2011年高考数学第二轮专题复习 数列教学案

用心 爱心 专心 20112011 年高考第二轮专题复习 教学案 数列年高考第二轮专题复习 教学案 数列 考纲指要 考纲指要 数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位 通常以数列为工具 综合运用函数 方程 不等式等知识 通过运用逆推思想 函数与方程 归纳与猜想 等价转化 分类讨 论等各种数学思想方法 这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能 力 考点扫描 考点扫描 1 等差数列定义 通项公式 前 n 项和公式 2 等比数列定义 通项公式 前 n 项和公式 3 数列求通项的常用方法如 作新数列法 累差叠加法 归纳 猜想法 而 对于递归数列 则常用 归纳 猜想 数学归纳法证明 迭代法 代换法 包括代数 代换 对数代数 三角代数 4 数列求和常用方法如 公式法 裂项求和 错项相消法 并项求和 考题先知 考题先知 例 1 已知 2 11 0 1 bx f xxa a ax 16 1log2 21ff 求函数 f x的表达式 定义数列 1 2 1 1 1 nfffan 求数列 n a的通项 求证 对任意的 nN 有 4 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 1 n aaa 解 由 2 16 2 11 4 1log21 1 1 2021 1 1 2 b fa a bbf a 所以 2 1 1 f x x 2222 1111 1111 234 1 111111 111111 223311 2 21 n a n nn n n A A A A A A 用心 爱心 专心 不等式 2222 123 11111 22224 n aaaa A A A等价于 2222 1111 1 234 1n A A A 因为 2222 11111111 2341 22 33 41 1 111111 111 22311 n n n nnn A A AA A A A A A 例 2 如图 已知一类椭圆 3 2 1 10 1 2 2 2 nb b y xC n n n 若椭圆 Cn上有一点 Pn到右准线 n l的距离 n d是 nnF P与 nnG P的等差中项 其中 Fn Gn分别是椭圆的左 右 焦点 1 试证 1 2 3 nbn 2 取 2 32 n n bn 并用 Sn表示 nnn GFP 的面积 试证 21 SS 且 3 1 nSS nn 证明 1 由题设与椭圆的几何性质得 2 n d nnF P nnG P 2 故 n d 1 设 2 1 nn bc 则右准线 n l的方程为 n n c x 1 从而由1 1 1 1 n n n c d c 得 1 2 1 n c 即11 2 1 2 n b 有 1 2 3 nbn 2 设点 nnn yxP 则由 n d 1 得1 1 n n c x 从而 1 222 nnn xby 122 1 23 2 nnn n ccc c n l O y Pn dn x Fn O Gn 用心 爱心 专心 所以 nnn ycS 2 2 1 122 23 nnn ccc 因函数122 23 xxxxf中 由0226 2 xxxf得 6 131 x 所以 Sn在区间 6 131 2 1 上是增函数 在区间 1 6 131 上是减函数 由 2 32 n n bn 可得 2 1 11 2 n bc nn 知 n c是递增数列 而 32 5 4 6 131 4 3 cc 故可证 21 SS 且 3 1 nSS nn 评注 这是一道较为综合的数列与解析几何结合的题目 涉及到的知识较多 有椭圆 的相关知识 列不等式与解不等式 构造函数 利用导数证明其单调性等 这也表明数列 只是一个特殊函数的本原问题 提示了数列问题的函数思想方法 复习智略 复习智略 例例 3 3 已知二次函数y f x 在x 2 2 t 处取得最小值 4 2 t t 0 f 1 0 1 求y f x 的表达式 2 若任意实数x都满足等式f x g x anx bn xn 1 g x 为多项式 n N N 试用 t表示an和bn 3 设圆Cn的方程为 x an 2 y bn 2 rn2 圆Cn与Cn 1外切 n 1 2 3 rn 是各 项都是正数的等比数列 记Sn为前n个圆的面积之和 求rn Sn 解 1 设f x a x 2 2 t 2 4 2 t 由f 1 0 得a 1 f x