河北省张家口市2020届高三数学上学期入学摸底联合考试试题 理（含解析）

1 河北省张家口市河北省张家口市 20202020 届高三数学上学期入学摸底联合考试试题届高三数学上学期入学摸底联合考试试题 理理 含解析 含解析 第第 卷 选择题共卷 选择题共 6060 分 分 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 设函数的定义域 函数的定义域为 则 2 9yx a ln 1 yx b ab a b c d 1 3 1 3 3 1 3 1 答案 c 解析 分析 根据幂函数及对数函数定义域的求法 即可求得和 即可求得 ab ab 详解 解 由 解得 则函数的定义域 2 90 x 33x 2 9yx 3 3 由对数函数的定义域可知 解得 则函数的定义域 10 x 1x ln 1 yx 1 则 ab 3 1 故选 c 点睛 本题考查函数定义的求法 交集及其运算 考查计算能力 属于基础题 2 设 则 1 i 2i 1 i z z a b c d 0 1 212 答案 c 解析 分析 利用复数的除法运算法则 分子 分母同乘以分母的共轭复数 化简复数 然后 z 求解复数的模 详解 1 i 1 i1 i 2i2i 1 i1 i 1 i z 2 i2ii 则 故选 c 1z 点睛 复数是高考中的必考知识 主要考查复数的概念及复数的运算 要注意对实部 虚 部的理解 掌握纯虚数 共轭复数这些重要概念 复数的运算主要考查除法运算 通过分 母实数化转化为复数的乘法 运算时特别要注意多项式相乘后的化简 防止简单问题出错 造成不必要的失分 3 若f x ln x2 2ax 1 a 在区间上递减 则实数的取值范围为 1 a a b c d 1 2 1 2 1 2 答案 b 解析 分析 由外函数对数函数是增函数 可得要使函数在上递减 需 2 ln 21 f xxaxa 1 内函数二次函数的对称轴大于等于 1 且内函数在上的最小值大于 0 由此联立不 1 等式组求解 详解 解 令 其对称轴方程为 2 21g xxaxa xa 外函数对数函数是增函数 要使函数在上递减 2 ln 21 f xxaxa 1 则 即 1 1 1 210 a gaa 12a 实数的取值范围是 a 1 2 故选 b 点睛 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法 对应复合函数的单调性 一要注意先确定函数的定义域 二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关 系进行判断 判断的依据是 同增异减 是中档题 4 九章算术 中的 两鼠穿墙 问题为 今有垣厚五尺 两鼠对穿 大鼠日一尺 小鼠 也日一尺 大鼠日自倍 小鼠日自半 问何日相逢 可用如图所示的程序框图解决此类 3 问题 现执行该程序框图 输入的的值为 33 则输出的 的值为 di a 4b 5c 6d 7 答案 c 解析 详解 开始执行程序框图 0 0 1 1isxy 111 1 1 1 2 2 1 2 1 4 224 isxyisxy 11111 5 1248 16133 32 2481632 isxy 111111 6 1248 1632133 64 248163264 isxy 退出循环 输出 故选 c sd 6i 5 已知定义域为的奇函数满足 且当时 r f x 3 0fxf x 3 0 2 x 则 2 log 27 f xx 2020 f a b c 3d 2 2 log 3 2 log 5 4 答案 d 解析 分析 由题意利用函数奇偶性求得的周期为 3 再利用函数的周期性求得的值 f x 2020 f 详解 解 已知定义域为的奇函数满足 r f x 3 0fxf x 的周期为 3 3 fxf xfx f x 时 3 0 2 x 2 log 27 f xx 22 2020 3 673 1 1 1log 27 lo 5gffff 故选 d 点睛 本题主要考查函数奇偶性和周期性 函数值的求法 属于基础题 6 已知小张每次射击命中十环的概率都为 40 现采用随机模拟的方法估计小张三次射击 恰有两次命中十环的概率 先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数 指定 2 4 6 8 表示命中十环 0 1 3 5 7 9 表示未命中十环 再以每三个随机数为一组 代表三次射击的结果 经随机模拟产生了如下 20 组随机数 321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965 据此估计 小张三次射击恰有两次命中十环的概率为 a 0 25b 0 30c 0 35d 0 40 答案 b 解析 分析 由题意知模拟三次射击的结果 经随机模拟产生了如下 20 组随机数 在 20 组随机数中表 示三次射击恰有两次命中十环的有可以通过列举得到共 6 组随机数 根据概率公式 得到 结果 详解 解 由题意知模拟三次射击的结果 经随机模拟产生了如下 20 组随机数 在 20 