奥数时钟问题

奥数时钟问题 钟面追及 时间 时间 2008 11 30 18 33 57 点击 点击 2502 基本思路 封闭曲线上的追及问题 关键问题 确定分针与时针的初始位置 确定分针与时针的路程差 基本方法 分格方法 时钟的钟面圆周被均匀分成60 小格 每小格我们称为1 分格 分针每小时走60 分格 即一周 而时针只 走5 分格 故分针每分钟走1 分格 时针每分钟走1 12 分格 度数方法 从角度观点看 钟面圆周一周是 360 分针每分钟转 360 60 度 即 6 时针每分钟转 360 12 60 度 即 1 2 度 四 时钟问题解法与算法公式四 时钟问题解法与算法公式 解法 时钟 算法 公式 四 时钟问题解法与算法公式 解题关键 时钟问题属于行程问题中的追及问题 钟面上按 时 分为 12 大格 按 分 分为 60 小格 每小时 时针走 1 大格合 5 小格 分针走 12 大格合 60 小格 时针的转速是分针 的 两针速度差是分针的速度的 分针每小时可追及 1 二点到三点钟之间 分针与时针什么时候重合 分析 两点钟的时候 分针指向 12 时针指向 2 分针在时针后 5 2 10 小格 而分针 每分钟可追及 1 小格 要两针重合 分针必须追上 10 小格 这样所需要时间应为 10 分钟 解 5 2 1 10 10 分 答 2 点 10 分时 两针重合 2 在 4 点钟至 5 点钟之间 分针和时针在什么时候在同一条直线上 分析 分针与时针成一条直线时 两针之间相差 30 小格 在 4 点钟的时候 分针指向 12 时针指向 4 分针在时针后 5 4 20 小格 因分针比时针速度快 要成直线 分针 必须追上时针 20 小格 并超过时针 30 小格 后 才能成一条直线 因此 需追及 20 30 小格 解 5 4 30 1 50 54 分 答 在 4 点 54 分时 分针和时针在同一条直线上 3 在一点到二点之间 分针什么时候与时针构成直角 分析 分针与时针成直角 相差 15 小格 或在前或在后 一点时分针在时针后 5 1 5 小格 在成直角 分针必须追及并超过时针 才能构成直角 所以分针需追及 5 1 15 小格或追及 5 1 45 小格 解 5 1 15 1 20 21 分 或 5 1 45 1 50 54 分 答 在 1 点 21 分和 1 点 54 分时 两针都成直角 4 星期天 小明在室内阳光下看书 看书之前 小明看了一眼挂钟 发现时针与分针正 好处在一条直线上 看完书之后 巧得很 时针与分针又恰好在同一条直线上 看书期间 小明听到挂钟一共敲过三下 每整点 是几点敲几下 半点敲一下 请你算一算小明从 几点开始看书 看到几点结束的 分析 连半点敲声在内 一共敲了三下 说明小明看书的时间是在中午 12 点以后 12 点 以后时针与分针 第一次成一条直线时刻是 0 30 1 30 32 分 即 12 点 32 分 第二次成一条直线时刻是 5 1 30 1 35 38 分 即 1 点 38 分 第三次成一条直线的时刻是 5 2 30 1 40 43 分 即 2 点 43 分 如果从 12 点 32 分开始 到 1 点 38 分 只敲 2 下 到 2 点 43 分 就共敲 5 下 不合题意 如果从 1 点 38 分开始到 2 点 43 分 共敲 3 下 因此 小明应从 1 点 38 分开始看书 到 2 点 43 分时结束的 5 一只挂钟 每小时慢 5 分钟 标准时间中午 12 点时 把钟与标准时间对准 现在是标 准时间下午 5 点 30 分 问 再经过多长时间 该挂钟才能走到 5 点 30 分 分析 1 这钟每小时慢 5 分钟 也就是当标准钟走 60 分时 这挂钟只能走 60 5 55 分 即速度是标准钟速度的 2 因每小时慢 5 分 标准钟从中午 12 点走到下午 5 点 30 分时 此挂钟共慢了 5 17 12 27 分 也就是此挂钟要差 27 分才到 5 点 30 分 3 此挂钟走到 5 点 30 分 按标准时间还要走 27 分 因它的速度是标准时钟速度的 实 际走完这 27 分所要时间应是 27 解 5 17 12 27 分 27 30 分 答 再经过 30 分钟 该挂钟才能走到 5 点 30 分 一个钟表一圈有 60 个小格 这里计算就以小格为单位 1 分钟时间 分针走 1 个小格 时针指走了 1 60 5 1 12 个 小格 所以每分钟分针比时针多走 11 12 个小格 以此作为 后续计算的基础 对于解决类似经过多长时间时针 分针 垂直或成直线的问题非常方便 快捷 例 1 从 5 时整开始 经过多长时间后 时针与分针第 一次成了直线 5 时整时 分针指向正上方 时针指向右下方 此时两 者之间间隔为 25 个小格 表面上每个数字之间为 5 个小格 如果要成直线 