河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三数学上学期第一次质检试题 理（含解析）

1 河北省承德市隆化县存瑞中学河北省承德市隆化县存瑞中学 20202020 届高三数学上学期第一次质检试届高三数学上学期第一次质检试 题题 理 含解析 理 含解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 共小题 共 60 060 0 分 分 1 设集合 则 2 430 ax xx 230 bxx ab a b c d 3 3 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 答案 d 解析 试题分析 集合 集合 所以 130 13axxxxx 故选 d 3 3 2 abxx 考点 1 一元二次不等式 2 集合的运算 此处有视频 请去附件查看 2 若复数满足 为虚数单位 则 z 12zii i z a 1b 2c d 2 3 答案 c 解析 试题分析 因为 所以因此 1 2zii 22 1 1 12 iii zi i 12 zi 考点 复数的模 此处有视频 请去附件查看 3 若函数 且 的图象经过第二 三 四象限 则一定有 1 x yab 0a 1a a 且b 且c 且d 且 01a 0b 1a 0b 01a 0b 1a 2 0b 答案 c 解析 经过二 三 四象限 则其图像应如图所示 1 x yab 所以 即 故选 b 01a 0 10ab 0b 4 是 的 0 x ln 1 0 x a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 试题分析 由题意得 故是必要不充分条件 ln 1 001110 xxx 故选 b 考点 1 对数的性质 2 充分必要条件 5 满足条件a 4 b 5 a 45 的 abc的个数是 2 a 1b 2c 无数个d 不存在 答案 d 解析 分析 由正弦定理求出角b值的个数 从而得出结论 详解 由正弦定理知无解 即不存在这样的三角形 5 sin sinsin4 ab b ab 点睛 由正弦定理求出角b值的个数 很多时候还需要结合 大边对大角 特点 属于中 档题 3 6 函数的最大值为 cos26cos 2 f xxx a 4b 5c 6d 7 答案 b 解析 试题分析 因为 而 所 22 311 1 2sin6sin2 sin 22 f xxxx sin 1 1 x 以当时 取得最大值 5 选 b sin1x f x 考点 正弦函数的性质 二次函数的性质 名师点睛 求解本题易出现的错误是认为当时 函数 3 sin 2 x 取得最大值 2 311 2 sin 22 yx 此处有视频 请去附件查看 7 已知等差数列的前项为 且 则使得取最小值时 n a nn s 15 14aa 9 27s n s 的为 n a 1b 6c 7d 6 或 7 答案 b 解析 试题分析 由等差数列的性质 可得 又 所以 所以数列 的通项公式为 令 解得 所以数列的前六项为负数 从第七项开始为正数 所以使得取最小值时的为 故选 b 考点 等差数列的性质 8 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 f 1 5 且f x 4 f x 则 4 f 2012 f 2015 的值为 a 0b c 2d 5 5 答案 b 解析 分析 本题函数奇偶性及周期性的综合运用问题 有题中条件可获取函数具有 4 f xf x 周期性 详解 可知所以函数 4 f xf x 8 4 4 4 f xfxf xf x 周期 t 8 f x 2012 2015 4 7 0 1 1 5fffffff 点睛 本题考察了函数奇偶性及周期性的综合运用 本题还可以继续探究 比如函数 是否有对称性 比如能否写出该函数的所有对称轴 所有的对称中心 由函数是 f x 奇函数即函数还会关于对称 再加上周期性我们可以 4 f xf xfx 2x 得出所有对称轴的方程 9 函数的部分图象如图所示 如果 sin0 2 f xxxr 且 则 12 2 63 x x 12 f xf x 12 f xx a b c d 3 2 1 2 1 2 3 2 答案 a 解析 分析 5 由周期求出 由五点法作图求出的值 可得函数的解析式 再根据正弦函数图象的对称 性 求得 从而可得的值 12 5 6 xx 12 f xx 详解 由函数的部分图象 sin 0 2 f xxxr 可得 122 2 236 再根据五点法作图可得 20 63 sin 2 3 f xx 因为上 且 12 2 63 x x 12 f xf x 所以 12 2 1 63 22 xx 故选 a 12 5 6 xx 12 543 sin 2sinsin 63332 f xx 点睛 本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质 属于中档题 利 用最值求出 利用图象先求出周期 用周期公式求出 利用特殊点求出 正确求 a 是解题的关键 求参数是确定函数解析式的关键 由特殊点求时 一定要分清特 殊点是 五点法 的第几个点 10 如图 正方形中 分别是的中点 若则 abcdmn bccd acambn a b c d 2 8 3 6 5 8 5 答案 d 6 解析 试题分析 取向量作为一组基底 则有 ab bc 所以 11 22 amabbmabbc bnbccnbcab 1111 2222 acambnabbcbcababbc 又 所以 即 acabbc 11 1 1 22 628 555 11 函数的最小正周期为 若其图象向左平移个 sin0 2 f xx 6 单位后得到的函数为奇函数 则函数的图象 f x a 关于点对称b 关于点对称 7 0 12 0 12 