普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社第六章-万有引力定律

第 6 章万有引力定律 第六章第六章 万有引力定律万有引力定律 习题解答习题解答 6 1 1 设某行星绕中心天体以公转周期 T 沿圆轨道运行 试用开普勒第三定律证明 一个物体由此轨 道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为 2 T t 证明 物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度 222 2 4 1 2 TR RT R R v a 由自由落体公式 2 2 2 1 2 T aRtatR 此题原来答案是 这里的更正与解答仅供参考 24 T t 6 2 1 土星质量为 5 7 1026kg 太阳质量为 2 0 1030kg 两者的平均距离是 1 4 1012m 太阳对土 星的引力有多大 设土星沿圆轨道运行 求它的轨道速度 解 据万有引力定律 太阳与土星之间的引力 f GMm r2 6 51 10 11 2 0 1030 5 7 1026 1 4 1012 2 3 8 1022N 选择日心恒星参考系 对土星应用牛顿第二定律 f mv2 r smmfrv 107 9107 5 04 1108 3 3261222 6 2 3 一个球形物体以角速度 转动 如果仅有引力阻碍球的离心分解 此物体的最小密度是多少 由此估算巨蟹座中转数为每秒 30 转的脉冲星的最小密度 这脉冲星是我国在 1054 年就观察到的超新星 爆的结果 如果脉冲星的质量与太阳的质量相当 2 1030kg 或 3 105Me Me为地球质量 此脉冲 星的最大可能半径是多少 若脉冲星的密度与核物质相当 它的半径是多少 核密度约为 1 2 1017kg m3 解 设此球体半径为 R 质量为 m 考虑球体赤道上的质元 m 它所受到的离心惯性力最大 f m 2R 若不被分解 它所受到的引力至少等于离心惯性力 即 Gm m R2 m 2R m 2R3 G 而 m 4 R3 3 代如上式 可求得 G 4 3 2 脉冲星的最小密度 314 1051 64 230 3 103 1 11 2 mkg 据密度公式 m V 4 R3 3 R3 3m 4 kmR 2 3 1430 105 1 103 114 3 4 1023 kmR16 102 114 3 4 1023 3 1730 6 2 4 距银河系中心约 25000 光年的太阳约以年的周期在一圆周上运动 地球距太阳 8 光分 设太阳 受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力 试求以太阳质量为单位银河系的质量 第 6 章万有引力定律 解 设银河系 太阳 地球的质量分别为 M m m 太阳距银河系中心的距离为 r 2 5 104光年 2 5 104 365 24 60 光分 1 31 106光分 绕银河系中心公转角速度为 10 8 2 1 7 年 地球距 太阳的距离为 r 8 光分 绕太阳公转角速度为 2 年 分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律 Gmm r 2 m 2 r 1 GMm r2 m 2 r 2 由 1 可得 G 2 r 3 m 代入 2 中 可求得 mmmM r r 113 8 1031 1 2 107 1 1 3 2 1053 1 6 8 6 2 5 某彗星围绕太阳运动 远日点的速度为 10km s 近日点的速度为 80km s 若地球在半径为 1 5 108km 圆周轨道上绕日运动 速度为 30km s 求此彗星的远日点距离 解 角动量守恒 bmvamv 21 能量守恒 b mM a mM GmvGmv 2 22 1 2 12 1 牛二定律 R v R mM mG 2 2 联立 解得 a 3 108 km 6 2 6 一匀质细杆长 L 质量为 M 求距其一端为 d 处单位质量质点受到的引力 亦称引力场强度 解 选图示坐标 0 x 单位质量质点在坐标原点处 在杆上取质元 dm dxM L 其坐标为 x 它对原点处 质点的引力为 由于各质元对质点的引力方向均沿 x 轴正 22 1 x dx L GM x dm Gdf 向 杆对质点的引力方向沿 x 轴正向 大小为 111 2 Ldd GM LddL GM d Ld xL GM Ld d L GM dxxf 6 2 7 半径为 R 的细半圆环线密度为 求位于圆心处单位质量质点受到的引力 引力场强度 解 由对称性分析可知 引力场强度的 x 分量等于零 质元 dm Rd 所受引力的 y 分量为 d R G R dm Gdfysinsin 1 2 RG R G d R G fy 2 cossin 0 0 6 3 1 考虑一转动的球形行星 赤道上各点的速度为 V 赤道上的加速度是极点上的一半 求此行星 极点处的粒子的逃逸速度 解 设行星半径为 R 质量为 M 粒子 m 在极点处脱离行星所需的速度为 v 在无穷远处的速度 引力势能为零 由机械能守恒定律有 即 0 2 2 1 R mM GmvRGMv 2 2 第 6 章万有引力定律 以球形行星为参考系 匀速转动参考系 设粒子 m 在赤道上和极点上的加速度分别为 a1和 a2 粒子 m 在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用 由牛二定律有 2 1 2 1 2 2 RaRVGMma R V m R Mm G 即 粒子 m 在极点上只受引力作用 由牛二定律有 2 22 2 RaGMma R Mm G 即 已知 12 2aa 由 可求得 代入 中 得 2 2 VRGM VvVv24 22 6 3 2 已知地球表面的重力加速度为 9 8ms 2 围绕地球的大圆周长为 4 107m 月球与地球的直径及 质量之比分别是 试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度 0123 0 27 0 emem MMDD和 解 设质点 m 脱离月球的速度为 v 在距月球无穷远处的速度 引力势能为零 由机械能守恒定律 有 mm m m RGMv R mM Gmv 2