2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)含答案

第 1 页，共 12 页 Y N 开始 输入n S = 0 n 圆 k (k 为常数 ). （ 1） 求 A， B 的坐标及常数 k 的值； （ 2） 过点 E(a， t)作直线 l 与圆 C： m 交于 M、 N 两点，若 M 点恰好是线段 中点，求实数 t 的取值范围 1 1 D C B A M F E （第 16 题） P D Q C N B A M （第 17 题） 第 3 页，共 12 页 1g 2B P Q D C 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 321132f x x x k x , ,函数 )(为 )(导函数 . （ 1） 数列 足n )( 1,求 54321 ； （ 2） 数列 足 )(1 nn , 当411b 时 ,证明 ： 数列 1为等比数列 ； 当 0k , 时 ,证明 ：1 1 . 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 f(x) k(x 1)， k R （ 1） 当 k 1 时，求函数 f(x)的单调区间； （ 2） 若函数 y f(x)在区间 (1， )上有 1 个零点，求实数 k 的取值范围； （ 3） 是否存在正整数 k，使得 f(x) x 0 在 x (1， )上恒成立？若存在，求出 k 的最大值；若不存在，说明理由 卷（附加题，共 40分） 21 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 小题， 请 选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A （选修：几何证明选讲） 如图， 1O， 2Q， ，直线 点 P ，与 1O， 2B， ，直线 点 Q ，与 1O， 2D， 求证： B（选修：矩阵与变换） 在平面直角坐标系 ，先对曲线 C 作矩阵 A ( 0 2 )所对应的变换， 再将所得曲线作矩阵 B 1 00 k ( 0 k 1 )所对 应 的变换若连续实施两次变换所对应的矩阵为 0 112 0 ，求 k， 的值 C （选修：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，过点 24P ，作曲线 2 的切线 l，求直线l 的极坐标方程 D （选修 ：不等式选讲） 已知实数 a， b 满足 | a b | 2，求证： | 2a 2b | 4(|a| 2) 第 4 页，共 12 页 P A B C D （第 22 题） 【必做题】 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 请在 答题卡指定区域内作答 ，解答 时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 22 (本小题满分 10 分 )如图，在四棱锥 P ，已知棱 两垂直，长度分别为 1， 2，2，若 ， 且向量 与 夹角的余弦值为 1515 （ 1）求实数 的值； （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 23 （ 本小题满分 10 分 ） 设 ( ) ( ) nf n a b （ *nN ， 2n ），若 ()展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列，则称 ()有性质 P （ 1）求证： (7)f 具有性质 P ； （ 2）若存在 2015n ，使 ()有性质 P ，求 n 的最大值 2016 年高考模拟试卷 (1) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 2 1 3 53 5. 4 4 【解析】 7 33.【解析】由题意知，圆锥母线 l 长为 2 设底面圆的半径为 r， 则 2 r= l，所以 r=1， 故高 h= 3 所以 圆锥筒的体积为 33 n 10 9 8 7 6 5 4 3 2 S 10 19 27 34 40 45 49 52 54 5 页，共 12 页 8 52.【解析】作出如图所示的平面区域，得面积 S=2211( 1 ) 222 ，解得 a =52 9 ，.【解析】 T=2 ， 1 ，所以 ( ) 2 s )6f x x 令 2 2 2 6 2k x k ，解得 x ， 10 【解析】以 O 点为坐标原点， 在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 设 x，则 =（ 3， 0）， =（ x， 2） 由 = 3 解得 x=1所以 =（ 2， 22）， =（ 2），所以 = 11 33,0(.【解析】 由已知得， 221212 | | | |2 , | | | | ( ) 2 3 2 32P F P F P F m m m+= 邹 ? ， 又故 33,0(e； 12 1. 