2016年高考文科数学全国卷I

文科数学试卷 绝密绝密 启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型 试题类型 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项 注意事项 1 本试卷分第本试卷分第 卷卷 选择题选择题 和第和第 卷卷 非选择题非选择题 两部分两部分 第第 卷卷 1 至至 3 页 第页 第 卷卷 3 至至 5 页页 2 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在本试题相应的位置 3 全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效全部答案在答题卡上完成 答在本试题上无效 4 考试结束后 将本试题和答题卡一并交回考试结束后 将本试题和答题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 设集合 则 1 3 5 7 A 25 Bxx AB A B C D 1 3 3 5 5 7 1 7 2 设的实部与虚部相等 其中为实数 则 12 i ai aa A B C D 3 2 23 3 为美化环境 从红 黄 白 紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中 余下的 2 种花种在另一 个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A B C D 1 3 1 2 2 3 5 6 4 的内角的对边分别为 已知 则 ABC A B C a b c5a 2c 2 cos 3 A b A B C D 2323 5 直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率ll 1 4 为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 6 将函数的图像向右平移个周期后 所得图像对应的函数为 2sin 2 6 yx 1 4 A B 2sin 2 4 yx 2sin 2 3 yx C D 2sin 2 4 yx 2sin 2 3 yx 文科数学试卷 7 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若该几何体的体积是 则它的表面积是 28 3 A B C D 17 18 20 28 8 若 则 0ab 01c A B C D loglog ab cc loglog cc ab cc ab ab cc 9 函数在的图像大致为 2 2 x yxe 2 2 A B C D 10 执行右面的程序框图 如果输入的 则输出的值满足 0 x 1y 1n x y A B C D 2yx 3yx 4yx 5yx 22 y x 22 y x 2 2 y x 22 y x 文科数学试卷 11 平面过正方体的顶点 A 平面 平面 平面 1111 ABCDABC D 11 CB D ABCDm 则所成角的正弦值为 11 ABB An m n A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 12 若函数在单调递增 则的取值范围是 1 sin2sin 3 f xxxax a A B C D 1 1 1 1 3 1 1 3 3 1 1 3 第第 II 卷卷 二 填空题 每小题 5 分 共 4 小题 20 分 13 设向量 且 则 1 ax x 1 2 b ab x 14 已知是第四象限角 且 则 3 sin 45 tan 4 15 设直线与圆相交于两点 若 则圆 C 的面积2yxa 22 220C xyay A B 2 3AB 为 16 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品 A 需要甲材料 1 5kg 乙材料 1kg 用 5 个工时 生产一件产品 B 需要甲材料 0 5kg 乙材料 0 5kg 用 3 个工时 生产一件产 品 A 的利润为 2100 元 生产一件产品 B 的利润为 900 元 该企业现有甲材料 150kg 乙材料 90kg 则 在不超过 600 个工时的条件下 生产产品 A 产品 B 的利润之和的最大值为 元 三 解答题 共 70 分 17 12 分 已知是公差为 3 的等差数列 数列满足 n a n b 1 1b 2 1 3 b 11nnnn a bbnb I 求的通项公式 n a 文科数学试卷 II 求的前 n 项和 n b 18 12 分 如图 已知正三棱锥的侧面是直角三角形 顶点 P 在平面 ABC 内的正PABC 6PA 投影为点 D D 在平面 PAB 内的正投影为点 E 连结 PE 并延长交 AB 于点 G I 证明 G 是 AB 的中点 II 在答题卡第 18 题图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F 说明作法及理由 并求四面体 PDEF 的体积 19 12 分 某公司计划购买 1 台机器 该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零件 在购进机 器时 可以额外购买这种零件作为备件 每个 200 元 在机器使用期间 如果备件不足再购买 则每个 500 元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使 用期间更换的易损零件数 得下面柱状图 P E A D G B C 频数 24 20 16 10 6 0 文科数学试卷 设表示 1 台机器在三年使用期内需要更换的易损零件数 表示 1 台机器在购买易损零件上所需xy 的费用 单位 元 表示购机的同时购买的易损零件数n I 若 求与的函数解析式 19n yx II 若要求 需更换的易损零件数不大于 的频率不小于 0 5 求的最小值 nn III 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件 或每台都购买 20 个易损零件 分别 计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均值 以此作为决策依据 购买 1 台机器的同时应购 买 19 个还是 20 个易损零件 20 12 分 在直角坐标系中 直线交轴于点 M 交抛物线xOy 1 0 lyt t y 于点 P M 关于 P 的对称点为 N 连结 ON 并延长交于点 H 2 2 0 C ypx p C I 求 OH ON II 除 H 以外 直线 MH 与是否有其它公共点 说明理由 C 21 12 分 已知函数 2 2 1 x f xxea x I 讨论的单调性 f x II 若有两个零点 求的取值范围 f xa 选做题选做题 22 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 更换的易损零件数 16 17 18 19 20 21 文科数学试卷 如图 是等腰三角形 以为圆心 为半径作圆OAB 120AOB O 1 2 