常微分方程第三章测试卷及答案

常微分方程第三章测试卷常微分方程第三章测试卷 班级 姓名 学号 得分 一 一 填空题 填空题 30 分 分 1 则称函数为在 R 上关 于 y 满足利普希兹条件 2 存在唯一性定理中近似值与真正解在区间 内的误差估hxx 0 计式为 3 由解关于初值的对称性 若方程满足初始条件的解是唯 00 yxy 一的 记为 则成立关系式 在解的存 00 yxxy 在范围内 4 若函数以及都在区域 G 内连续 则方程的解 yxf y f 作为的函数在它的存在范围内的 00 yxxy 00 yxx 5 若函数在区域 G 内连续 且关于 满足局部利普希兹条件 yxfy 则方程的解作为的函数在它的存在范围内 00 yxxy 00 yxx 的 6 微分方程的奇解是指 二 解答题 二 解答题 50 分 分 1 求曲线的奇解 这里 是参数 为固定0sincos payaxap 常数 2 求的奇解 2 1yy 1 y 3 求初值问题及 的解的存在 22 yx dx dy 0 1 y1 11 yxR 区间 并求第二次近似解 给出在解的存在区间的误差估计 4 讨论分别过点 0 0 的解的存在区间 2 1 2 y dx dy 3 2ln 5 利用克莱洛方程求的奇解 p xpy 1 dx dy p 三 证明题 证明题 20 分 分 假设函数于的邻域内是 的不增函数 试证方程 yxf 00 yxy 满足条件的解于一侧最多只有一个 yxf dx dy 00 yxy 0 xx 常微分方程第三章测试卷常微分方程第三章测试卷 一一 1 若存在常数 0 使得不等式 对于所有L 2121 yyLyxfyxf 都成立Ryxyx 21 2 1 1 n N n h n ML xx 3 00 yxxy 4 连续可微的 5 连续的 6 一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线 且满足积分曲线上的每一点都有积分 曲线族中的一条曲线和它在此点相切 二 1 解 由 0sincos payax 0cossin ayax 得到 222 pyx 故所求奇解为 222 pyx 2 解 易解得其通解为 sin cxy 又 2 1y y y f 令 则有 y f 1 y 3 解 1 1 ba 4 yxfMaxM 4 1 M b aMinh Ly y f 22 故 1 1 n N n h n ML xx 24 1 42 11 631893 743 2 xxxx x 4 解 显然在整个平面上是连续 2 1 2 y 又 所以满足局部利普希兹条件 从而满足解的存y y f yxf 2 1 2 y 在唯一性定理和延拓定理的条件 易知方程的解为及 x x ce ce y 1 1 1 y 1 过 0 0 的解为 x x e e y 1 1 有意义 又由解的唯一性知 x x x e e y 1 1 与不相交 x x e e y 1 1 1 y 故此方程解的存在区间为 2 过 的解为 当3 2ln x x e e y 1 1 yx 0 故方程 的解向左只能延拓到 0 x 又与不相交 x x e e y 1 1 1 y 故方程的解的存在区间为 0 5 解 由 与可得 p xpy 1 0 1 2 p x xy4 2 三 证明 假设满足条件的解于有两个 00 yxy 0 xx 1 xy 2 xy 则 01 xy 0 y 02 xy 0 y 令 x 1 xy 2 xy0 x 与为连续函数 1 xy 2 xy 不妨假设在上 10 xx 1 xy 2 xy 于