理科创新班数学试题参考答案.pdf

高安中学高安中学 20202020 届高三周考试题 届高三周考试题 三三 理科创新班数学试题参考答案 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 答案 b 解析 a y y eln x x x 0 0 a b x 0 x0 时 f x x2 2ln x f x 2x 2 x 2 x 1 x 1 x 所以当 0 x 1 时 f x 1 时 f x 0 f x 为增函数 排除 b c 故选 a 4 答案 c 解析由图 一 可知 正确 对于 11 月份人均月收入为 1 428 1 1 1 442 元 故 正确 对于 由图 一 图 二 均可得出 12 月份人均月收入下降 故 正确 对于 从图中易知该地人 均月收入 8 9 月一样 故 错误 综合可知正确的选项有 3 个 5 答案 b 解析当 n 1 时 s1 2a2 1 a2 1 2 当 n 2 时 s n 1 2an 则 sn sn 1 2an 1 2an an 所以an 1 an 3 2 当 n 2 时 a n 是首项为1 2 公比为 3 2的等比数列 因此 a n 1 n 1 1 2 3 2 n 2 n 2 所以 sn 1 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 n 2 1 1 2 1 3 2 n 1 1 3 2 3 2 n 1 6 答案 a 解析对于 若 m l 则 m l 故 正确 排除 b 对于 若 m l m 则 l 又 l 所以 故 正确 7 答案 d 解析由oc 1 3oa 2 3ob 又om 1 2 oa ob 所以oc om 1 3oa 2 3ob 1 2 oa ob 1 6 oa 2 2ob 2 3oa ob 又 oab 为等边三角形 所以oa ob 2 2cos 60 2 oa 2 4 ob 2 4 所以oc om 3 8 答案 c 解析 f x 1 2cos xcos x 3 是偶函数 y cos x 3 是偶函数 则 3 k k z 又 0 2 因此 3 g x cos 2x 3 当 12 x 3时 2 2x 3 3 cos 2x 3 0 1 故 a 错误 f x 1 2cos xcos x 1 2cos2x cos 2x 显然 b 错误 当 x 12时 g x cos 2 0 故 c 正确 当 0 x 2时 3 2x 3 2 3 g x cos 2x 3 有增 有减 故 d 错误 9 答案 c 解析 p b 3 3 44 p ab a33 44 由条件概率 p a b p ab p b a 3 3 33 2 9 10 答案 b 解析如图 设双曲线 c 的左焦点为 f1 连接 mf1 由题意知 mf a c mf1 3a c 在 mf1f 中 由余弦定理得 mf1 2 f1f 2 mf 2 2 f1f mf cos 60 所以 3a c 2 2c 2 a c 2 2 2c a c 1 2 整理得 4a 2 3ac c2 0 因为 e c a 所以 e2 3e 4 0 因为 e 1 所以 e 4 11 答案 a 解析易知 g x ex e x x2是奇函数 且是增函数 由 g log5m g log1 5m 2g 2 得 2g log 5m 2g 2 则 log5m 2 所以实数 m 的取值范围是 0 25 12 答案 a 解析依题意 f x 3ax2 2bx c 0 在 r 上恒成立 a 0 且 4b2 12ac 0 则 b2 3ac c b 2 3a 0 又 a0 则 3a 2b 3a 3a 2b 3a 2 2 b2 故 c 2b 3a b2 3a 2b 3a b2 b2 1 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 把答案填在题中横线上分 把答案填在题中横线上 13 答案 x 5 2 2 y 5 2 2 13 2 解析由椭圆方程x 2 9 y 2 4 1 知 a 3 0 b 0 2 所以过 a b c 三点的圆 m 的方程可设为 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 所以 9 3d f 0 4 2e f 0 29 2d 5e f 0 5 3d 2e 0 20 d 5e 0 解之得 d e 5 且 f 6 所以圆 m 的方程为 x2 y2 5x 5y 6 0 标准方程为 x 5 2 2 y 5 2 2 13 2 14 答案 an 2n 1 n n 解析因为 f x e x 1 ex 1 所以 f x e x 1 e x 1 1 ex ex 1 f x 所以函数 f x 为奇 函数 因为 g x f x 1 1 所以 g x 的图象关于点 1 1 对称 若 x1 x2 2 则有 g x1 g x2 2 所以 an g 1 n g 2 n g 3 n g 2n 1 n 2 n 1 g 1 2n 2 f 0 1 2n 1 故数列 an 的通项公式 an 2n 1 15 答案68 17 3 解析以 c 为顶点 把三棱柱补成长方体 设其外接球的半径为 r 则 2r 2 ac2 bc2 cc21 36 ac2 bc2 又 v三棱柱 1 2 ac bc cc 1 48 知 ac bc 16 ac2 bc2 2ac bc 32 则 2r 2的最小值为 68 所以 rmin 17 此时外接球的体积为4 3 17 3 68 17 3 16 答案 2 5 2 解析由 acos b bcos a 2 及余弦定理 得a 2 c2 b2 2c b 2 c2 a2 2c 2 c 2 4 a2 b2 2abcos c 2ab 2 