辽宁省抚顺市省重点高中协作校2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

1 辽宁省抚顺市省重点高中协作校辽宁省抚顺市省重点高中协作校 2018 20192018 2019 学年高一数学下学期期末学年高一数学下学期期末 考试试题 含解析 考试试题 含解析 一 选择题本大题一 选择题本大题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知命题 则命题的否定为 3 1 168pxxx p a b 3 1 168pxxx 3 1 168pxxx c d 3 000 1 168pxxx 3 000 1 168pxxx 答案 c 解析 全称命题的否定为特称命题 则命题 的否定为 p 1 x 3 168xx 1 x 3 168xx 本题选择 c 选项 2 若实数满足 则的大小关系是 a 2 0aa 2 a a a a b c d 2 aaa 2 aaa 2 aaa 2 aaa 答案 d 解析 分析 先解不等式 再根据不等式性质确定的大小关系 2 0aa 2 a a a 详解 因为 所以 2 0aa 10a 所以 2 0aaa 选 d 点睛 本题考查一元二次不等式解法以及不等式性质 考查基本求解能力与运用性质解决问 题能力 3 在中秋的促销活动中 某商场对 9 月 14 日 9 时到 14 时的销售额进行统计 其频率分布直 2 方图如图所示 已知 12 时到 14 时的销售额为万元 则 10 时到 11 时的销售额为 7 a 万元b 万元c 万元d 万元 1234 答案 c 解析 分析 先根据 12 时到 14 时的销售额为万元求出总的销售额 再求 10 时到 11 时的销售额 7 详解 设总的销售额为 x 则 7 0 25 1 0 1 10 35 20 x x 10 时到 11 时的销售额的频率为 1 0 1 0 4 0 25 0 1 0 15 所以 10 时到 11 时的销售额为 故答案为 c 20 0 153 点睛 1 本题主要考查频率分布直方图求概率 频数和总数 意在考查学生对这些基础 知识的掌握水平 2 在频率分布直方图中 所有小矩形的面积和为 1 频率 频数 总数 4 已知 都是实数 那么 是 的 ab22 ab 22 ab a 充分不必要条件b 必要不充分条件 c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 d 解析 与没有包含关系 故为 既不 22 ab pab 22 q abab ab ab 充分也不必要条件 5 在中 则 的面积是 abc 3ab 1ac 6 b abc 3 a b c 或d 或 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 答案 c 解析 sinsin abac cb 或 sin3 sin 2 abb c ac 3 c 2 3 当时 1 3 c 2 abc 13 sin 22 abc sab aca a 当时 2 2 3 c 6 abc 13 sin 24 abc sab aca a 故选 c 6 对一切实数 不等式恒成立 则的取值范围是 x 42 1 10 xax a a b 1a 0a c d 3a 1a 答案 a 解析 详解 时 恒成立 0 x 42 1110 xax 时 原不等式等价于 0 x 2 2 1 1xa x 4 由的最小值是 2 可得 即 选 a 2 2 1 x x 12a 1a 7 已知 是两个不同的平面 给出下列四个条件 存在一条直线 使得 aa a 存在两条平行直线 使得 ab a a b b 存在两条异面直线 使得 aba b a b 存在一个平面 使得 其中可以推出的条件个数是 a 1b 2c 3d 4 答案 b 解析 当 不平行时 不存在直线与 都垂直 故正 a a aa 1 确 存在两条平行直线 则 相交或平行 所以 ab a ab aa ab a 不正确 2 存在两条异面直线 由面面平行的判定定理得 aba b a ab a 故正确 a 3 存在一个平面 使得 则 相交或平行 所以不正确 4 故选b 8 九章算术 中 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥为鳖 pabc 臑 平面 三棱锥的四个顶点都在球的球 pa 3 4 5abc paabac pabc o 面上 则球的表面积为 o 5 a b c d 17 25 34 50 答案 c 解析 由题意 pa 面 abc 则为直角三角形 pa 3 ab 4 所以 pb 5 又 abc 是 pacpab 直角三角形 所以 abc 90 ab 4 ac 5 所以 bc 3 因为为直角三角形 经分析只 pbca 