稳定性

第三章 Lyapunov稳定性理论,稳定性是控制系统最重要的性能指标定性的说，如果系统从所需要的工作点附近起动后，系统以后一直将运行停留在这一点周围，就称系统是稳定的例如，对于一个飞行器控制系统，一个典型的稳定性问题是：由一阵风引起的轨线干扰是否会引起此后飞行轨线的显著偏差？,2,研究非线性控制系统稳定性最常用的是Lyapunov稳定性理论Lyapunov，1892，“运动稳定性的一般问题”分为两类：线性化方法 和 直接方法,3,本章内容,基本概念,非线性系统平衡点稳定（不稳定）渐近稳定、指数稳定、全局稳定,Lyapunov线性化方法,Lyapunov直接方法,平衡点定理不变集理论,如何寻找Lyapunov函数？,线性时不变系统的分析Krasovskii方法待定梯度法,Lyapunov直接方法的控制设计,4,3.1 非线性系统与平衡点,1 非线性系统用非线性微分方程描述：,状态向量对应于相空间中的一个点。状态向量包含的变量个数n 称为系统的阶,系统的一个解x(t)对应状态空间的一条曲线，称为系统轨线。,5,2 自治系统与非自治系统,线性系统中根据系统矩阵A是否随时间变化分为时变 与 时不变系统。在一般的非线性系统中，称为自治 与 非自治。,如果非线性方程,不显含t，即方程可以写为,则非线性系统称为自治的。,严格意义上，所有的物理系统都是非自治的自治（即时不变）系统是一种理想概念，如线性系统一样,6,自治与非自治的区别：自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非线性系统一般不是这样。,本章考察自治系统,下一章考察非自治系统,7,3 平衡点,！稳定性是针对平衡点而言的。只有对于具有唯一平衡点的系统或者所有平衡点同时稳定或不稳定的系统谈及系统稳定与否才有意义,8,4 标称运动,在某些实际问题中，要研究在某个运动附近的稳定性。例如，飞行器轨线控制问题,该类问题可以转化为某个平衡点的平衡点稳定问题,对自治非线性方程,即,满足非自治微分方程,g(0,t)=0, 该新的动态系统以e为状态，以g代替f,原点为其一个平衡点,可以通过考察新系统平衡点在扰动下的稳定性来判断原系统标称运动的偏离,9,一个自治系统对每一个标称运动的稳定性对应于一个等价的非自治系统关于平衡点的稳定性。,例：自治的质量-弹簧系统,运动误差e的等价微分方程为,非自治,10,3.2 稳定的概念,1 稳定性与不稳定性,一个平衡点x=0称为稳定的，如果任给R0，总存在r0，使当|x(0)|0,任意指定的,11,例：范德波尔振子的不稳定性,如果指定R包含在极限环的闭曲线内，可以看出原点是不稳定的,12,2 渐近稳定性和指数稳定性,工程应用中,仅仅保证系统Lyapunov意义上的稳定（包含了临界稳定）是不够的。例如，当卫星的姿态角偏离其正常位置时，不仅要求卫星姿态偏离能保持在一定的幅值范围内，而且要求其姿态角能逐渐回归到初始值。,平衡点0称为渐近稳定的，如果它是稳定的，而且存在r0，使当|x(0)|r时，x(t)趋近于0,渐近稳定意味着平衡点不仅是稳定的，而且从平衡点邻近的点出发的轨线当时间趋于无穷时，收敛于0,平衡点的吸引域：状态空间中最大的一个区域，从此区域出发的一切轨线均收敛于原点。,13,（在渐近稳定性的定义中，只要求轨线当t趋于无穷时收敛于0，而对系统稳定与否不作要求，可以吗？）,从单位圆内任意非零点出发的轨线收敛到原点，但是原点是Lyapunov不稳定的,R=1,曲线C可能处于模型有效区域之外,C,14,在许多工程应用中，知道系统收敛于平衡点是不够的，需要估计系统轨线趋于0的速度。,上式表示指数稳定系统的状态向量收敛于原点的速度比某个指数函数快。,（指数收敛率lambda为？）,15,指数稳定蕴涵渐近稳定，而渐近稳定却不保证指数稳定,16,局部性态不能告诉初态离平衡点较远时系统的性态,3 局部稳定性和全局稳定性,如果对任意初值渐近（或指数）稳定成立，则这样的平衡点称为全局渐近（指数）稳定。,线性定常系统的稳定性分为3种：渐近稳定、临界稳定、不稳定。线性渐近稳定总是全局和指数稳定的，线性不稳定总是指数发散的。,17,基本概念,非线性系统平衡点稳定（不稳定）渐近稳定、指数稳定、全局稳定,Lyapunov线性化方法,Lyapunov直接方法,平衡点定理不变集理论,如何寻找Lyapunov函数？