CD 又因为 S FCD 5 所以 S ABC 20 因为 S ABC BC AM BC 10 1 2 所以 20 10 AM 1 2 所以 AM 4 因为 DE AM 所以 DE AM BD BM 因为 DM DC BM BD DM 1 2 5 2 所以 解得 DE DE 4 5 5 5 2 8 3 类题通法 证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找 证 两个三角形的边和角之间的数量关 系 有的证明起来比较简单方便 但有的找边角关系比较困难 这就要求我们必须提高读 图 识图 添加必要辅助线的能力 对计算问题则要灵活使用有关定理 掌握相似三角形 的性质定理 演练冲关 2015 浙江模拟 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 3 CD 4 过 AC 与 BD 的交点 O 作 EF AB 分别交 AD BC 于点 E F 求 EF 的长 解 因为 AB CD EF AB 所以 EDO ADB 因此有 又 AB 3 CD 4 不 EO AB OD BD 妨设 DO 4m OB 3m 因此可得 EO 则 EF EO AB OD BD 4 7 12 7 24 7 重点保分型考点 师生共研 考点三 射影定理的应用 必备知识 射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在 斜边上的射影与斜边的比例中项 提醒 射影定理是直角三角形中的一个重要结论 其实质就是三角形的相似 但要注 意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形 所以要搞清楚定理中的条 件和结论之间的关系 不能乱用 典题例析 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D DF AC 于 F DE AB 于 E 试证明 1 AB AC BC AD 2 AD3 BC CF BE 证明 1 在 Rt ABC 中 AD BC S ABC AB AC BC AD 1 2 1 2 AB AC BC AD 2 Rt ADB 中 DE AB 由射影定理可得 BD2 BE AB 同理 CD2 CF AC BD2 CD2 BE AB CF AC 又在 Rt BAC 中 AD BC AD2 BD DC AD4 BE AB CF AC 又 AB AC BC AD 即 AD3 BC CF BE 类题通法 1 在使用直角三角形射影定理时 要学会将 乘积式 转化为相似三角形中的 比例 式 2 证题时 要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法 演练冲关 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AD 是斜边 BC 上的高 若 AB AC 2 1 求 AD BC 解 设 AC k 则 AB 2k BC k 5 BAC 90 AD BC AC2 CD BC k2 CD k CD k 5 5 5 又 BD BC CD k 4 5 5 AD2 CD BD k k k2 5 5 4 5 5 4 5 AD k 2 5 5 AD BC 2 5 1 如图 在四边形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 EC AD DE BC 若 S BEC 1 S ADE 3 求 S CDE 解 EC AD S DCE S ADE EC AD DE BC S BCE S CDE BC ED 又因为 ECB DEC ADE BEC EAD BEC EAD EC AD BC ED S DCE S ADE S BCE S CDE 得 S CDE 3 2 在 Rt ACB 中 C 90 CD AB 于 D 若 BD AD 1 9 求 tan BCD 的 值 解 由射影定理得 CD2 AD BD 又 BD AD 1 9 令 BD x 则 AD 9x x 0 CD2 9x2 CD 3x Rt CDB 中 tan BCD BD CD x 3x 1 3 3 如图 M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点 直线 l 过点 M 分别交 AD AC 于 点 E F 交 CB 的延长线于点 N 若 AE 2 AD 6 求的值 AF AC 解析 AD BC AEF CNF AF CF AE CN AF AF CF AE AE CN M 为 AB 的中点 1 AE BN AE BN AM BM AF AC AF AF CF AE AE BN BC AE 2AE BC AE 2 BC AD 6 AF AC 2 2 2 6 1 5 4 已知 ABC 中 BF AC 于点 F CE AB 于点 E BF 和 CE 相交于 点 P 求证 1 BPE CPF 2 EFP BCP 证明 1 BF AC 于点 F CE AB 于点 E BFC CEB 又 CPF BPE BPE CPF 2 由 1 得 BPE CPF EP BP FP CP 又 EPF BPC EFP BCP 5 如图所示 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 F 为 AB 上任意一 点 CF 交 AD 于点 E 求证 AE BF 2DE AF 证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M 交 FC 于点 N 在 BCF 中 D 是 BC 的中点 