组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有 421 292 274 632 478 663 5 共 6 组随机数 所求概率为 故选 b 6 0 3 20 p 点睛 本题考查模拟方法估计概率 是一个基础题 解这种题目的主要依据是等可能事 件的概率 注意列举法在本题的应用 7 若非零向量 满足 且 则与的夹角为 a b 2 2 3 ab 32 abab a b a b c d 4 2 3 4 答案 a 解析 分析 根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可 详解 3 2 a b a b 3 2 0 a b a b 即 3 2 22 0 a b a b 即 3 2 22 2 a b a b 2 3 b cos a b a b a b 2 2 2 3 2 2 3 b b 2 2 即 a b 4 故选 a 点睛 本题主要考查向量夹角的求解 利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件 是解决本题的关键 8 记 则的值为 77 017 211xaaxax 0126 aaaa 6 a 1b 2c 129d 2188 答案 c 解析 详解 中 令 得 727 017 211xaaxax 0 x 7 017 2128aaa 展开式中 7 7 31 2 xx 707 773 1 1ac 0167 128129aaaa 故选 c 点睛 二项式通项与展开式的应用 1 通项的应用 利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等 2 展开式的应用 可求解与二项式系数有关的求值 常采用赋值法 可证明整除问题 或求余数 关键是要合理地构造二项式 并将它展开进行分析判断 有关组合式的求值证明 常采用构造法 9 已知数列是各项均为正数的等比数列 设其前项和为 若 n a 1 2a nn s 1 a 成等差数列 则 2 9a 3 a 5 s a 682b 683c 684d 685 答案 a 解析 分析 由 且 成等差数列 求出公比 由此能求出 1 2a 1 a 2 9a 3 a 5 s 详解 解 各项均为正数的等比数列的前项和为 n a nn s 且 成等差数列 1 2a 1 a 2 9a 3 a 且 2 9 2222 qq 0q 解得 故选 a 4q 5 5 2 1 4 682 1 4 s 7 点睛 本题考查等比数列的前 5 项和的求法 考查等差数列 等比数列的性质等基础知 识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 10 已知椭圆的右焦点为 短轴的一个端点为 直线 22 22 1 0 xy eab ab fm 交椭圆于两点 若 点到直线 的距离不小于 340lxy e a b 4afbf ml 4 5 则椭圆的离心率的取值范围是 e a b c d 3 0 2 3 0 4 3 1 2 3 1 4 答案 a 解析 试题分析 设是椭圆的左焦点 由于直线过原点 因此两点关于原 1 f 340lxy a b 点对称 从而是平行四边形 所以 即 1 afbf 1 4bfbfafbf 24a 设 则 所以 即 又 2a 0 mb 4 5 b d 44 55 b 1b 12b 所以 故选 a 2222 4cabb 03c 3 0 2 c a 考点 椭圆的几何性质 名师点睛 本题考查椭圆的离心率的范围 因此要求得关系或范围 解题的关键是 a c 利用对称性得出就是 从而得 于是只有由点到直线的距离得出的 afbf 2a2a b 范围 就得出的取值范围 从而得出结论 在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时 需要 c 联想到椭圆的定义 此处有视频 请去附件查看 11 已知 设函数的最大值为 最小值为 0a 1 20202019 20201 x x f x xa a mn 那么 mn a 2020b 2019c 4040d 4039 答案 d 解析 8 分析 通过分离分子可得 计算可得 利用函数 2020 2021 1 0 x f x 4039f xfx 的单调性计算可得结果 yf x 详解 解 1 20202019 2020 202012021 1 0 x xx f x 2020 20202020 20201 1 20201 x xx fx 2020 202020204039 2020120201 1 x xx f xfx 又是上的增函数 故选 d yf x a a 4039mnf afa 点睛 本题考查函数的单调性的判断和运用 注意解题方法的积累 考查运算能力 属 于中档题 12 已知三棱锥中 平面 且 sabc sa abc6 acb 则该三棱锥的外接球的体积为 22 3 1acabsa a b c d 13 13 8 13 13 6 13 13 6 答案 d 解析 详解 9 是以 为斜边的直角三角形 30acb 22 3acab abcaac 