浙江省绍兴市初中数学教学论文 问渠哪得清如许 为有源头活水来—谈知识的传授与思想方法的教学有机结合

1 问渠哪得清如许问渠哪得清如许 为有源头活水来为有源头活水来 谈知识的传授与思想方法的教学有机结合谈知识的传授与思想方法的教学有机结合 摘 要 当前 数学教学中重知识传授轻思想方法教学的现象较为普遍 扭转这一局面 根本问题是转变教师的教学观念 其次 教师要深入钻研教科书 领会初中数学教学中的数 学思想方法教学的内容和要求 再次 以知识为载体 设置数学知识的传授与数学思想方法 的教学结合点 从而使学生最大限度获得数学知识的同时 体验数学思想 提高学生的数 学素养 关键词 转变观念 钻研教材 设置载体 数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略 是数学的灵魂 因此 我们在 传授数学知识的同时 要引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法 使学生 提高数学思维水平 并能运用数学知识解决实际问题 笔者结合教学实践就寻找知识传授 与思想方法教学的结合点谈几点体会 一 转变观念是知识传授与思想方法教学结合的根本 在中考指挥棒下 当前的数学教学仍然受到应试教育的影响 重知识传授轻思想方法 教学的现象较为普遍 具体表现为 知识形成过程中 过多注重知识的传授 忽视数学思 想方法的教学要求 知识探索过程中 偏重于解题技能的掌握 淡化数学思想方法的概括 知识运用过程中 突出题型分析 忽视对学生进行数学思想方法的熏陶 知识提炼过程中 注重知识归类 忽视数学思想方法的总结和延伸 显然 上述现象与当今社会的发展和数 学教育所承担的任务相差甚远 随着新课改的不断深化 无论教学方式和学习方式怎样变 数学思想方法教学始终应 是数学教学的核心 全日制义务教育数学课程标准 实验稿 以下简称 标准 的总 体目标第一条是 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识 包括数学 事实 数学活动经验 以及基本的数学思想方法和必要的应用技能 数学教学大纲 也明 确指出 数学思想方法是数学知识的有机组成部分 是学生应掌握的重要数学内容 如果 把数学知识看成是 鱼 那么数学思想方法就是 渔 授人以鱼或授人以渔 孰轻孰重 尽人皆知 美国教育家布鲁纳认为 掌握基本数学思想方法可以使数学更容易理解和更容 易记忆 更重要的是领会思想方法是通向迁移大道的 光明之路 因此 我们首先要在思 想上充分认识到数学思想方法教学的重要性 在教学中充分重视对学生数学思想方法的培 养 提升学生使用数学思想方法分析问题 解决问题的意识和策略 遵循 标准 所倡导 的 人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 这一基本理念 真正着眼于学生的 可持续发展 2 其次 教学中要正确处理知识传授和思想方法教学之间的关系 作为一线教师 一方 面要明确掌握数学思想方法比掌握单纯的数学知识 对人的发展来说更受用 因为数学思 想方法是数学知识的精髓 是知识转化为能力的桥梁 大量事实证明 只有用数学思想武 装起来的学生解决问题才有远见和洞察力 只有以数学思想方法为主线的知识传授才呈现 旺盛的生机和活力 另一方面 要认识到数学思想方法与知识 技能是融于一体 相辅相 成的 知识的形成 探索 运用 提炼的过程都离不开数学思想方法的指引 知识中蕴含 着数学思想方法 而数学思想方法又可以孕育出新的知识 正是由于这种辩证关系 决定 了教师在教学中 在传授知识的同时还要突出思想方法的教学 通过合作学习 探究活动 等形式 促进学生相互交流 最大限度获得数学能力的培养和体验数学思想 二 钻研教材是知识传授与思想方法教学结合的基础 根据新课标的精神 新教材在内容和形式上作了重大改革 大量传统的封闭性 定向 性问题变成了探索性 开放性 应用性的问题 作为中学数学教师 要全面了解教材中所 隐含的数学思想方法 