DN BF DN BF 1 2 DN AF AFE DNE AE AF DE DN 又 DN BF 1 2 AE AF 2DE BF 即 AE BF 2DE AF 6 ABC 中 D E F 分别是 BC AB AC 上的点 AD EF 交于 P 若 BD DC AE AF 求证 AB AC PF PE 证明 过 F 作 MN AD 交 BA 的延长线及 DC 于 M N 对 MEF 有 PF PE AM AE 因为 AE AF 所以 PF PE AM AF 对 MBN 有 AB AM BD DN 因为 BD DC 所以 AB AM DC DN 对 ADC 有 所以 AC AF DC DN AB AM AC AF 所以 所以 AB AC AM AF AB AC PF PE 7 已知 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 90 D E F 分别 在 AB AC BC 上 AE AC BD AB 且 CF BC 1 3 1 3 1 3 求证 1 EF BC 2 ADE EBC 证明 设 AB AC 3a 则 AE BD a CF a 2 1 CE CB 2a 3 2a 2 3 CF CA 2a 3a 2 3 又 C 为公共角 故 BAC EFC 由 BAC 90 得 EFC 90 故 EF BC 2 由 1 得 EF AB a FC AC2 故 AE EF a 2a 2 2 AD BF 2a 2 2a 2 2 AE EF AD BF ADE FBE 所以 ADE EBC 8 如图 在梯形 ABCD 中 点 E F 分别在 AB CD 上 EF AD 假设 EF 做上下 平行移动 1 若 求证 3EF BC 2AD AE EB 1 2 2 请你探究一般结论 即若 那么你可以得到什么结论 AE EB m n 解 过点 A 作 AH CD 分别交 EF BC 于点 G H 1 证明 因为 AE EB 1 2 所以 AE AB 1 3 又 EG BH 所以 EG BH AE AB 1 3 即 3EG BH 又 EG GF EG AD EF 从而 EF BC HC AD 1 3 所以 EF BC AD 即 3EF BC 2AD 1 3 2 3 2 因为 所以 AE EB m n AE AB m n m 又 EG BH 所以 即 EG BH EG BH AE AB m m n 所以 EF EG GF EG AD BC AD AD 所以 EF BC AD 即 m m n m m n n m n m n EF mBC nAD 第二节直线与圆的位置关系 基础盘查 圆幂定理 一 循纲忆知 会证明和应用有关圆的定理 1 圆周角定理 2 圆的切线判定定理与性质定理 3 相交弦定理 4 圆内接四边形的性质定理与判定定理 5 切割线定理 二 小题查验 1 判断正误 1 同弧所对的圆心角与圆周角相等 2 若一个四边形的一个外角等于它的内角 则这个四边形的四个顶点共圆 3 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 4 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半 5 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积 答案 1 2 3 4 5 2 如图 P 是圆 O 外一点 过 P 引圆 O 的两条割线 PB PD PA AB CD 3 则 PC 的长为 5 解析 设 PC x 由割线定理知 PA PB PC PD 即 2 x x 3 解得 x 2 或 x 5 舍去 55 故 PC 2 答案 2 3 2015 陕西模拟 如图所示 A B 是两圆的交点 AC 是小圆的直径 D E 分别是 CA CB 的延长线与大圆的交点 已知 AC 4 BE 10 且 BC AD 则 AB 解析 设 x BC AD 由圆外一点向圆引两条割线的结论得到 x x 10 4 x 4 x 2 AB 2 42 223 答案 2 3 4 2014 湖北高考 如图 P 为 O 外一点 过 P 点作 O 的两条切线 切点分别为 A B 过 PA 的中点 Q 作割线交 O 于 C D 两点 若 QC 1 CD 3 则 PB 解析 由切割线定理 得 QA2 QC QD 4 QA 2 则 PB PA 2QA 4 答案 4 基础送分型考点 自主练透 考点一 圆周角 弦切角和圆的切线问题 必备知识 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相 等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 4 圆的切线的性质及判定定理 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 提醒 圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系 从而证明三角形全等或相似 也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题 题组练透 1 2015 湖北黄冈模拟 已知点 C 在圆 O 的直径 BE 的延长线上 直线 CA 与圆 O 相切于 A ACB 的平分线分别交 AB AE 于 D F 两 点 求 AFD 解 因为 AC 为圆的切线 由弦切角定理 得 B EAC 又因为 CD 平分 ACB 则 ACD BCD 所以 B BCD EAC ACD 根据三角形外角定理 ADF AFD 因为 BE 是圆 O 的直径 则 BAE 90 所以 