其外接圆半径 3 2 ac r 则三棱锥外接球即为以为底面 以 为高的三棱柱的外接球 abcasa 三棱锥外接球的半径满足 r 22 13 22 sa rr 故三棱锥外接球的体积 3 413 13 36 vr 故选 d 点睛 本题考查的知识点是球内接多面体 其中根据已知求出球的半径是解答的关键 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 9090 分 分 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 已知函数的导函数为 且满足 则 f x fx 2 1 lnf xxfx 1 f 答案 2 解析 分析 对函数的解析式求导 得到其导函数 把代入导函数中 列出关于的方程 f x 1x 1 f 进而得到的值 确定出函数的解析式 把代入解析式 即可求出 1 f f x 1x f x 的值 1 f 详解 解 求导得 令 得 解得 1 2 1 fxf x 1x 1 1 2 1 1 ff 1 1f 故答案为 2 2lnf xxx 1 202f 点睛 此题考查了导数的运算 以及函数的值 运用求导法则得出函数的导函数 求出 常数的值 从而确定出函数的解析式是解本题的关键 1 f 10 14 设 且 则当取最小值时 0 x 0y 2 116y x yx 1 x y 2 2 1 x y 答案 12 解析 分析 当取最小值时 取最小值 变形可得 由基本不等 1 x y 2 1 x y 2 1416 xy x yyx 式和等号成立的条件可得答案 详解 解析 当取最小值时 取得最小值 0 x 0y 1 x y 2 1 x y 又 2 2 2 112x xx yyy 2 116y x yx 2 2 1216xy x yyx 2 1416xy x yyx 416 216 xy yx 1 4x y 当且仅当 即时取等号 416xy yx 2xy 当取最小值时 1 x y 2xy 2 2 12 16 x x yy 2 2 12 2 16 y x yy 2 2 1 16412x y 点睛 本题考查基本不等式求最值 变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键 属中档题 15 某商店为调查进店顾客的消费水平 调整营销思路 统计了一个月来进店的 2000 名顾 客的消费金额 单位 元 并从中随机抽取了 100 名顾客的消费金额按 0 50 进行统计 得到如图所示的频率分布直 50 100 100 150 150 200 200 250 方图 已知 成等差数列 则该商店这一个月来消费金额超过 150 元的顾客数量约 abc 为 11 答案 600 解析 分析 先根据频率分布直方图求出的值 然后利用等差数列的性质求出 进而得到消费 a b c b 金额超过 150 元的频率 用其估计总体即可 详解 2 a b cba c 又由频率分布直方图可得 1 1 0 0020 006 50 0 012 50 abc 故消费金额超过 150 元的频率为 故该商店这一个月 0 004b 0 002 500 3b 来消费金额超过 150 元的顾客数量约为 故答案为 600 2000 0 3600 点睛 本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质 是一道基础 题 16 已知为数列的前项和 若 则 n s n a n 1 2 3n n ann 1 1 n n nn a b s s 12n bbb 答案 1 11 231 n 解析 详解 因为 所以数列为等比数列 1 1 2 3 3 2 3 n n n n a a n a 所以 1 12 1 3 31 11 3 nn n n aq s q 12 又 11 111 11 nnn n nnnnnn ass b s ss sss 则 12 12231 111111 n nn bbb ssssss 故答案为 1 11 1111 231 n n ss 1 11 231 n 点睛 裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数差的形式 然后通过累加抵消中 间若干项的方法 裂项相消法适用于形如 其中是各项均不为零的等差数 1nn c a a n a 列 c 为常数 的数列 裂项相消法求和 常见的有相邻两项的裂项求和 如本例 还有一 类隔一项的裂项求和 如或 1 1 3 nn 1 2 n n 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 在中 角 所对的边分别为 且满足 abc a bcabc cos2cos22sinsin 33 cacc 1 求角的值 a 2 若且 求的取值范围 3a ba 1 2 bc 答案 1 或 2 3 a 2 3 3 3 2 解析 分析 1 利用三角函数恒等变换的应用化简已知可解得 结合为的 3 sin 2 a aabc 内角 可得的值 2 由 由 1 可得 又 aba 3 a 3a 由正弦定理可得 