知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用 做到心中 有谱 层层落实 在教学中 引导学生通过有关数学知识和技能的学习 逐步领会建模思 想 数形结合思想 分类讨论思想 化归思想 特殊与一般思想 图形变换思想 类比思 想 变化与对应思想等基本数学思想 掌握待定系数法 消元法 换元法 配方法等基本 数学方法 1 建模的思想 比如 九上 1 3 反比例函数 一节中的例 2 提供了一种数学建模的方式 由实验 获得数据 用描点法画出图象 根据图象和数据判断或估计函数的类别 用待定系 数法求出函数的关系式 用实验数据验证 教材中出现的诸多如经济投资类中的利润资费问题 运动变换类中的位置面积问题 方案设计类中的最优化 最值 问题等 要引导学生通过表格 图象和图形观察 提炼信 息 进行数学化设计 即建立数学模型 如方程 组 模型 不等式 组 模型 函数模 型 最终促成问题解决 2 数形结合的数学思想 例如 我们利用数轴这一直观形象来提示 绝对值 这个概念的内涵 并利用数轴表 示不等式 用数轴表示一元一次不等式的解集及利用数轴求不等式组的解集 又如 在单项式与多项式相乘及多项式与多项式相乘运算法则的探索中 都是利用长 方形面积计算和图形的分割 然后用乘法分配律解释运算法则成立 3 再如 利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解 交点坐标就是方程组的解 利 用二次函数图象求一元二次方程的近似值 可以把方程的解看作是函数与 x 轴的交点的横 坐标 也可以看成是两函数图象交点的横坐标 3 分类讨论的数学思想 例如 在学习同底数幂的除法法则时 先是讨论了的情况 接 mnm n aaa mn 着又讨论了的情况 得出关于零指数幂的规定 最后又讨论的情况 给出负mn mn 整数指数幂的概念 把正整数指数幂的性质推广到整数及有理数范围 又如 一元二次方程求根公式中 由于涉及开方 须对它的符号进行讨论 2 4bac 从而不解方程却能对一元二次方程根的情况进行定性判断 通过研究二次函数的图象和性 质了解抛物线与 x 轴交点的横坐标 即当时对应的 x 值就是方程的0y 2 0axbxc 根 利用这个一元二次方程根的判别式 可以判定抛物线与 x 轴交点的个数 再如 在探索圆周角和圆心角之间的关系时 可利用几何画板演示圆周角顶点在弧上 活动的情形 帮助学生理解圆心有在圆周角内 圆周角外和圆周角的一条边上三类情况 从而得出圆周角定理 4 转化 化归 的数学思想 例如 在一元一次方程的解法上 从等式的两条性质出发 通过适当的变形 都可以 化为 为已知数 的形式 在学习二元一次方程组的解法时 利用 做一做 xa a 探索出求二元一次方程组的解法 然后比较同一个问题的两种求解办法的区别和联系 揭 示其本质思想 消元 同时体验二元一次方程组的解是两个二元一次方程解集的 交 集 向学生渗透了集合思想 利用因式分解法解一元二次方程就是将一元二次方程转化为 两个一元一次方程 异分母分式的加减要转化成同分母分式的加减 分式方程的求解要转 化成整式方程 又如 多边形的内角和化归为三角形的内角和问题 航行问题 三角形由方位线和航 行路线构成 高度测量问题 三角形由视线 水平线和铅垂线构成 等实际问题常常化归 为解直角三角形问题 5 特殊与一般思想 例如 正比例函数是特殊的一次函数 对一次函数性质的讨论是从正比例函数开始 的 又如 特殊平行四边形的学习是继平行四边形后 从角的特殊性 直角 认识矩形 4 从边的特殊性 等边 认识菱形 再如 在探索锐角三角函数时 先是将角的大小固定 发现比值与所选点的位置无关 然后发现当角的大小变化时 比值也随之变化 由此体验比值是角的函数 6 图形变换的思想 例如 用轴对称变换来研究等腰三角形 用中心对称变换来探索三角形中位线定理和 研究平行四边形 相似形以相似变换为基础 是相似变换的延续和深化 又如 借助于圆的轴对称性 探索 垂径定理 借助于圆的旋转不变性 探索圆中 弧 弦 弦心距 圆心角之间的关系 利用平移变换 