ADF 是等腰直角三角形 所以 ADF AFD 45 2 如图 在圆内接梯形 ABCD 中 AB DC 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E 若AB AD 5 BE 4 求弦 BD 的长 解 因为在圆内接梯形 ABCD 中 AB DC 所以 AD BC BAD BCD 180 ABE BCD 所以 BAD ABE 180 又因为 AE 为圆的切线 所以 AE2 BE EC 4 9 36 故 AE 6 在 ABE 中 由余弦定理得 cos ABE AB2 BE2 AE2 2AB BE 1 8 cos BAD cos 180 ABE cos ABE 1 8 在 ABD 中 BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD 所以 BD 225 4 15 2 3 2014 江苏高考 如图 AB 是圆 O 的直径 C D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 证明 OCB D 证明 因为 B C 是圆 O 上的两点 所以 OB OC 故 OCB B 又因为 C D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点 故 B D 为同弧所对的两个圆周角 所以 B D 因此 OCB D 类题通法 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形 全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或 向弦 弧 两端作圆周角或弦切角 重点保分型考点 师生共研 考点二 圆内接四边形的性质及判定 必备知识 圆内接四边形的性质与判定定理 性质定理 1 圆的内接四边形的对角互补 性质定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四 个顶点共圆 提醒 利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时 要弄清四边形的外角和它的内对 角的位置 注意圆周角 圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用 典题例析 2015 开封模拟 如图 AB 是 O 的直径 G 是 AB 延长线上的一点 GCD 是 O 的割 线 过点 G 作 AG 的垂线 交直线 AC 于点 E 交直线 AD 于点 F 过点 G 作 O 的切线 切点为 H 1 求证 C D E F 四点共圆 2 若 GH 6 GE 4 求 EF 的长 解 1 证明 连接 DB AB 是 O 的直径 ADB 90 在 Rt ABD 和 Rt AFG 中 ABD AFE 又 ABD ACD ACD AFE C D E F 四点共圆 2 C D E F 四点共圆 GE GF GC GD GH 是 O 的切线 GH2 GC GD GH2 GE GF 又 GH 6 GE 4 GF 9 EF GF GE 9 4 5 类题通法 证明四点共圆的常用方法 1 若四个点到一定点等距离 则这四个点共圆 2 若一个四边形的一组对角的和等于 180 则这个四边形的四个顶点共圆 3 若一个四边形的一个外角等于它的内对角 则这个四边形的四个顶点共圆 4 若两个点在一条线段的同旁 并且和这条线段的两端连线所夹的角相等 那么这两 个点和这条线段的两个端点共圆 5 若 AB CD 两线段相交于点 P 且 PA PB PC PD 则 A B C D 四点共圆 6 若 AB CD 两线段延长后相交于点 P 且 PA PB PC PD 则 A B C D 四点共 圆 7 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积 则四边形的四个顶点共圆 演练冲关 2015 银川模拟 如图 在正 ABC 中 点 D E 分别在边 AC AB 上 且 AD AC AE AB BD CE 相交于点 F 1 3 2 3 1 求证 A E F D 四点共圆 2 若正 ABC 的边长为 2 求 A E F D 所在圆的半径 解 1 证明 AE AB BE AB 2 3 1 3 在正 ABC 中 AD AC 1 3 AD BE 又 AB BC BAD CBE BAD CBE ADB BEC 即 ADF AEF 所以 A E F D 四点共圆 2 如图 取 AE 的中点 G 连接 GD 则 AG CE AE 1 2 AE AB 2 3 AG GE AB 1 3 2 3 AD AC DAE 60 1 3 2 3 AGD 为正三角形 GD AG AD 即 GA GE GD 2 3 2 3 所以点 G 是 AED 外接圆的圆心 且圆 G 的半径为 2 3 由于 A E F D 四点共圆 即 A E F D 四点共圆 G 其半径为 2 3 重点保分型考点 师生共研 考点三 与圆有关的比例线段 必备知识 1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段 长的积相等 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条 线段长的比例中项 4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这点的连线 平分两条切线的夹角 提醒 相交弦定理 切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问 