【解析】 由 9 s i n c o s 1 0x 得 22 3 s i n 2 2 0y y 又因为 32 s 0 ，得 22 3 s i n 2 3 s i n ( 2 ) ， 令 ( ) 2 3 s x x ，所以 ( ) 2 l n 3 3 c o x x ， 当 22x 时， ( ) 0 ，则 ()区间 22，上是单调增函数 由于 44x ， 44y ，可得 2，即 20，所以 2 ) 1 13 p 1.【 解析 】 因为 直线 1ax 与线段 其中 (1,0)A ， (2,1)B )只有一个公共点， 所以 ( 1 ) ( 2 1 ) 0a a b ，可知对应的区域为对顶区域， 22表示点 ( , )点 (0,0) 的距离的平方，2 2 2m i n 11( ) ( ) 55 ， 222 2 2 211 ( ) ( s i n c o s )s i n c o s s i n c o 22 2s i n c o 2 ( 1 )c o s s i p p p 由题意，22 m i 2 0 ( ) s i n c o sp ，则 2(1 )p 1205=4， 所以 p 1 14 4a 或 71a. 【解析】 方法一：以 直径的圆记为1C，圆 22( ) 2x a y 记为2C 由题意知圆1直线 圆2 圆1C，圆2 21 2 1 2 ( 1 ) 1 2 2C C r r a ， 解得 71a或 71a ； 直线 圆2 22a ，解得 0a 或 4a 第 6 页，共 12 页 所以 4a 或 71a 方法二：设 ( 2 2 s i n ) 由题意得 0P且点 P 不在直线 2 上 0 ( 2 2 c o s ) ( 2 c o s ) ( 2 s i n ) ( 2 s i n 2 ) 0M P N P a a u u u r u u 2( 2 2 ) 2 2 ( 1 ) c o s s i n 0a a a 22( 1 ) 1 2 2 ( 1 ) 1 c o s ( ) 0 ， 必须 22( 1 ) 1 2 2 ( 1 ) 1 0 ，所以 2( 1) 1 2 2a ， 解得 71a或 71a ； 点 P 不在直线 2 上 2 c o s 2 s i n 2 0a 关于 的方程 2s )42a 无解 2 12a 0a 或 4a 所以 4a 或 71a 二、解答题 15 （ 1）由 12C则 2 2 分 故 0又 5所以 213 4 分 故 13 所以 的面积 S 12 5 5132 1 3 2 7 分 （ 2）因为 a ， b ， c 成等差数列，所以 2b a c 在 中， 2 2 2 2 c o sb a c a c B ，即 22 2 2 c o sb a c a c a c B 10 分 所以 22 2 2 2 c o sb b a c a c B （ *） 由（ 1）得， 13， 213，代入（ *）得 22 122 2 1 3 2 1 3 13 ， 12 分 故 03， b 563 14 分 16 （ 1） 连接 因为在平行六面体 ， 四边形 又因为 E 是 中点， 所以 E 是 中点 ， 2 分 因为 F 是 中点 ， 所以 4 分 又因为 平面 F 平面 所以 平面 7 分 （ 2） 连接 菱形 因为 0， 所以 等边三角形，因为 M 是 中点， 第 7 页，共 12 页 所以 9 分 又因为平面 面 平面 平面 平面 C， 所以 面 12 分 又因为 平面 所以 平面 面 14 分 17 连接 过 P 作1C垂足为1P, 过 Q 作1C垂足为1 20 3， 232 分 若20 ，在1，11s i n c o B P，若 ,2则11s i n c o B P，若 ，322 则 ,c o s)c o s (,s 1 32 c o s s i 4 分 在1，1 1 1 3 2 3s i n C Q s i n s i P P C Q ， ，232 s 6 分 所以总路径长 ，)320(s i o f 8 分 1)3s i n (21c o i n)( f 10 分 令 0f ， 2当 02时， 0f 当 223时， 0f 12 分 所以当 2时，总路径最短 . 答：当 C 时，总路径最短 . 14 分 18 （ 1）设点 P(x， y)， 4， = (x a)2 + (y 2)2， (x m)2 + (y 1)2， 因为 k， 所以 (x a)2 + (y 2)2 = x m)2 + (y 1)2， 又 4， 化简得 2 4y 8 = 2y 5)， 3 分 第 8 页，共 12 页 因为 P 为圆 O 上任意一点， 所以)5(8242222222 5 分 又 m 0， k 0，解得k = 2a = 2m = 1， 所以 A(2， 2)， B(1， 1)， k = 2 8 分 （ 2）法一：设过 E 的切线与圆 C 交于切点 F， E F 2 = 10 分 又 M 是线段 中点 ， 所以 2 所以 = 2， 又 = = 2 2 + t 2 1 = t 2 + 3， 13分 2， t 2 + 3 8， 所以 t 5， 5 16 分 法二：设 M( M 是线段 中点 ， N(2 2， 2 t)， 又 圆 C 上， 即关于 x， y 的方程组 1(22)2 + (2 t)2 = 1有解， 10 分 化简得 18 4t 7 = 0有解， 即直线 n： 8x + 4t y t 2 7 = 0 与圆 C： 1 有交点 ， 则 | 7|64 + 16 1， 14 分 化简得 t 4 2t 2 15 0，解得 t 5， 5 16 分 19 (1) 因为 2()f x x x k ，所以 2()f n n n k . 