x2 t 2 x t 1 2 将f x x 1 x t 1 代入已知得 x 1 x t 1 g x anx bn xn 1 上式对任意的x R R 都成立 取x 1 和x t 1 分别代入上式得 1 1 1 1 n nn nn tbat ba 且t 0 解得an t 1 t 1 n 1 1 bn t t1 1 t 1 n 3 由于圆的方程为 x an 2 y bn 2 rn2 又由 2 知an bn 1 故圆Cn的圆心On在直线x y 1 上 又圆Cn与圆Cn 1相切 故有rn rn 1 2 an 1 an 2 t 1 n 1 用心 爱心 专心 设 rn 的公比为q 则 1 2 11 2 1 2 1 n nn n nn rr qt rrqt 得q n n r r 1 t 1 代入 得rn 2 1 2 1 t t n Sn r12 r22 rn2 3 4 2 22 1 2 1 2 1 1 tt t q qr n t 1 2n 1 检测评估 检测评估 1 动点P的横坐标 x 纵坐标 y 使lg y lg x lg 2 yx 成等差数列 则点P的轨迹图形 是 1 解 由条件得 2 lglglg2 xy yx 即02 22 yxyx 又0 0 xxyy 所以化为 0 0 2 xx xx y 故选 C 2 各项都是正数的等比数列 n a 的公比q 1 且 2 a 3 2 1 a 1 a成等差数列 则 54 43 aa aa 的值为 A 2 15 B 2 15 C 2 51 D 2 15 或 2 15 3 给定正整数n 2n 按右图方式构成三角形数表 第一行依次写上数1 2 3 n 在 下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和 得到上 面一行的数 比下一行少一个数 依次类推 最后一行 第n行 只有一个数 例如6n 时数表如图所示 则当2007n 时最后一 1197 2016128 362820 6448 112 53 65432 1 A 1 1 1 y x O B 0 5 1 1 1 y xO C Ox y 11 1 0 5 D Ox y 1 1 1 用心 爱心 专心 行的数是 A 2007 251 2 B 2006 20072 C 2008 251 2 D 2005 20072 4 设等比数列 an 的各项均为正数 项数是偶数 它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍 且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍 则数列 lgan 的前几项和最大 A 4 B 5 C 6 D 7 5 已知f x x 1 g x 2x 1 数列 an 满足 a1 1 an 1 则数列 an 的前 2007 项的和为 f an n为奇数 g an n为偶数 A 5 22008 2008 B 3 22007 5020 C 6 22006 5020 D 6 21003 5020 6 在直角坐标系中 O是坐标原点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是第一象限的两个点 若 1 x1 x2 4 依次成等差数列 而 1 y1 y2 8 依次成等比数列 则 OP1P2的面积是 7 已知a b a b成等差数列 a b ab成等比数列 且 0 logm ab 1 则m的取值范 围是 8 已知数列 n a满足 4 N 2 3 1 11 anaa nn 则 n a 9 在等差数列 n a中 1 a为首项 n S是其前n项的和 将 1 2 n n aa n S 整理为 1 11 22 n n S aa n 后可知 点 12 1122 12 n nn SSS P aP aP a n n是正整数 都在直线 1 11 22 yxa 上 类似地 若 n a是首项为 1 a 公比为 1 q q 的等比数列 则点 111222 nnn P a SP a SP a S n是正整数 在直线 上 10 假设实数 1234 a a a a是一个等差数列 且满足 1 13a 及 3 4a 若定义2 n a n b 给出下列命题 1234 b b b b是一个等比数列 12 bb 2 4b 4 32b 24 256bb 其中正确的命题序号为 11 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整 两款 1 1 升排量的 