,线性时不变系统的分析Krasovskii方法待定梯度法,Lyapunov直接方法的控制设计,本章内容,18,3.3 Lyapunov线性化方法（间接法）,“一个非线性系统与其线性逼近在一个小运动范围内应当有相似行为”,对自治系统,假定f(x)连续可微，,上式可近似为,例：求如下系统的线性逼近,（1）,（2）,19,定理(Lyapunov线性化方法）,如果线性化系统是严格稳定的（A的特征值在左半开平面），那么非线性系统的平衡点是渐近稳定的如果线性化系统是不稳定的（至少有一个A的特征值在右半开平面），那么非线性系统的平衡点是不稳定的如果线性化系统是临界稳定的（A的特征值在左半闭平面，且至少有一个在虚轴上），那么由线性化系统得不到原系统的任何信息（非线性系统的平衡点可能是稳定的、渐近稳定的、不稳定的）,20,例：使用Lyapunov间接法，考察如下一阶系统的稳定性,系统在原点的线性化方程为,根据上述定理，有,a0,a=0,在a=0时，非线性系统为,a=0时，使用Lyapunov间接方法无法判断，而Lyapunov直接方法却能解决,21,基本概念,非线性系统平衡点稳定（不稳定）渐近稳定、指数稳定、全局稳定,Lyapunov线性化方法,Lyapunov直接方法,平衡点定理不变集理论,如何寻找Lyapunov函数？,线性时不变系统的分析Krasovskii方法待定梯度法,Lyapunov直接方法的控制设计,本章内容,22,3.4 Lyapunov直接方法,“如果一个系统的全部能量连续耗散，那么系统（不管是线性的还是非线性的）都将最终停止在一个平衡点处”,例：非线性质量-阻尼-弹簧系统,假定质量块由弹簧的自然长度拉开一大段距离，然后松手，质点运动是否稳定？,该非线性方程的一般解很难求得而且Lyapunov线性化是临界稳定的从能量的角度考察系统性态,23,系统动能与势能之和是,比较机械能与前面定义的稳定性概念：,能量为0对应着平衡点渐近稳定意味着机械能收敛到平衡点不稳定对应于机械能的增长,系统的稳定性可以通过系统能量的变化来描述：,上式表明由于阻尼的存在，系统的能量不断减少，直到质点停止运动,上述Lyapunov直接方法的步骤可以推广到更一般的非线性系统,24,3.4.1 正定函数与Lyapunov函数,非线性质量-阻尼-弹簧系统中，能量函数有两个性质：除了当,正定函数,如果V(0)=0且上述性质在整个状态空间成立，则称V(x)为全局正定函数,例如：摆的机械能,是局部正定的,呢？,25,上述定义表明函数V(x)有一个惟一的最小点：原点0。在一个球内，任给一个有惟一最小点的函数，都可以通过在函数上加一个常值的方法使它成为局部正定函数。,正定函数的几何意义,26,Lyapunov函数的几何解释,27,3.4.2 平衡点定理,Lyapunov局部定理描述平衡点邻域的稳定性质，通常只与局部正定函数有关。,1 局部稳定性的Lyapunov定理,局部稳定性：,28,例1：局部稳定性,带有粘性阻尼的单摆方程,选取Lyapunov函数为,（局部正定）,因此原点是稳定平衡点。仅靠Lyapunov函数，还得不到系统渐近稳定的结论，因为导数是负半定的,29,例2：渐近稳定性,非线性系统,取正定函数,沿系统轨线的导数为,30,2 全局稳定性的Lyapunov定理,要保证全局稳定性，需要将上述局部定理中放大到整个状态空间。要给V(x)函数一个附加条件：V(x)是径向无界的,定理（全局稳定性）,径向无界的条件用来保证等值曲线(曲面)V(x)对应于一条闭曲线。如果曲线不闭，轨线虽然从高等值线往低等值线走，但却可能漂离平衡点。,31,例：一类一阶系统,非线性系统,C(x)是连续的，所以C(0)=0.,考查候选Lyapunov函数,则,同时，函数V(x)是径向无界的，因为当,所以，x=0是全局渐近稳定的平衡点,类似的具体系统有,它们都是全局渐近稳定的,32,例：二阶系统,选取Lyapunov函数为,V沿任一系统轨线的导数为,因此原点是全局渐近稳定平衡点。,Lyapunov分析中的所有定理都是充分性定理。如果对一个候选Lyapunov函数，其导数不满足要求，则对系统稳定性得不到任何结果。惟一的结论是：要去寻找另一个候选Lyapunov函数。,33,3.4.3 不变集理论,渐近稳定性是控制系统非常重要的性质，但是平衡点定理很难保证这一性质，因为候选Lyapunov函数通常是负半定的。