2 分 故21 1 1 1( 1 ) 1na n n n n n n ， 4 分 因此1 2 5 151 66a a a K. 6 分 (2) 因为 11,41 221 1 1 14 2 2 , 所以 21 1122nb b n . 8 分 第 9 页，共 12 页 又因为1 1 02b ， 所以 21 1 1 1l g l g 2 l 2n n nb b b . 因为 1 1 21且 1 12b ， 所以数列 1为等比数列 . 10 分 因为1 0，1 ()f b ，所以 21 ()n n n nb f b b b ； 可得 21n n nb b b； 12 分 故 211 1 1 1 111n n n n n nn n n n n n n n nb b b b b bb b b b b b b b b 所以1 1111n ii b b 14 分 因为 21 0n n nb b b ，所以1 1 1 0n n nb b b b b L 所以1 1 16 分 20 （ 1）当 1k 时， ( ) f x x x x ， ( ) x x 1 分 令 ( ) 0 ，解得 1x ， 令 ( ) 0 ，解得 01x， ()单调增区间为 1 ， ，单调减区间为 01， 3 分 （ 2） ( ) f x x k ， 当 1k 时，由 1x ，知 ( ) 0 ， 所以， () 1 ， 上是单调增函数，且图象不间断， 又 (1) 0f ， 当 1x 时， ( ) (1) 0f x f， 函数 ()y f x 在区间 1 ， 上没有零点，不合 题意 5 分 当 1k 时，由 ( ) 0 ，解得 1 1， 若 11 ，则 ( ) 0 ，故 () 11,上是单调减函数， 若 1 ，则 ( ) 0 ，故 () 1, 上是单调增函数， 当 11 时， ( ) (1) 0f x f， 又 ( ) 1 0k k kf e k e k e k ， () 1 ， 上的图象不间断， 函数 ()y f x 在区间 1 ， 上有 1 个零点，符合题意 7 分 第 10 页，共 12 页 1O g g 2k 的取值范围为 1 ， 8 分 （ 3）假设存在正整数 k ，使得 ( ) 0f x x 在 1x 上恒成立， 则由 1x 知 10x ，从而 x xk x 对 1x 恒成立（ *） 9 分 记 1x x x ，得22 ( 1)x ， 10 分 设 ( ) 2 x x x ， 11( ) 1 0 ， () 1 ， 是单调增函数， 又 ( 3 ) 1 l n 3 0 ( 4 ) 2 l n 4 0 ( )h h h x ， ，在 3,4 上图象是不间断的， 存在唯一的实数0 (34)x ，使得0( ) 0 12 分 当01 时， ( ) 0 ( ) 0 ( )h x g x g x， ，在0(1 )x，上递减， 当0， ( ) 0 ( ) 0 ( )h x g x g x， ，在0( , )x 上递增， 当0， ()为最小值，0 0 000 1x x x ， 14 分 又0 0 0( ) 2 l n 0h x x x ， 00， 00()g x x， 由（ *）知，0又0 (3,4)x ， *， k 的最大值为 3， 即存在最大的正整数 3k ， 使得 ( ) 0f x x 在 1x ， 上恒成立 16 分 第卷（附加题，共 40分） 21A 连结 因为四边形 1 所以 A ， 3 分 又在2P B D P Q D ， 6 分 所以 A ， 8 分 所以 10 分 B 依题意， 1 00 k 0 112 0， 5 分 第 11 页，共 12 页 从而0 1，12，0因为 0 2，所以 2 ，k 12 10 分 C 曲线 2 的普通方程为 22( 1) 1 ， 2 分 点 24P ，的直角坐标为 (1,1) ， 4 分 所以点 P 在圆上，又因为圆心 (10)， 6 分 故过点 P 的切线为 1y ， 8 分 所以所求 的切线的极坐标方程为： 10 分 D 因为 |a b| 2，所以 |2a 2b| |a b|a b 2| |a b|2a (a b) 2| |a b|(|2a| |a b| 2) 4(|a| 2) 10 分 22依题意，以 A 为坐标原点， 别 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 A 图）， 则 B(1， 0，