能 故 三棱锥的外接球的圆 90opbc 22 25934pcpbbc pabc 心为 pc 的中点 所以则球的表面积为 234r o 2 434r 故选 c 9 中 在上 是上的点 则 m 的值 abc dacaddc pbd 2 9 apmabac a b c d 5 9 7 9 1 2 1 4 答案 a 解析 11 2 apabbpabbpabapababapabac 由题意得 2 9 apabac m 2 29 4 9 则 5 1 9 m 故选a 10 已知正方形的边长为 若将正方形沿对角线折叠为三棱锥 abcd2abcdbd 则在折叠过程中 不能出现 abcd 6 a b 平面平面c bdac abd cbd d 2 3 a cbd v abcd 答案 d 解析 对于 a 取 bd 中点 o 因为 ao 所以面 aoc 所以 aobd cobd coo bd 故 a 对 bdac 对于 b 当沿对角线折叠成直二面角时 有面平面平面 故 b 对 bdabd cbd 对于 c 当折叠所成的二面角时 顶点 a 到底面 bcd 的距离为 此时 150oaoc 2 2 故 c 对 1122 2 3323 a bcd vsh 对于 d 若 因为 面 abc 所以 abcd bccd abbcbcd cdac 而 即直角边长与斜边长相等 显然不对 故 d 错 2 2cdad 故选 d 点睛 本题考查了立体几何中折叠问题 要分析清楚折叠前后的变化量与不变量以及线线与 线面的位置关系 属于中档题 11 在中 已知 则为 abc 2 cosabc 2 1 sinsin 2cos sin 22 c abc abc a 等腰直角三角形b 等边三角形 c 锐角非等边三角形d 钝角三角形 答案 a 解析 分析 已知第一个等式利用正弦定理化简 再利用诱导公式及内角和定理表示 根据两角和与差的 正弦函数公式化简 得到a b 第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形 右边利 7 用二倍角的余弦函数公式化简 将a b c a b 0 代入计算求出 cosc的值为 0 进而确定 出c为直角 即可确定出三角形形状 详解 将已知等式 2acosb c 利用正弦定理化简得 2sinacosb sinc sinc sin a b sinacosb cosasinb 2sinacosb sinacosb cosasinb 即 sinacosb cosasinb sin a b 0 a与b都为 abc的内角 a b 0 即a b 已知第二个等式变形得 sinasinb 2 cosc 1 cosc 1 cosc 1 2 1 2 1 2 cos a b cos a b 2 cosc 1 cosc 1 2 1 2 cosc 1 2 cosc 1 cosc 1 2 1 2 即 cosc 1 2 cosc 2 cosc 整理得 cos2c 2cosc 0 即 cosc cosc 2 0 cosc 0 或 cosc 2 舍去 c 90 则 abc为等腰直角三角形 故选 a 点睛 此题考查了正弦定理 两角和与差的正弦公式 二倍角的余弦函数公式 熟练掌握 正弦定理是解本题的关键 12 已知平面内 且 则的最 0abac 1abac 4abac ap abac pb pc 大值等于 a 13b 15c 19d 21 答案 a 解析 分析 令 将 表示成 即可将 abm acn pb pc pbabap pcacap 8 表示成 展开可得 pb pc 1441mn pb pcabacacab mnnm 再利用基本不等式即可求得其最大值 417pb pcmn 详解 令 则 abm acn 1mn 又 14m pbabapabac mn 41n pcacapacab nm 所以 1441mn pb pcabacacab mnnm 2214114441mnmn ab acabacac ab mnmmnnnm 4172 41713mnmn 当且仅当时 等号成立 1 2 2 mn 故选 a 点睛 本题主要考查了平面向量基本定理的应用及利用基本不等式求最值 考查转化能力 及计算能力 属于难题 二 填空题 将答案填在答题纸上 二 填空题 将答案填在答题纸上 13 省农科站要检测某品牌种子的发芽率 计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取 800 粒进行检测 现将这粒种子编号如下 若从随机数表第行 60800001002 8008 第列的数开始向右读 则所抽取的第粒种子的编号是 下表是随机数表 774 第行至第行 79 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 答案 507 解析 试题分析 