为了得到渐近稳定的结论，需要借助拉塞尔的不变集定理。,一个集合G称为一个动态系统的不变集，如果从G中一个点出发的轨线永远停留在G中。,不变集是平衡点概念的推广。,例：一个平衡点是一个不变集 一个平衡点的吸引域是一个不变集 极限环是一个不变集,对自治系统，状态空间的任何一条轨线都是一个不变集,非自治系统的轨线通常不是不变集（为什么？）,34,局部不变集定理,（不变集定理能使我们在V的导数负半定的情况下，得到渐近稳定的结论。）,注：“最大”：集合论意义下的最大（M是R内所有不变集的并集）这里V还叫做Lyapunov函数，但不要求其正定 局部平衡点定理可看作不变集定理的特例，即M集只含原点,35,局部不变集定理的应用1：对局部平衡点定理无法判定的问题，如何得到渐近稳定的结论。,例：非线性质量-阻尼-弹簧系统,因为V的导数是负半定的，所以根据局部平衡点定理只能得到临界稳定的结论。但是利用不变集理论可以证明系统实际上是渐近稳定的。为此，只要证明M只含一个点即可。,证明：使用反证法证明一个非零点x1不属于集合M 即可。,这样就从负半定的V得到系统的渐近稳定性,36,局部不变集定理的应用2：系统轨线收敛于极限环,考查系统,在上述集合上为0,此时，系统在不变集上的运动为：,因此不变集实际上代表了一个极限环。它是否稳定呢？,则,对上述V的导数为0，第一个方程定义了极限环，第二个方程表示原点。,37,所以最大不变集M是上述两个方程定义集合的并集。,因此，系统的所有极限环，或者收敛于极限环，或者收敛于原点。,使用不变集定理还可以证明极限环内从除原点外任一点出发的轨线均收敛于极限环，即证明了原点是不稳定平衡点。而从线性化系统,得不到这样的结论。,38,全局不变集定理,可以将局部不变集定理推广到全局，条件是将有界性改变为标量函数V径向无界。,例：一类二阶非线性系统,39,对这个系统，可以选取正定函数,则,它可看作系统能量的损耗,根据条件，系统不可能停在x=0外的任何一个点。,根据局部不变集定理，原点是局部渐近稳定的。,由全局不变集定理可知原点是全局渐近稳定平衡点,40,基本概念,非线性系统平衡点稳定（不稳定）渐近稳定、指数稳定、全局稳定,Lyapunov线性化方法,Lyapunov直接方法,平衡点定理不变集理论,如何寻找Lyapunov函数？,线性时不变系统的分析Krasovskii方法待定梯度法,Lyapunov直接方法的控制设计,本章内容,41,3.5 基于Lyapunov直接方法的系统分析,对于具体系统，如何找到一个Lyapunov函数？,对于稳定的线性系统，有一些方法可以按部就班的找到Lyapunov函数对于非线性系统不存在寻找Lyapunov函数的一般方法,42,3.5.1 线性时不变系统的Lyapunov分析,目的：如何构造线性时不变系统的Lyapunov函数,意义：1 使用一套统一的语言来描述线性和非线性系统，以发现它们的共同内涵2 某些非线性控制系统可能包括线性组成部分；而整个系统的Lyapunov函数可以由子系统的Lyapunov函数相加得到,1. 对称矩阵、反对称矩阵、正定矩阵,性质1：任何一个方阵都可以表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和：,性质2：反对称矩阵构成的二次函数为0。,43,正定矩阵：一个n*n的方阵称为正定的，如果,（每个正定矩阵对应一个正定函数。反之，不成立）,方阵M正定的一个必要条件是：对角元素都为正数 对称矩阵M正定的充要条件是：其顺序主子式均为正数；或等价地，其特征值均为正数。,谱分解：对称正定矩阵总可以分解为,性质：,44,正半定、负定、负半定的概念类似。,一个时变矩阵是一致正定的，如果,2. 线性时不变系统的Lyapunov函数,沿系统轨线对V求导，得到另一个二次型,其中，,因此问题转化为：寻找对称正定矩阵Q，使之满足Lyapunov方程,45,例：二阶线性系统,如果选取P=I，则,显然，Q不是正定的。因此选取P=I无法判断原系统是否稳定。,一个有效的方法是：给定一个正定矩阵Q，反过来寻找正定矩阵P，即：选择一个正定矩阵Q由方程 解出P检验P是否正定如果P正定，那么二次型是线性系统的一个Lyapunov函数，并且保证了全局渐近稳定,Q可任意选择。较简单的是选择 Q=I,46,例：仍为二阶线性系统,取Q=I，且设,于是Lyapunov方程