河北省唐山市第十一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

1 唐山市第十一中学唐山市第十一中学 2019 20202019 2020 学年度第一学期期中学年度第一学期期中 高一数学试卷高一数学试卷 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 1 设集合 则 1 2 4a 1 2 3b ab a b c d 1 2 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 答案 a 解析 分析 由集合的交运算即可求得结果 详解 集合 集合 1 2 4a 1 2 3b 集合与集合的共同元素为 和 ab12 所以由集合交运算定义知 1 2ab 故选 a 点睛 本题考查集合的交运算 属于基础题 2 下列各函数中 与表示同一函数的是 yx a b c y 2d 2 x y x 2 yx x 33 yx 答案 d 解析 分析 确定函数的三要素是 定义域 对应法则和值域 据此可判断出答案 详解 函数 y x 的定义域为 r 对于 a 定义域为 x r x 0 它们定义域不相同 不是同一函数 2 x y x 对于 b x 定义域为 r 但对于关系不相同 不是同一函数 2 yx 2 对于 c 定义域为 x x 0 它们定义域不相同 不是同一函数 2 yx 对于 d 定义域为 r 对于关系也相同 是同一函数 33 yxx 故选 d 点睛 本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域 值域以及对应法则 属 于中档题 判断函数是否为同一函数 能综合考查学生对函数定义的理解 是单元测试卷 经常出现的题型 要解答这类问题 关键是看两个函数的三要素 定义域 值域 对应法 则是否都相同 三者有一个不同 两个函数就不是同一函数 3 下列函数中 值域为的是 0 a b c d yx lnyx 2xy 2 yx 答案 c 解析 分析 根据选项中的函数解析式逐个判断函数的定义域和值域进行逐项排除即可 详解 对于 a 选项 由函数 的定义域为 知 此函数的值域为 故 a yx 0 0 排除 对于 b 选项 由函数的定义域为和对数函数的图象知 此函数的值域为 r lnyx 0 故 b 排除 对于 c 选项 由函数的定义域为 r 和指数函数的图象知 此函数的值域为 故 2xy 0 选 c 对于 d 选项 由函数的定义域为 r 和恒成立可知 此函数的值域为 故 2 yx 2 0 x 0 d 排除 故选 c 点睛 本题考查基本初等函数的图象及简单性质 重点考查函数的三要素问题 熟练掌握 各种类型的函数的图象特点是求解本题关键 属于基础题 4 下列函数中 在 上为单调递增函数的是 0 a b c d 2x 1y 2 24yxx 1 y x 3 yx 3 答案 d 解析 分析 结合函数的图象及性质和单调递增函数的定义进行逐项排除即可 详解 对于 a 选项 函数的斜率 故此函数在上为单调递减 2x 1y 20k x r 函数 故 a 排除 对于 b 选项 函数的图象是开口向上的抛物线 其对称轴为 故此函 2 24yxx 1x 数在上为单调递增函数 在为单调递减函数 故 b 排除 1 0 1 对于 c 选项 函数为反比例函数 其图象是双曲线 在和上均是单调递 1 y x 0 0 减函数 故 c 排除 对于 d 选项 函数为幂函数 其图象在上是一条上升的曲线 故此函数在 3 yx x r 上为单调递增函数 故选 d 0 故选 d 点睛 本题考查基本初等函数结合图象判断其单调性问题 熟练掌握各种类型函数的图象 及其性质是求解本题的关键 属于基础题 5 已知 则的值为 2 21 2 3 2 xx f x xx x 14ff a b c d 7 38 4 答案 b 解析 试题分析 2 141312 4 13ff 考点 分段函数 6 已知 则的大小关系是 1 3 log 5a 1 5 3b 0 3 1 5 c a b c a b c d abc cab acb bca 答案 c 4 解析 分析 由在上为减函数 知 由在上为增 1 3 logyx 0 11 33 log 5log 10a 3xy x r 函数 知 由在上为减函数 知 1 0 5 331b 1 5 x y x r 0 30 11 01 55 c 由此可得到答案 详解 因为在上为减函数 1 3 logyx 0 所以 11 33 log 5log 10a 因为在上为增函数 3xy x r 所以 1 0 5 331b 因为在上为减函数 1 5 x y x r 所以 0 30 11 01 55 c 所以 acb 故选 c 点睛 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小 选取合适的中间值是求解本 题的关键 常用中间值为 0 和 1 属于中档题 常考题型 7 函数的反函数的图象为 x 1 2 y a b c d 答案 d 5 解析 分析 利用同底的指数函数与对数函数互为反函数得出 所求反函数的解析式为 结合 1 2 