则分针要超过时针 30 个小格 所以在此时 间段内 分针一共比时针多走了 55 个小格 由每分钟分针 比时针都走 11 12 个小格可知 此段时间为 55 11 12 60 分钟 也就是经过 60 分钟时针与分针第一次成了直线 例 2 从 6 时整开始 经过多少分钟后 时针与分针第 一次重合 6 时整时 分针指向正上方 时针指向正下方 两者之 间间隔为 30 个小格 如果要第一次重合 也就是两者之间 间隔变为 0 那么分针要比时针多走 30 个小格 此段时间 为 30 11 12 360 11 分钟 例 3 在 8 时多少分 时针与分针垂直 8 时整时 分针指向正上方 时针指向左下方 两者之 间间隔为 40 个小格 如果要两者垂直 有两种情况 一个 是第一次垂直 此时两者间隔为 15 个小格 分针落后时针 也就是分针比时针多走了 25 个小格 此段时间为 25 11 12 300 11 分钟 另一次是第二次垂直 此时两者间隔仍为 15 个小格 但分针超过时针 也就是分针比时针多走了 55 个 小格 此段时间为 55 11 12 60 分钟 时间变为 9 时 超 过了题意的 8 时多少分要求 所以在 8 时 300 11 分时 分 针与时针垂直 由上面三个例题可以看出 求解此类问题 经过多少时 间 分针与时间成多少夹角 时 采用上述方法是非常方便 简单 快捷的 解题过程形象易懂 结果正确率高 是一 种非常好的方法 解决此类问题的一个关键点就是抓住分 针比时针多走了多少个小格 而不论两者分别走了多少个 小格 下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点 例 4 从 9 点整开始 经过多少分 在几点钟 时针与 分针第一次成直线 9 时整时 分针指向正上方 时针指向正右方 两者之 间间隔为 45 个小格 如果要第一次成直线 也就是两者之 间间隔变为 30 个小格 那么分针要比时针多走 15 个小格 此段时间为 15 11 12 180 11 分钟 例 5 一个指在九点钟的时钟 分针追上时针需要多少 分钟 9 时整时 分针指向正上方 时针指向正右方 两者之 间间隔为 45 个小格 如果要分针追上时针 也就是两者之 间间隔变为 0 个小格 那么分针要比时针多走 45 个小格 此段时间为 45 11 12 540 11 分钟 例 6 时钟的分针和时针现在恰好重合 那么经过多少 分钟可以成一条直线 时针和分针重合 也就是两者间隔为 0 个小格 如果 要成一条直线 也就是两者间隔变为 30 个小格 那么分针 要比时针多走 30 个小格 此段时间为 30 11 12 360 11 分 钟 针对性练习 1 十点与 11 点之间 两针在什么时刻成直线 不包括重合情况 A 10 时 21 分 B 10 时 22 分 C 10 时 21 D 10 时 21 分 2 现在是下午 3 点 从现在起时针和分针什么时候第一次重合 3 分针和时针每隔多少时间重合一次 一个钟面上分针和时针一昼夜重 合几次 4 钟面上 5 点零 8 分时 时针与分针的夹角是多少度 5 在 4 点与 5 点之间 时针与分针什么时候成直角 6 9 点过多少分时 时针和分针离 9 的距离相等 并且在 9 的两边 参考答案详解 1 答案 A 满足 分针 6 度 分 时针 0 5 度 分 十点时 两针夹角为 60 度 设需要时间为 x 分 则如图有 60 0 5x 180 6x x 分 即 10 时 分两针成直线 答案 A 满足 2 现在是下午 3 点 从现在起时针和分针什么时候第一次重合 解析 分针 6 度 分 时针 0 5 度 分 3 点整 时针在分针前面 15 格 所以第一次重合时 分针应该比时针多 走 15 格 即 90 度 用追及问题的处理方法解 90 6 0 5 度 分 16 分钟 所以下午 3 点 16 分钟 时针和分针第一次重合 3 分针和时针每隔多少时间重合一次 一个钟面上分针和时针一昼夜重 合几次 解析 分针 6 度 分 时针 0 5 度 分 当两针第一次重合到第二次重合 分针比时针多转 360 度 所以两针再次 重合需要的时间为 360 6 0 5 720 11 分 一昼夜有 24 60 1440 分 所以两针在一昼夜重合的次数 1440 分 720 11 分 次 22 次 4 钟面上 5 点零 8 分时 时针与分针的夹角是多少度 解析 分针 6 度 分 时针 0 5 度 分 5 点零 8 分 时针成角 5 30 8 0 5 154 度 分针成角 8 6 48 度 所以夹角是 154 48 106 度 5 在 4 点与 5 点之间 时针与分针什么时候成直角 解析 整 4 点时 分针指向 12 时针指向 4 此时 时针领先分针 20 格 时 分两针成直角 必须使