c 关于直线对称d 关于直线对称 12 x 7 12 x 答案 c 解析 分析 根据函数的最小正周期为 求出 向左平移个单位后得到的函数为奇函数 求 f x 6 出 可得出的解析式 结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴 由此判断即 f x 可求得答案 详解 根据三角函数的图象与性质 可得 因为 所以 2 t 2 0 2 所以 sin 2 f xx 设的图象向左平移个单位后得到的函数为 f x 6 g x 则 sin 2sin 2 263 g xxx 7 若为奇函数 则 故 即 g x 0 0g 3 k kz 3 kkz 因为 所以 所以 2 3 sin 2 3 f xx 由 解得 所以关于点 对称 2 3 xk kz 62 k x f x 0 62 k kz a 项 不存在整数 使得 故 a 项错误 k 7 6212 k b 项 不存在整数 使得 故 b 项错误 k6212 k 由 解得 所以关于直线 2 32 xk kz 5 122 k x f x 5 122 k x kz 对称 c 项 当时 故关于直线对称 故 c 项正确 1k 12 x f x 12 x d 项 不存在整数 使得 故 d 项错误 k 57 12212 k 故选 c 点睛 本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心 对称轴的求法 涉及的知识 点较多 综合性较强 属于中等题 12 已知定义在r上的偶函数 其导函数为 当时 恒有 f x fx 0 x 若 则不等式的解集为 0 2 x fxfx 2 g xx f x 1 2g xgx a b 1 1 3 1 1 3 c d 1 3 1 3 答案 a 解析 分析 8 根据为偶函数 则也为偶函数 利用导数可以判断在为减函数 f x g x g x 0 则不等式可转化为 解不等式即可得到答案 12 g xgx 12xx 详解 解 是定义在 r 上的偶函数 f x fxf x 时 恒有 0 x 0 2 x fxfx 2 2 0 x fxxf x 又 2 g xx f x 2 2 0g xxf xx fx 在为减函数 g x 0 为偶函数 也为偶函数 f x g x 在为增函数 g x 0 又 即 化简得 12 g xgx 12xx 22 12 xx 得 故选 a 1 31 0 xx 1 1 3 x 点睛 通过构造新函数来研究函数单调性是本题一大亮点 同时利用抽象函数的单调性 奇偶性解不等式是常考考点 要牢牢掌握 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 共小题 共 20 020 0 分 分 13 已知数列 an 的前n项和为sn n2 3n 5 则an 答案 9 1 22 2 n nnnn 解析 分析 考察数列与的关系 n s n a 1 1 n nn s a ss 1 2 n nnn 详解 当时 1n 11 9as 当时 又不 2n 2 2 1 35131522 nnn assnnnnn 1n 符合该表达式所以 9 1 22 2 n n a nnnn 点睛 本题考察数列与的关系 千万注意成立的条件 n s n a 1nnn ass 2n 9 14 已知向量 2 sin 1 cos 若 则的值为 a b a b 2 2 1 sin cos 答案 2 3 解析 分析 由向量共线为载体 建立关于角的三角函数关系式 借助三角恒等变形可求解本题答案 详解 2 sin 1 cos ab ab sin2costan2 222 22 222 tan42 1tan2423 sinsin cossincoscos 点睛 通过向量共线去得出关于的三角函数关系式 再综合三角恒等变形中齐次式的 运用 使得做题达到事半功倍的效果 15 下列说法 正切函数y tanx在定义域内是增函数 函数是奇函数 2 32 f xcosx 是函数的一条对称轴方程 8 x 5 2 4 f xsinx 扇形的周长为 8cm 面积为 4cm2 则扇形的圆心角为 2rad 其中正确的是 写出所有正确答案的序号 答案 解析 分析 本题通过判断命题方式考察了正弦 余弦 正切函数及扇形圆心角弧度的计算 详解 正切函数的单调增区间为但是在整个定义 tanyx 22 kkkz 域上不单调 函数是奇函数 所以成立 22 sin 323 f xcosxx 10 因为 取得最小值为其中一条对称轴 53 2sin1 8842 fsin 8 x 设扇形弧长与半径分别为从而由弧度制的定义知弧度 l r 28 2 1 44 2 lr r llr 成立 2 l r 点睛 考察了三角函数的单调性 奇偶性 对称性属于常规题 考生可以结合扇形把 将弧长 弦长 圆心角弧度 周长 面积 包括扇形面积 弓形面积 这些量整合起来 16 如图 在直角梯形中 若 abcd 90 3 2abdcabcabbcdc 分别是线段和上的动点 则的取值范围是 e f dcbcac ef 答案 4 6 解析 以 ab 为 x 轴 bc 为 y 轴建立直角坐标系 则 a 3 0 c 0 2 设 f 0 m e n 2 故 2m 3n 4 由图可知 所以 ac ef 20 02 024 036nmmn 2m 3n 4 4 6 点睛 对于向量问题 最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式 然后 再根据题意范围求解结果 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 70 070 0 分 分 17 设 22paxa 0a q 320 xx 1 若是的充分不必要条件 求实数的取值范围 qp a 2 若 且p与q一真一假 求实数的取值范围 1a x 答案 1 2 5 a 3 