logyx 对数函数图象及性质 即可得到答案 详解 因为函数和函数互为反函数 logayx 0 1aa x ya 0 1aa 所以函数的反函数为 x 1 2 y 1 2 logyx 因为 1 01 2 所以函数在上为减函数 且过点 1 2 logyx 0 1 0 故选 d 点睛 本题考查反函数的定义和对数函数的图象及性质 掌握同底的对数函数与指数函 数互为反函数是求解本题关键 属于基础题 8 函数 f x 的零点所在的一个区间是 23 x x a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 答案 b 解析 试题分析 因为函数 f x 2 3x 在其定义域内是递增的 那么根据 f 1 x f 0 1 0 1 0 那么函数的零点存在性定理可知 函数的零点的区间为 15 30 22 1 0 选 b 考点 本试题主要考查了函数零点的问题的运用 点评 解决该试题的关键是利用零点存在性定理 根据区间端点值的乘积小于零 得到函 数的零点的区间 9 已知函数且在上的最大值与最小值之和为 log x a f xax 0a 1 a 1 2 则的值为 log 26 a a 6 a b c d 1 2 1 424 答案 c 解析 试题分析 因为函数 且 在上是单调函数 所以最 log x a f xax 0a 1a 1 2 大值与最小值之和为 得 舍去 2 12log 2log 26 aa ffaa 2 3aa 故选 c 考点 1 对数函数的性质 2 指数函数的性质 10 函数 且 恒过定点为 1 y 4 x a 0a 1a a b c d 1 5 0 5 2 4 1 4 答案 a 解析 分析 由指数函数的图象恒过点可知 令 则时有 0 1 x yaaa 0 1 1xt 0t 的函数值为 1 从而得到答案 t ya 详解 因为指数函数的图象恒过点 0 1 x yaaa 0 1 所以令 1xt 则当时 0t 的函数值为 t ya 1 此时函数的函数值为 1 y 4 x a 5 所以函数 且 的图象恒过定点 1 y 4 x a 0a 1a 1 5 故选 a 点睛 本题考查指数函数的图象及性质和换元思想的简单应用 解题的关键是熟练掌握指 数函数的性质 并根据性质判断出本题求定点的问题可以令指数为 0 属于基础题 7 11 函数 f x x 的图像与函数 g x x2 4x 4 的图像的交点个数为 a 0b 1c 2d 3 答案 c 解析 在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像 可知有两个交点 12 设奇函数在上为增函数 且 则不等式的解 f x 0 1 0f 0 f xfx x 集为 a b 10 1 1 01 c d 1 1 10 01 答案 d 解析 由f x 为奇函数可知 0 时 f x 0 f 1 当x0 f 1 又 f x 在 0 上为增函数 奇函数f x 在 0 上为增函数 所以 0 x 1 或 1 x 0 选 d 点睛 解函数不等式 首先根据函数的性质把不等式转化为的形式 f g xf h x 然后根据函数的单调性去掉 转化为具体的不等式 组 此时要注意与的 f g x h x 8 取值应在外层函数的定义域内 此处有视频 请去附件查看 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 13 集合的子集的个数为 1 2m 答案 4 解析 集合有 个元素 集合的子集的个数为 故答案为 1 2m 2 1 2m 2 24 4 14 若函数 f x kx2 k 1 x 2 是偶函数 则 k 的值是 答案 1 解析 详解 由题意得 10 1kk 15 函数的定义域为 ln 2 x f x x 答案 0 2 解析 分析 由函数的定义域的概念知 自变量需要满足使均有意义 列不等式求解即可 注 x 1 ln 2 x x 意 定义域最后要写成集合或区间形式 详解 因为 ln 2 x f x x 所以要使有意义 f x 自变量需满足的不等式为 x 0 20 x x 解得 02xx 9 所以所求函数的定义域为 0 2 故答案为 0 2 点睛 本题考查函数的定义域及其求法 属于基础题 注意 定义域最后要写成集合或区 间形式 这是本题的易错点 16 已知为定义在区间上的增函数 f x 0 f x yf xfy 31f 则取值范围为 12f af a a 答案 9 1 8 a 解析 分析 由题知 利用可得 f x yf xfy 3 33 32fff 由在上单调性 列出不等式求解即可 1299f afa f x 0 详解 由题知 f x yf xfy 令 3 3xy 则有 3 33 32fff 所以有 1299f afa 因为在上单调递增 f x 0 99f afa 所以满足的不等式为 a 0 990 99 a a aa 解得 9 1 8 a 所以所求的取值范围为 a 9 1 8 a 10 故答案为 9 1 8 a 点睛 本题考查函数的定义域和单调性 着重考查利用抽象函数的单调性求参数的范围 巧妙利用使转化为是求解本题关键 属于 f x yf xfy 12f a 99fa 