OA I 证明 直线 AB 与圆相切 O II 点 C D 在圆上 且 A B C D 四点共圆 证明 AB CDO 23 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线参数方程为 t 为 参数 在以坐标原点为极点 xOy 1 C cos 1sin xat yat 0a x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 2 4cosC I 说明是哪一种曲线 并将的方程化为极坐标方程 1 C 1 C II 直线的极坐标方程为 其中满足 若曲线与的公共点都在上 3 C 0 0 0 tan2 1 C 2 C 3 C 求a 24 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 23 f xxx I 在答题卡第 24 题图中画出的图像 yf x II 求不等式的解集 1f x O AB D C 文科数学试卷 2016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案文科数学参考答案 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的的 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 A 8 B 9 D 10 C 11 A 12 C 第第 II 卷卷 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 2 3 14 4 3 15 4 16 216000 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 I 由已知 1 22112 1 1 3 abbb bb 得 1 22112 1 1 3 abbb bb 得 1 2a 所以数列 n a是首项为 2 公差为 3 的等差数列 通项公式为31 n an II 由 I 和 11nnnn a bbnb 得 1 3 n n b b 因此 n b是首项为 1 公比为 1 3 的等比数列 记 n b的前n项和为 n S 则 1 1 1 31 3 1 22 3 1 3 n n n S 文科数学试卷 18 I 因为P在平面ABC内的正投影为D 所以 ABPD 因为D在平面PAB内的正投影为E 所以 ABDE 所以AB 平面PED 故 ABPG 又由已知可得 PAPB 从而G是AB的中点 II 在平面PAB内 过点E作PB的平行线交PA于点F F即为E在平面PAC内的正投影 理由如下 由已知可得PBPA PBPC 又 EFPB 所以EFPC 因此EF 平面 PAC 即点F为E在平面PAC内的正投影 连接CG 因为P在平面ABC内的正投影为D 所以D是正三角形ABC的中心 由 I 知 G是AB的中点 所以D在CG上 故 2 3 CDCG 由题设可得 PC平面PAB DE平面PAB 所以 DEPC 因此 21 33 PEPG DEPC 由已知 正三棱锥的侧面是直角三角形且6 PA 可得2 2 2 DEPE 在等腰直角三角形EFP中 可得2 EFPF 所以四面体PDEF的体积 114 2 2 2 323 V 19 I 分 x 19 及 x 19 分别求解析式 II 通过频率大小进行比较 III 分别求出您 9 n 20 的所需费用的平均数来确定 试题解析 当19 x时 3800 y 当19 x时 5700500 19 5003800 xxy 所以y与x的函数解析式为 19 5700500 19 3800 Nx xx x y 由柱状图知 需更换的零件数不大于 18 的概率为 0 46 不大于 19 的概率为 0 7 故n的最 小值为 19 若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件 上的费用为 3800 20 台的费用为 4300 10 台的费用为 4800 因此这 100 台机器在购买易损零件 文科数学试卷 上所需费用的平均数为4050 104500904000 100 1 比较两个平均数可知 购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 20 由已知得 0 tM 2 2 t p t P 又N为M关于点P的对称点 故 2 t p t N ON的方程为x t p y 代入pxy2 2 整理得 02 22 xtpx 解得0 1 x p t x 2 2 2 因此 2 2 2 t p t H 所以N为OH的中点 即2 ON OH 直线MH与C除H以外没有其它公共点 理由如下 直线MH的方程为x t p ty 2 即 2 ty p t x 代入pxy2 2 得044 22 ttyy 解得 tyy2 21 即直线MH与C只有一个公共点 所以除H以外直线MH与C没有其它公共点 21 I 12112 xx fxxea xxea i 设0a 则当 1x 时 0fx 当 1 x 时 0fx 所以在 1 单调递减 在 1 单调递增 ii 设0a 由 0fx 得 x 1 或 x ln 2a 若 2 e a 则 1 x fxxee 所以 f x在 单调递增 若 2 e a 则 ln 2a 1 故当 ln21 xa 时 0fx 当 ln2 1xa 时 0fx 所以 f x在 ln2 1 a 单调递增 在 ln2 1a 单调递减 若 2 e a 则 21lna 故当 1ln2 xa 时 0fx 当 1 ln2xa 时 0fx 所以 f x在 1 ln2 a 单调递增 在 文科数学试卷 1 ln2a 单调递减 II i 设0a 则由 I 知 f x在 1 单调递减 在 1 单调递增 又 12fefa 取 b 满足 b 0 且ln 22 ba 则 2 3 3 210 22 a f bba ba bb 所以 f x有两个零点 ii 设 a 0 则 2 x f xxe 所以 f x有一个零点 iii 设 a 0 若 2 e a 则由 I 知 f x在 1 单调递增 又当1x 时 f x 0 故 f x不存在两个零点 若 2 e a 则由 I 知 f x在 1 ln2a 单调递减 在 ln2 a 单调递增 又当1x 时 f x 0 故 f x不存在两个 零点 综上 a 的取值范围为 0 22 设E是AB的中点 连结OE 因为 120OAOBAOB 所以OEAB 60AOE 在Rt AOE 中 1 2 OEAO 即O到直线AB的距离等于圆O的半径 所以直线AB与 O相 切 E O D C O B A 因为2OAOD 所以O不是 A B C D四点所在圆的圆心 设 O是 A B C D四点所在 圆的圆心 作直线 OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上 又 O在线段AB的垂直平分线上 所以 OOAB 文科数学试卷 同理可证 OOCD 所以 ABCD 23 cos 1sin xat yat t均为参数 2 22 1xya 1 C为以 01 为圆心 a为半径的圆 方程为 222 210 xyya 222 sinxyy 22 2 sin10a 即为 1 C的极坐标方程 2 4cosC