12 3 11 解析 分析 1 若是的充分不必要条件 可得到p q对应集合的关系 从而得到结果 qp 2 且为假 为真得到p q一真一假 在此两种情况下分别求出满足 1a pq pq 条件的x范围 详解 解 1 由 得 320 xx 32 x 若q是p的充分不必要条件 则即 3 22 2 aa 0 23 a a 所以 5 a 所以 实数的取值范围是 a5 a 2 当时 因为为假 为真 所以一真一假 1a 13 px pq pq p q p真q假时 得 所以 2 x 3 13 32 x xx 或 p假q真时 得 所以 3 x 1 13 32 xx x 或 综上 实数x的取值范围是 3 12 3 点睛 本题考查了有逻辑联结词的复合命题的真假 以及充分条件的应用求参数的范围 18 已知 an 是等差数列 bn 是等比数列 且 b2 3 b3 9 a1 b1 a14 b4 1 求 an 的通项公式 2 设 cn an bn 求数列 cn 的通项公式 答案 1 2 21 n an 1 21 3nn 解析 详解 试题分析 1 求出等比数列的公比 再求出 a1 a14的值 根据等差数列 n b 的通项公式求解 2 根据等差数列和等比数列的前 n 项和公式求数列 cn 的前 n 项和 试题解析 1 等比数列的公比 n b 2 3 9 3 3 b q b 12 所以 2 1 1 b b q 43 27bb q 设等差数列的公差为 n a d 因为 11 1ab 144 27ab 所以 即 1 1327d 2d 所以 21 n an 1n 23 2 由 1 知 21 n an 1 3n n b 因此 1 21 3n nnn cabn 从而数列的前项和 n c n 1 1 3211 33n n sn 1211 3 21 3 n nn 2 31 2 n n 考点 等差 等比数列的通项公式和前 n 项和公式 考查运算能力 名师点睛 1 数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数 是函数思想在 数列中的应用 数列以通项为纲 数列的问题 最终归结为对数列通项的研究 而数列的前 n 项和 sn可视为数列 sn 的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一 2 数 列的综合问题涉及的数学思想 函数与方程思想 如 求最值或基本量 转化与化归思想 如 求和或应用 特殊到一般思想 如 求通项公式 分类讨论思想 如 等比数列 求和 或 等 此处有视频 请去附件查看 19 在 abc 中 1 求 b 的大小 222 2acbac 2 求cos a cos c 的最大值 2 13 答案 1 2 1 4 解析 试题分析 1 由余弦定理及题设得 222 22 cos 222 acbac b acac 4 b 2 由 1 知 3 4 ac 3 2coscos2coscos 4 acaa 当时 取得最大值 cos 4 a 4 a 2coscosac 1 试题解析 1 由余弦定理及题设得 222 22 cos 222 acbac b acac 又 2 由 1 知 0b 4 b 3 4 ac 3 2coscos2coscos 4 acaa 22 2coscossin 22 aaa 因为 所以当时 22 cossincos 224 aaa 3 0 4 a 4 a 取得最大值 2coscosac 1 考点 1 解三角形 2 函数的最值 此处有视频 请去附件查看 20 已知函数 f x sin2x 1 2 3 2 cos x 求 f x 的最小周期和最小值 将函数 f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍 纵坐标不变 得到函数 g x 的图象 当 x时 求 g x 的值域 2 答案 2 3 2 13 23 22 解析 14 详解 1 2 113 sin23cossin2 1 cos2 222 f xxxxx 1333 sin2cos2sin 2 22232 xxx 因此的最小正周期为 最小值为 f x 2 3 2 2 由条件可知 3 g sin 32 xx 当时 有 2 x 2 363 x 从而的值域为 sin 3 x 1 1 2 那么的值域为 3 sin 32 x 13 23 22 故在区间上的值域是 g x 2 13 23 22 考点 1 三角恒等变换 2 正弦函数的图象及性质 3 三角函数图象变换 此处有视频 请去附件查看 21 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足sn n 2 an 2 n n 1 证明 数列 an 1 为等比数列 2 若bn an log2 an 1 数列 bn 的前项和为tn 求tn 答案 1 见解析 2 1 1 1 22 2 n n n n tn 解析 分析 证明数列是等比数列常用的方法是作商法 当时 证 定值 2n 1 1 1 n n a a 15 考查分组求和 其中又包含错位相减法及等差数列求和公式法 详解 1 证明 sn n 2 an 2 n 2 时 sn 1 n 1 2 an 1 2 两式相减 an 1 2an 2an 1 an 2an 1 an 1 2 an 1 1 常数 1 1 2 1 n n a a 又n 1 时 a1 1 2 a1 2 得 a1 3 a1 1 2 所以数列 an 1 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 2 由 1 1 12 22 nn n a 21 n n a 又 bn an log2 an 1 21 n n bn tn b1 b2 b3 bn 1 2 2 22 3 23 n 2n 1 2 3 n 设 231 1 22 23 2122 nn n ann 231 2