从而利用三角函数恒等变换的应用可得 2 sinsin bc bc 13 结合 可得 的取值范围 1 2 bc 3sin 6 b 662 b 1 2 bc 详解 解 1 由已知得 化简得 2222 31 2sin2sin2cossin 44 accc 3 sin 2 a 因为为的内角 所以 故或 aabc 3 sin 2 a 3 a 2 3 2 因为 所以 由正弦定理得 得 ba 3 a 2 sinsinsin bca bca 2sinbb 2sincc 故 1 2sinsin 2 bcbc 2 2sinsin 3 bb 33 sincos3sin 226 bbb 因为 所以 则 所以 ba 2 33 b 662 b 13 3sin 3 262 bcb 点睛 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用 考查了正弦定理 正弦函数的图象和 性质在解三角形中的应用 属于中档题 18 如图 正方形的边长为 4 把四边形 abcd 1 2 abaebfef abefa 沿折起 使得平面 是的中点 如图 abcdabad aefbgef 1 求证 平面 ag bce 14 2 求二面角的余弦值 caef 答案 1 详见解析 2 21 7 解析 分析 首先结合已知底面 所以有 再结合菱形的性质即可得到 bc aefbbcag 那么 1 便不难求证了 对于 2 首先建立如图所示的空间直角坐标系 agbe 分析可知 为平面的一个法向量 再求出平面的法向量 然后根据 ad aeface 进行求解即可 cos n ad nad 详解 解 1 证明 连接 因为 底面 bgbcad ad aefb 所以底面 又底面 所以 bc aefbag aefbbcag 因为 所以四边形为菱形 所以 abae abgeagbe 又 平面 平面 所以平面 bcbeb be bcebc bceag bce 2 由 1 知四边形 为菱形 abgeagbe 4aeegbgab 设 所以 agbeo 2 3oeob 2oaog 以为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 o 则 0 0 0 o 2 0 0 a 0 2 3 0e 4 2 3 0f 0 2 3 4c 2 0 4 d 所以 2 2 3 4ac 2 2 3 0ae 设平面的法向量为 ace nx y z 15 则所以令 则 0 0 ac n ae n 22 340 22 30 xyz xy 1y 3x 3z 即平面 的一个法向量为 ace 3 1 3n 易知平面的一个法向量为 aef 0 0 4 ad 设二面角的大小为 由图易知 caef 0 2 所以 4 321 cos 7 74 n ad nad 点睛 本题考查了直线与平面垂直的判定 熟记判定定理即可证得结论 另外空间向量 法求面面角 要关注是否有一个面的法向量可以直接观察出来 就不用专门取求了 还要 提高计算的准确性 此题属于中档题 19 中国农业银行开始为全国农行 atm 机安装刷脸取款系统 某农行营业点为调查居民对刷 脸取款知识的了解情况 制作了刷脸取款知识有奖调查问卷 发放给 2018 年度该行的所有客 户 并从参与调查且年龄 单位 岁 在 25 55 内的客户中随机抽取 100 名给予物质奖励 再 从中选出一名客户参加幸运大抽奖 调查结果按年龄分成 6 组 制作成如下的频数分布表和 女客户的年龄茎叶图 其中a b c 2 4 5 年 龄 岁 25 3 0 30 3 5 35 4 0 40 4 5 45 5 0 50 5 5 频 数 人 5abc1525 女客户的年龄茎叶图 16 幸运大抽奖方案如下 客户最多有两次抽奖机会 每次抽奖的中奖率均为 第一次抽奖 若 4 5 未中奖 则抽奖结束 若中奖 则通过抛掷一枚质地均匀的硬币 决定是否继续进行第二次抽 奖 规定 抛出的硬币 若反面朝上 则客户获得 5000 元奖金 不进行第二次抽奖 若正面朝上 客 户需进行第二次抽奖 且在第二次抽奖中 如果中奖 则获得奖金 10000 元 如果未中奖 则所 获得的奖金为 0 元 1 求a b c的值 若分别从男 女客户中随机选取 1 人 求这 2 人的年龄均在 40 45 内的 概率 2 若参加幸运大抽奖的客户所获奖金 单位 元 用x表示 求x的分布列与数学期望e x 答案 1 概率为 2 见解析 10 20 25abc 1 16 解析 分析 1 根据解方程组 求得的值 先根据茎叶图求得每组内女客 10045 2 4 5 abc a b c a b c 户的人数 进而求得每组男客户的人数 然后根据相互独立事件概率计算公式 求得所求 的概率 2 先求得所有可能取值为 然后根据分类和分步计算原理求得 x 0 5000 10000 对应的概率 由此求得分布列和数学期望 详解 1 由频数分布表知 a b c 100 45 55 因为a b c 2 4 5 所以 a 55 10 b 55 20 c 55 25 由茎叶图可知年龄在 25 30 内的女客户 2 11 4 11 5 11 有 2 人 年龄在 30 