依据随机数表 抽取的编号依次为 785 567 199 507 第四粒编号为 507 考点 随机数表 9 14 设 为单位向量 其中 且在方向上的射影数量为 2 则 1 e 2 e 12 2aee 2 be a b 与的夹角是 1 e 2 e 答案 3 解析 分析 利用在方向上的射影数量为 2 可得 即可整理得 a b 2 a b b 12 1 2 e e 问题得解 详解 因为在方向上的射影数量为 2 a b 所以 整理得 2 a b b 2 1222 22eeee 又 为单位向量 1 e 2 e 所以 12 1 2 e e 设与的夹角 则 1 e 2 e 12 12 1 cos 2 e e ee 所以与的夹角是 1 e 2 e 3 点睛 本题主要考查了向量射影的概念及方程思想 还考查了平面向量夹角公式应用 考 查转化能力及计算能力 属于中档题 15 已知为的三个内角a b c的对边 向量 a b c abc 3 1m 若 且 则 b cos sinnaa mn coscossinabbacc 答案 6 解析 分析 10 根据得 再利用正弦定理得 mn 3cossin0 3 aaa 化简得出角的大小 再根据三角形内角和即可得 b 2 sincossincossinabbac c 详解 根据题意 mn 3cossin0 3 aaa 由正弦定理可得 2 sincossincossinabbac 2 sin sinabc 2 sinsincc sin1c 2 c 则 6 ba c 所以答案为 6 点睛 本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用 属于基础题 16 设在的内部 且 的面积与的面积之比为 oabc 23oaoboco aoc abc 答案 1 3 解析 分析 记 可得 为的重心 利用比例关系可得 2obod 3ocoe oade 结合 即可得 1 3 aocaoe ss 1 6 bocdoe ss 1 2 boadoa ss aoedoedoa sss 解 详解 记 2obod 3ocoe 则oa odoeo 11 则为的重心 如下图 oade 由三角形面积公式可得 1 3 aocaoe ss 1 6 bocdoe ss 1 2 boadoa ss 又为的重心 oade 所以 1 3 aoedoedoaade ssss 所以 111 326 aocbocboadoadoaabc ssssss 所以 1 3 1 3 aocaoeabcoad ssss 点睛 本题主要考查了三角形重心的向量结论 还考查了转化能力及三角形面积比例计算 属于难题 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 如下图 长方体中 点是棱上一点 1111 abcdabc d 1 1adaa 2ab eab 1 当点在上移动时 三棱锥的体积是否变化 若变化 说明理由 若不 eab 1 ddce 12 变 求这个三棱锥的体积 2 当点在上移动时 是否始终有 证明你的结论 eab 11 d ead 答案 1 2 详见解析 1 3 解析 i 三棱锥的体积不变 1 ddce 1 11 2 111 22 dce sdcaddd 11 1 111 1 1 333 d d ceddcedce vvdds ii 当点在上移动时 始终有 eab 11 d ead 证明 连接 四边形是正方形 1 ad 11 add a 11 adad 平面 平面 ae 11 add a 1 ad 11 add a 1 adab 又 平面 1 abada ab 1 ad e 平面 1 ad 1 ad e 又平面 1 d e 1 ad e 11 d ead 18 某中学的高二 1 班男同学有 45 名 女同学有 15 名 老师按照分层抽样的方法组建了 一个 4 人的课外兴趣小组 1 求课外兴趣小组中男 女同学的人数 2 经过一个月的学习 讨论 这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验 方法是先从 小组里选出 1 名同学做实验 该同学做完后 再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 3 试验结束后 第一次做试验的同学得到的试验数据为 68 70 71 72 74 第二次做 13 试验的同学得到的试验数据为 69 70 70 72 74 请问哪位同学的实验更稳定 并说明理由 答案 1 男 女同学的人数分别为 3 人 1 人 2 3 第二位同学的实验更稳定 1 2 理由见解析 解析 分析 1 设有名男同学 利用抽样比列方程即可得解 x 2 列出基本事件总数为 12 其中恰有一名女同学的有 6 种 利用古典概型概率公式计算 即可 3 