题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用 典题例析 2014 新课标全国卷 如图 P 是 O 外一点 PA 是切线 A 为 切点 割线 PBC 与 O 相交于点 B C PC 2PA D 为 PC 的中点 AD 的延长线交 O 于点 E 证明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 证明 1 连接 AB AC 由题设知 PA PD 故 PAD PDA 因为 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 从而 BEEC 因此 BE EC 2 由切割线定理得 PA2 PB PC 因为 PA PD DC 所以 DC 2PB BD PB 由相交弦定理得 AD DE BD DC 所以 AD DE 2PB2 类题通法 以圆为载体与三角形 四边形相结合的综合性题目 往往要综合运用多个定理以及添 加相应的辅助线才能解决 在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧 在实际应用中 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 见到两条割线就要想到割线定理 见到切线和 割线时就要想到切割线定理 演练冲关 2015 大同调研 如图 AB 是 O 的直径 AC 是弦 BAC 的平分 线 AD 交 O 于 D DE AC 交 AC 延长线于点 E OE 交 AD 于点 F 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 求的值 AC AB 3 5 AF DF 解 1 证明 连接 OD OA OD ODA OAD BAC 的平分线是 AD OAD DAC DAC ODA 可得 OD AE 又 DE AE DE OD OD 是 O 的半径 DE 是 O 的切线 2 连接 BC DB 过 D 作 DH AB 于 H AB 是 O 的直径 ACB 90 Rt ABC 中 cos CAB AC AB 3 5 OD AE DOH CAB cos DOH cos CAB 3 5 Rt HOD 中 cos DOH OH OD 设 OD 5x 则 AB 10 x OH 3x OH OD 3 5 Rt HOD 中 DH 4x OD2 OH2 AH AO OH 8x Rt HAD 中 AD2 AH2 DH2 80 x2 BAD DAE AED ADB 90 ADE ABD 可得 AD AE AB AD AD2 AE AB AE 10 x 而 AD2 80 x2 AE 8x 又 OD AE AEF DOF 可得 AF DF AE DO 8 5 1 2014 重庆高考改编 过圆外一点 P 作圆的切线 PA A 为切点 再作割线 PBC 分别 交圆于 B C 若 PA 6 AC 8 BC 9 求 AB 的长 解 如图所示 由切割线定理得 PA2 PB PC PB PB BC 即 62 PB PB 9 解得 PB 3 负值舍去 由弦切角定理知 PAB PCA 又 APB CPA 故 APB CPA 则 即 解得 AB 4 AB CA AP CP AB 8 6 3 9 2 2015 广州综合测试 如图 PC 是圆 O 的切线 切点为点 C 直线 PA 与圆 O 交于 A B 两点 APC 的角平分线交弦 CA CB 于 D E 两 点 已知 PC 3 PB 2 求的值 PE PD 解 由切割线定理可得 PC2 PA PB PA PC2 PB 32 2 9 2 由于 PC 切圆 O 于点 C 由弦切角定理可知 PCB PAD 由于 PD 是 APC 的角平分线 则 CPE APD 所以 PCE PAD 所以 3 PE PD PC PA 3 9 2 2 9 2 3 3 如图 AB 是 O 的直径 弦 BD CA 的延长线相交于点 E EF 垂 直 BA 的延长线于点 F 1 求证 BE DE AC CE CE2 2 若 D 是 BE 的中点 求证 E F C B 四点共圆 证明 1 由割线定理得 EA EC DE BE BE DE AC CE EA CE AC CE CE2 BE DE AC CE CE2 2 如图 连接 CB CD AB 是 O 的直径 ECB 90 CD EB 1 2 EF BF FD BE 1 2 E F C B 四点与点 D 等距离 E F C B 四点共圆 4 2015 忻州模拟 如图 直线 AB 经过 O 上的点 C 并且 OA OB CA CB O 交直线 OB 于 E D 连接 EC CD 1 求证 直线 AB 是 O 的切线 2 若 tan CED O 的半径为 3 求 OA 的长 1 2 解 1 证明 如图 连接 OC OA OB CA CB OC AB OC 是 O 的半径 AB 是 O 的切线 2 由弦切角定理得 BCD E 又 CBD EBC BCD BEC BC BE BD BC CD EC tan CED CD EC 1 2 BC BE BD BC CD EC 1 2 设 BD x 则 BC 2x BC2 BD BE 即 2x 2 x x 6 BD 2 OA OB BD OD 2 3 5 5 2014 辽宁高考 如图 EP 交圆于 E C 两点 PD 切圆于 D G 为 CE 上一点且 PG PD 连接 DG 并延长交圆于点 A 作弦 AB 垂直 EP 垂足为 F 1 求证 AB 为圆的直径 2 若 AC BD 求证 AB ED 证明 1 因为 PD PG 所以 PDG PGD 由于 PD 为切线 故 PDA DBA 又由于 PGD