9ab 则 ab 9 4 当且仅当 a b 3 2时等号成立 又 cos c 1 9 c 0 得 sin c 4 5 9 s abc 1 2absin c 1 2 9 4 4 5 9 5 2 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 共共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 在 abd 中 abd 180 45 105 30 1 分 由正弦定理得 ab ad sin 45 sin 30 6 2 2 3 3 分 在 abc 中 ac2 ab2 bc2 2ab bc cos abc 32 3 22 2 3 2cos abc cos abc 3 6 6 分 2 由 1 知 cos 3 6 2 sin 1 cos2 33 6 8 分 sin 2 2sin cos 11 6 cos 2 2cos2 1 5 6 10 分 sin 2 3 sin 2 cos 3 cos 2 sin 3 5 3 11 12 12 分 18 1 解 由题知 pf yp p 2 4 3 p 2 解得 p 2 2 分 抛物线 c 的标准方程为 x2 4y 4 分 2 证明设切线 an 的方程为 y k x a k 0 联立 x2 4y y k x a 消去 y 可得 x 2 4kx 4ka 0 6 分 由题意得 16k2 16ka 0 即 a k 切点 n 2a a2 9 分 又 f 0 1 a a 0 af a 1 an a a2 10 分 因此af an a 1 a a2 0 fan 90 故以 fn 为直径的圆过点 a 12 分 19 1 证明取 de 中点 m 连接 om gm 在 bde 中 om be om 1 2be 又因为 g 为 cf 中点 所以 cg be cg 1 2be cg om cg om 四边形 omgc 为平行四边形 gm co 2 分 因为 c 在平面 abed 内的射影为 o 所以 co 平面 abed 所以 gm 平面 abed 4 分 又因为 gm 平面 deg 所以平面 abed 平面 ged 5 分 2 解 co 平面 abed co ao co ob 又 ab be 四边形 abed 为菱形 ob ao 6 分 以 o 为坐标原点 oa ob oc 的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 o xyz 于是 a 3 0 0 b 0 1 0 e 3 0 0 c 0 0 3 向量be 3 1 0 向量bc 0 1 3 设平面 bce 的法向量为 m x1 y1 z1 m be 0 m bc 0 即 3x1 y1 0 y1 3z1 0 不妨令 z1 1 则 y1 3 x1 1 取 m 1 3 1 8 分 又 n 0 1 0 为平面 ace 的一个法向量 9 分 设二面角 a ce b 大小为 显然 为锐角 于是 cos cos m n m n m n 3 5 15 5 11 分 故二面角 a ce b 的余弦值为 15 5 12 分 20 解 1 x 1 10 0 02 0 02 0 0 05 0 04 0 0 1 0 01 0 0 1 0 2 分 s2 1 10 0 02 2 2 0 052 0 042 0 012 0 12 2 0 002 5 所以 s 0 05 4 分 2 由 1 中计算得 0 0 05 5 分 所以 p 2 x 2 p 0 2 0 05 x 0 2 0 05 p 0 1 x 0 1 因为在 0 1 x 0 1 内包括了所有合格产品 也包括了不合格的产品 而 p 0 1 x 0 1 0 954 0 96 所以这批抽查的产品的合格率不能达到 96 8 分 因为产品重量的误差服从正态分布 n 0 0 040 52 所以 0 0 040 5 又 2 x 2 为 0 081 x 0 081 所以每件产品合格的概率为 p 2 x 2 0 954 10 分 所以随机抽取 10 件产品中有不合格产品的概率为 p 1 0 95410 1 0 627 7 0 372 3 12 分 21 1 解 f x ex 2x 1 令 t x f x 则 t x ex 2 1 分 当 x ln 2 时 t x 0 t x 在 ln 2 单调递减 又 t ln 2 eln 2 2ln 2 1 1 2ln 2 0 令 t x 0 得 x 0 或 x x0 x0 ln 2 3 分 f x 在 0 单调递增 在 0 ln 2 单调递减 5 分 2 证明要证 ex1 x2 4 即证 x1 x2ln 2 2ln 2 xln 2 g x ex 4e x 4 0 当且仅当 x ln 2 时取 g x f x f 2ln 2 x 在 ln 2 单调递增 9 分 又 g ln 2 0 当 x ln 2 时 g x g ln 2 0 即 f x f 2ln 2 x 又 x2 ln 2 f x2 f 2ln 2 x2 f x1 f x2 f x1 f 2ln 2 x2 由 x2 ln 2 知 2ln 2 x2 ln 2 x1 ln 2 由 1 知 f x 在 ln 2 单调递减 x1 2ln 2 x2 x1 x2 2ln 2 即 ex1 x20 故可设 t1 t2是上述方程的两实根 所以 t1 t2 3 2 2 t1t2 1 8 分 又直线 l 过点 p 3 5 故由上式及 t 的几何意义 得 pa pb 2 t1 t2 2 t1 t2 3 2 10 分 法二当 m 3 时点 p 3 5 易知点 p 在直线 l 上 6 分 又 32 5 5 2 5 所以点 p 在圆外 联立 x2 y 5 2 5 x y 3 5