计算出两位同学的实验数据的平均数和方差 问题得解 详解 1 设有名男同学 则 男 女同学的人数分别为 3 人 1 x 45 604 x 3x 人 2 把 3 名男同学和 1 名女同学记为 则选取两名同学的基本事件有 123 a a a b 12 a a 13 a a 1 a b 21 a a 23 a a 2 a b 31 a a 32 a a 3 a b 1 b a 共 12 种 其中恰有一名女同学的有 6 种 2 b a 3 b a 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 61 122 p 3 1 687071 7274 71 5 x 2 6970707274 71 5 x 22222 2 1 6871 7071 71 71 7271 7471 4 5 s 22222 2 2 6971 7071 7071 7271 7471 3 2 5 s 因 所以第二位同学的实验更稳定 22 12 ss 点睛 本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式 还考查了样本数据 的平均数及方差计算 考查方差与稳定性的关系 属于中档题 14 19 如图 在中 点在边上 abc pbc60pac 2pc 4apac 1 求边的长 ac 2 若的面积是 求的值 apb 3 3 2bap 答案 1 2 2 3 57 arcsin 38 bap 解析 分析 1 设 利用余弦定理列方程可得 解方程 acx 22 1 4 4 2 4 2 xxxx 即可 2 利用 1 中结果即可判断为等边三角形 即可求得中边上的高为 apc abp bp 再利用的面积是即可求得 结合余弦定理可得 3 apb 3 3 23pb 19ab 再利用正弦定理可得 问题得解 319 sin3 2 bap 详解 1 在中 设 则 apc acx 4apx 由余弦定理得 222 2cospcacapacappac 即 22 1 4 4 2 4 2 xxxx 解之得 即边的长为 2 2x ac 2 由 1 得为等边三角形 作于 apc adbc d 15 则 sin603adpa 故 133 3 222 apb spbadpb 3pb 在中 由余弦定理得 abp 22 2 2cos19 3 abpbpapb pa 在中 由正弦定理得 即 abp sinsin pbab bapbpa 319 sin3 2 bap 3 3 3 57 2 sin 3819 bap 3 57 arcsin 38 bap 点睛 本题主要考查了利用正 余弦定理解三角形 还考查了三角形面积公式的应用及计 算能力 属于中档题 20 已知函数 2 1 1 f xxaxar 1 若关于的不等式的解集是 求 的值 x 0f x 2x mx am 2 设关于的不等式的解集是 集合 若 求 x 0f x a 01 bxx ab 实数的取值范围 a 答案 1 3 2 a 1 2 m 2 1a a 解析 分析 1 先根据不等式解集与对应方程根的关系得x2 a 1 x 1 0 的两个实数根为 16 m 2 再利用韦达定理得结果 2 当a b 时 即不等式f x 0 对x b恒成立 再 利用变量分离法得a 1 x 的最小值 最后根据基本不等式求最值 即得结果 1 x 详解 1 关于x的不等式f x 0 的解集是 x m x 2 对应方程x2 a 1 x 1 0 的两个实数根为m 2 由根与系数的关系 得 解得a m 2 关于x的不等式f x 0 的解集是a 集合b x 0 x 1 当a b 时 即不等式f x 0 对x b恒成立 即x 时 x2 a 1 x 1 0 恒成立 0 1 a 1 x 对于x 0 1 恒成立 当时 1 0 恒成立 当x 0 1 时 a 1 2 即a 1 实数a的取值范围是 点睛 一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集以及对应二次函数零点的关系 是数形 结合思想 等价转化思想的具体体现 注意转化时的等价性 21 如图 abc 是边长为 2 的正三角形 ae 平面 abc 且 ae 1 又平面 bcd 平面 abc 且 bd cd bd cd 1 求证 ae 平面 bcd 2 求证 平面 bde 平面 cde 答案 1 证明见解析 2 证明见解析 解析 17 试题分析 1 取 bc 的中点 m 连接 dm am 证明 ae dm 通过直线与平面平行的判定定 理证明 ae 平面 bcd 2 证明 de am de cd 利用直线与平面垂直的判定定理证明 cd 平面 bde 然后证明 平面 bde 平面 cde 证明 1 取 bc 的中点 m 连接 dm am 因为 bd cd 且 bd cd bc 2 所以 dm 1 d