探究直线与圆的位置关系 把形的 问题 直线与圆的位置关系 转化为数的问题 圆心到直线的距离 d 半径 r 的数量关系 也可以根据数量关系确定直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系也同样探究 再如 反比例函数的图象的两个分支关于原点成中心对称 借助中心对称变换 k y x 作另一分支 反比例函数的图象与的图象关于坐标轴对称 借助轴对称变 k y x k y x 换或旋转变换 绕原点旋 来作另一函数的图象 同一坐标系中具有相同二次项系数90 的二次函数图象可经过平移变换得到 7 类比思想 例如 分式和分数有许多相似之处 教材无论是新课的引入 还是性质 运算法则的 得出 都采用了分式与分数的类比进行 二次根式的运算以整式的运算为基础 其法则 公式都与整式的类似 二次根式的加减运算可类比整式的加减运算 二次根式的乘除 乘 方运算可类比整式的乘除 乘方运算 又如 相似三角形以全等三角形和相似变换为基础 是全等三角形在边上的推广 由 相似三角形的概念和性质通过类比得出相似多边的概念和性质 再如 弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的 而是 让学生去进行探索 类比 归纳 弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出 扇形的面 积公式是类比圆的面积公式而得 圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形 而由扇 形的计算公式而得出的 8 变化与对应思想 例如 数轴上的点与实数一一对应 平面上的点与一个有序实数对也一一对应 就函 数的意义而言 在某个变化过程中有两个变量 x y 对于 x 的每一个确定值 y 都有唯一 确定的值 这样一种一一对应将函数的解析式与图形联系起来 一次函数与一元一次方程 5 二元一次方程组和一元一次不等式相互联系 二次函数与一元二次方程亦如此 在数学教学中 我们不仅要善于发现和揭示教材中所隐含的数学思想方法 而且要在 教学实践中注意在每个重要的数学思想方法形成阶段 精心设计好数学思想方法训练课 要求学生按一定的程序和步骤练好基本功 总之 教师要深入钻研教材 充分地进行研究和发掘 深刻领会教材意图 才能抓准 抓好知识与思想方法的结合点 促进学生在学习数学的过程中数学思想方法的内化和思维 品质的提升 三 设置载体是知识传授与思想方法教学结合的关键 数学思想方法的形成 需经历从模糊到清晰 从理解到应用的较长的发展过程 而这 个过程的目标往往不够明确 课堂教学中的随意性较大 如何把数学知识的传授与数学思 想方法的教学有机结合起来 在传授数学知识的同时 更突出数学思想方法的教学 是一 个迫切需要解决的问题 下面以浙教版七年级下 整式的运算 这章教学为例 谈谈以知识为载体设置数学知 识的传授与数学思想方法的结合点 1 在知识的形成过程中呈现结合 案例一 探索积的乘方法则 1 引导学生根据乘方的意义 乘法的交换律和结合律和同底数幂的乘法法则填空 4 6 4 6 4 6 4 4 4 6 6 6 4 6 3 4 6 那么 4 6 4 4 6 依次类推 5 4 6 6 4 6 4 6 n 2 若把中的 4 和 6 分别用字母 a 和 b 来代替 成立吗 你能 4 6 n n nn aba b 运用所学的知识来验证吗 3 学生活动 让一名同学到黑板板演验证 等这位同学板演完 师生 n nn aba b 共同评判完整地写出验证过程 n nab abababab 个 na a aa 个 即 n 是正整数 这就是说 积的乘方 等于把积的 nb b bb 个 nn a b n nn aba b 每一个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 6 图 2图 3图 4 图 1 4 想一想 nabc 这种以学生的既有知识为基础 展开问题的发生发展过程 引导学生去探究 去发现 