35 内的女客户有 4 人 年龄在 35 40 内的女客户有 8 人 年龄在 40 45 内 的女客户有 10 人 年龄在 45 50 内的女客户有 6 人 年龄在 50 55 内的女客户有 10 人 17 故年龄在 40 45 内的男客户有 15 人 在 100 名客户中 男客户有 60 人 女客户有 40 人 所 以从男客户中随机选取 1 人 年龄恰在 40 45 内的概率p1 151 604 从女客户中随机选取 1 人 年龄恰在 40 45 内的概率p2 101 404 则分别从男 女客户中随机选取 1 人 这 2 人的年龄均在 40 45 内的概率p p1 p2 111 4416 2 由题意可知 x的所有可能取值为 0 5000 10000 则 p x 0 14117 552525 p x 5000 412 525 p x 10000 4148 52525 x的分布列为 x05 00010 000 p 7 25 2 5 8 25 e x 0 5000 10000 5200 元 7 25 2 5 8 25 点睛 本小题主要考查茎叶图的识别 考查数据分析与处理能力 考查相互独立事件概 率计算方法 考查分布列和数学期望的求法 属于中档题 20 已知过点的直线交抛物线于两点 直线交轴于 2 0 1 l 2 2c ypx a b 2 2lx x 点 q 1 设直线的斜率分别为 求的值 qa qb 12 k k 12 kk 18 2 点为抛物线上异于的任意一点 直线交直线于两点 pc a b pa pb 2 l m n 求抛物线的方程 2om on c 答案 1 2 0 2 yx 解析 分析 1 首先设出直线的方程为 且 然后联立直线与抛物 1 l2xmy 1122 a x yb xy 线的方程并整理得到一元二次方程 再由韦达定理可得 2 240ypmyp 最后代入中 并化简整理即可得出所求的结果 1212 2 4yypm yyp 12 kk 2 首先设出点 即可求出直线的方程 进而可求出 再由已知 00 p xy pa m y n y 条件即可得出等式 进而得出参数的值 即可得出所求的抛物线的方程 p 详解 1 设直线的方程为 点 联立方程组 1 l2xmy 1122 a x yb xy 得 所以 2 2 2 xmy ypx 2 240ypmyp 1212 2 4yypm yyp 所以 1212 12 1212 2244 yyyy kk xxmymy 1212 1212 24 88 0 4 4 4 4 my yyympmp mymymymy 2 设点 直线当时 00 p xy 10 11 10 yy pa yyxx xx 2x 10 10 4 m py y y yy 同理 20 20 4 n py y y yy 因为 2om on 42 mn y y 即 1020 1020 44 2 py ypy y yyyy 222 00 2 00 1684 2 42 pp mypy ppmyy 19 所以 所以抛物线的方程为 1 2 p c 2 yx 考点 1 抛物线的标准方程 2 抛物线的简单几何性质 3 直线与抛物线的相交的综合 问题 21 已知函数 2 x f xeax 1 当时 求曲线在处的切线方程 1a yf x 1x 2 若函数在区间上的最小值为 0 求的值 f x 1 a 答案 1 2 2 yex 2 e a 解析 分析 1 由求导公式求出 由导数的几何意义求出切线的斜率 利用点斜式方 fx 1 k f 程求出切线的方程 2 对进行分类讨论 当时 不符合题意 当时 a0a 20 x f xeax 0a 求出以及函数的单调区间 再对临界点与 1 的关系进行分类讨论 分别求出的 fx f x 最小值 结合条件求出的值 a 详解 解 1 当时 1a 2 x f xex 2 x fxe 所求切线的斜率 又 1 2fe 1 2fe 所以曲线在处的切线方程为 yf x 1x 2 yex 2 当时 函数 不符合题意 0a 20 x f xeax 当时 令 得 0a 2 x fxea 20 x ea ln 2 xa 所以当时 函数单调递减 ln 2 xa 0fx f x 当时 函数单调递增 ln 2 xa 0fx f x 当 即时 的最小值为 ln 2 1a 0 2 e a f x 1 2fae 20 解 得 符合题意 20ae 2 e a 当 即时 的最小值为 ln 2 1a 2 e a f x ln 2 22 ln 2 faaaa 解 得 不符合题意 22 ln 2 0aaa 2 e a 综上 2 e a 点睛 本题考查导数的几何意义 利用导数研究函数的单调性 最值 恒成立问题的转 化 以及分类讨论和转化思想 属于中档题 请考生在第请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 在直角坐标系中 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 xoy x 的极坐标方程为 1 ccos4 1 为曲线上的动点 点在线段上 且满足 求点的轨迹 m 1 c pom 16omop