中档题 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 个小题 共个小题 共 7070 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 17 设全集为 求 r 37axx 510bxx r c ab 答案 或 3x x 5x 解析 分析 根据补集的定义求出 再有并集的定义对和集合取并集即可 r c a r c a b 详解 因为 37axx 所以由补集定义知 73 r c ax xx 或 因为 510bxx 所以作图如下 由图可知 35 r c abx xx 或 故答案为 或 3x x 5x 点睛 本题主要考查集合交 补混合运算 熟练掌握各自定义是求解本题关键 对于此类 题目学生应掌握画数轴辅助解题 画数轴时应注意实点和虚点的区别 属于中档题 常考题型 11 18 求值 1 2 2 0 3 3 3 1 0 122log27lg25lg4 4 答案 17 2 解析 分析 利用分数指数幂与根式的互化及运算法则求解 利用对数的性 1 2 2 0 3 3 1 0 122 4 质及运算法则求解即可 3 log27lg25lg4 详解 原式 1 12 2 33 3 11 122log 27lg100 42 121 1 3 32 3 1242 2 7 122 2 17 2 故答案为 17 2 点睛 本题考查指数式与对数式的混合运算 考查学生的运算能力和细心程度 属于基础 题 注意分数指数幂与根式的互化及运算法则和对数的运算法则的合理利用 19 若 求m的取值范围 213 11 0 22 mm 答案 4m m 解析 分析 利用指数函数在上为单调递减函数 得到关于的不等式 解不等式即 1 2 x y x rm 可 详解 原不等式可化为 12 213 11 22 mm 因为指数函数在上单调递减 1 2 x y x r 所以 213mm 解得 4m 所以的取值范围为 m 4m m 故答案为 4m m 点睛 本题考查利用指数函数的单调性解不等式 利用指数函数在上为 1 2 x y x r 单调递减函数是求解本题关键 属于基础题 20 已知幂函数的图象经过点 yf x 2 2 1 求解析式 f x 2 根据单调性定义 证明在区间上单调递增 f x 0 答案 1 2 证明见解析 yx 解析 分析 由题意可得 设 把点代入解析式 求出即可 1 f xx 为常数 2 2 由知 根据单调性的定义 任取 作差变形得到 2 1 f xx 12 0 xx 定号下结论即可 12 1212 12 xx f xf xxx xx 详解 由题意可得 1 设 f xx 为常数 因为的图象过点 f x 2 2 所以 22 13 解得 1 2 故答案为 yx 证明 由知 2 1 f xx 任取 12 0 xx 所以 1212 f xf xxx 1212 12 xxxx xx 12 12 xx xx 因为 12 0 xx 所以 1212 0 0 xxxx 所以 12 0f xf x 即 12 f xf x 所以在区间上单调递增 f x 0 点睛 本题考查幂函数的定义及形式和定义法证明函数的单调性及待定系数法求函数解 析式 掌握幂函数的形式及待定系数法求解析式是求解本题的关键 属于中档题 定义法证 明函数单调性的步骤 取值作差变形定号下结论 其中变形是关键 21 已知 求在区间上的最大值与最小值 2 21f xxax f x 0 2 答案 当时 0a min1f x max54f xa 当时 2a min54f xa max1f x 当时 01a 2 min 1f xa max54f xa 当时 12a max1f x 2 min 1f xa 解析 14 分析 先配方得到函数的对称轴为 根据区间定对称轴动的原则 将对称轴与区间分三种位 xa 置关系 轴在区间左边 轴在区间右边 轴在区间中间来讨论 其中轴在区间中间时需按中 间偏左 中间偏右分情况求函数的最大值 详解 由题可得 2 2 1f xxaa 对称轴为 开口向上 xa 当时 在区间上单调递增 1 0a f x 0 2 所以 min 01f xf max 254f xfa 当时 在区间上单调递减 2 2a f x 0 2 所以 min 254f xfa max 01f xf 当时 3 01a 由在区间上单调递减 f x 0 a 在区间上单调递增 且 2a 02ff 所以 2 min 1f xf aa max 254f xfa 当时 4 12a 由在区间上单调递减 f x 0 a 在区间上单调递增 且 2a 02ff 所以 max 01f xf 2 min 1f xf aa 综上所述 15 当时 1 0a min1f x max54f xa 当时 2 2a min54f xa max1f x 当时 3 01a 2 min 1f xa max54f xa 当时 4 12a max1f x 2 min 1f xa 点睛 本题考查利用二次函数的单调性求在某个区间上的最值 重点考查利用分类讨论思 想对动轴定区间函数最值的求解 关键是抓住二次函数的开口方向 对称轴及定区间 利 用数形结合和分类谈论思想相结合