使他们在知识的形成过程中自然地掌握由特殊到一般的探究方法及类比的思想方法 2 在知识探索过程中着眼结合 案例二 探索多项式与多项式乘法的法则 看看谁的的拼法多 拼图游戏 如图 1 所示的长方形卡片各一张 尽可能多地拼出 面积不同的矩形 并用不同的代数式表示它的面积 归纳学生中出现的三种拼法 其中如图 2 所示的组合长方形的面积有两种表示 因为它们都 a bm abam 表示同一个长方形的面积 所以 同理 如图 a bmabam n bmnbnm 3 这样 不仅复习单项式乘以多项式的内容 而且为下面得到多项式乘以多项式的结论作 铺垫 图 4 可以看作图 2 图 3 的组合体 它的面积有三种表示 anbm 于是 我们得到如下的等式 a bmn bm abamnbnm anbma bmn bmabamnb 如此引导的目的是让学生进一步认识到多项式乘以多项式本质上与单项式乘以多项nm 式一样都是乘法对加法分配律的应用 也可以启发学生将 看成一个整体 进而将 bm 多项式的乘法可以转化为单项式的乘法 从而推导出多项式与多项式乘法的法则 形能启迪数的计算 数能澄清形的模糊 教师通过拼图从面积的角度解释多项式乘 法 帮助学生从直观上理解这些内容 并渗透数形结合思想 同时 学生的学习方式也由 被动地接受知识转变为把模仿学习和体验式学习相结合 教学中 教师要尽量让学生尝试 7 图 6 探索 体验知识产生的过程 在学生获取数学知识的同时 要让学生主动运用数学思想方 法来解决问题 3 在知识运用过程中体验结合 案例三 多项式与多项式乘法的法则的应用 1 如图 5 在长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形 a b 把余下的部 分剪拼成一个矩形 通过计算两个图形 阴影部分 的面积 验证了一个等式 则这个等 式是 2 如图 6 正方形卡片 A 类 B 类和长方形卡片 C 类各若干张 如图 7 是一个重要公式的几何解释 请你写出这个公式 如果要拼一个长为 a 2b 宽为 a b 的大长方形 则需要 A 类卡片 张 B 类卡片 张 C 类卡片 张 引导学生发现图 5 左图中的阴影部分是两个正方形的面积之差 为 右图中的阴 22 ab 影部分是长为 宽为的长方形 因此 这两个图形由面积相等所验证的公式是 ab ab 如图 7 是由 1 张 A 类卡片 1 张 B 类卡片 2 张 C 类卡片组合而 22 ababab 成的边长为的正方形 所以 通过图形从面积的角度解释 ab 2 22 2abaabb 平方差公式 完全平方公式 从直观上理解 渗透数形结合思想 长为 宽为 2ab 的大长方形的面积为 故需要需要 A 类卡片 1 张 ab 2abab 22 32aabb B 类卡片 2 张 C 类卡片 3 张 如图 8 第 2 小题的后半小题虽以拼图为背景 却不是真 图 5 图 8图 7 8 正要求学生去拼图 而是引导学生理解化归这一基本思想方法 即将其转化为多项式乘 法 在教学中 思想方法应在解题过程中渗透 揭示 运用和提炼 成为数学知识讲解的 自然延伸 应为学生创设一定的条件 鼓励学生运用所学的相关知识和数学思想方法 去 尝试解决一些问题 并将蕴含其中的数学思想方法概括出来 要增强学生对数学思想方法 的应用意识 从而使学生更透彻地理解所学知识 切实提高独立分析问题 解决问题的能 力 4 在知识的提炼过程中落实结合 数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想融于数学知识体系中 因此 适时对数学 思想作出归纳 概括是十分必要的 尤其在小结与复习中 它既是揭示知识之间的内在联 系 又是提炼知识中蕴含的数学思想的极好机会 让学生在潜移默化中受到数学思想的熏 陶 既可以巩固有关知识 又可以提高学生对数学思想方法的应用意识 案例四 七下第 5 章 整式的乘除 单元复习 本章内容之间的相互联系的结构框架如下 乘法法则乘法公式 整式的乘法整式的除法 除法法则 整式的乘除 平方差公式 完全平方公式 转化 指数的运