Q 型车 R 型车的销 量引起市场的关注 已知 2006 年 1 月 Q 型车的销量为a辆 通过分析预测 若以 2006 年 1 月为第 1 月 其后两年内 Q 型车每月的销量都将以 1 的比率增长 而 R 型车前n个月的 销售总量 n T大致满足关系式 101 1 228 2 n n aT 1 求 Q 型车前n个月的销售总量 n S的表达式 2 比较两款车前n个月的销售总量 n S与 n T的大小关系 3 试问到 2007 年底是否会出现两种车型中一种车型的月销售量小于另一种车型月销售 量的 20 并说明理由 用心 爱心 专心 12 已知 10 log na aaxxf 若数列 an 42 2 321 Nnnafafafaf n 使得成等差数列 1 求 an 的通项an 2 设 nnn afab 若 bn 的前 n 项和是 Sn 且 3 1 2 1 1 2 2 42 2 4 a na S a a n n 求证 点拨与全解 点拨与全解 1 解 由条件得 2 lglglg2 xy yx 即02 22 yxyx 又0 0 xxyy 所以化为 0 0 2 xx xx y 故选 C 2 解 设公比为 q由 11 2 1 aqaqa 从而 2 51 q 负值舍去 故选 B 3 解 设第n行的数为 n a 则 2 2 11 n nnn aaa 从而 4 1 22 1 1 n n n n aa 即数列 n n a 2 是以 2 1 为首项 4 1 为公差的等差数列 得 1 4 1 2 n a n n 所以 2007 2007 22008 4 1 a 故选 A 4 设公比为q 项数为 2m m N N 依题意有 9 1 1 1 1 3 1 2 1 3 11 2 2 1 2 1 qaqaqaqa q qqa q qa mm 化简得 108 3 1 1 9 1 1 4 1 2 1 a q qqa q q 解得 设数列 lgan 前n项和为Sn 则 Sn lga1 lga1q2 lga1qn 1 lga1n q1 2 n 1 nlga1 2 1 n n 1 lgq n 2lg2 lg3 2 1 n n 1 lg3 2 3lg n2 2lg2 2 7 lg3 n 可见 当n 3lg 3lg 2 7 2lg2 时 Sn最大 用心 爱心 专心 而 4 02 4 073 04 3lg 3lg 2 7 2lg2 5 故 lgan 的前 5 项和最大 故选 B 5 解 a2n 2 a2n 1 1 2a2n 1 1 2a2n 2 a2n 2 2 2 a2n 2 数列 a2n 2 是以 2 为公比 以a2 a1 1 2 为首项的等比数列 a2n 2 2 2 n 1 a2n 2 n 2 又a2n a2n 1 a2n 2a2n 1 3a2n 1 数列 an 的前 2007 项的和为 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a2006 a2007 a1 3a2 1 3a4 1 3a6 1 3a2006 1 1 3 2 5 3 22 5 3 23 5 3 21003 5 1 3 2 5 3 22 5 3 23 5 3 21003 5 3 2 22 23 21003 1 5 1003 6 21003 1 1 5 1003 6 21003 5020 故选 D 6 解 由 1 x1 x2 4 依次成等差数列得 2x1 x2 1 x1 x2 5 解得x1 2 x2 3 又由 1 y1 y2 8 依次成等比数列 得y12 y2 y1y2 8 解得y1 2 y2 4 P1 2 2 P2 3 4 21 2 2 OPOP 3 4 5 22 1486 2121 OPOPOPOP 12 1212 12 147 22 cos sin 1010 5 2 2 OPOP POPPOP OPOP 1 2 1212 112 sin2 251 2210 OPP SOPOPPOP 7 解 由 bab baab 22 2 得 4 2 b a 原不等式化为18log0 m m 8 8 解 作方程 2 3 2 3 1 0 xxx则当4 1 a时 2 11 2 3 1101 abxa 数列 n b是以 3 1 为公比的等比数列 于是 N 3 1 2 11 2 3 2 3 3 1 2 11 3 1 111 1 nbabb n nn nn n 9 利用等比数列的求和公式可知 q a x q q y 11 1 10 可证 正确 11 解 1 Q 型车每月的销售量 n a是以首项aa 1 公比01 1 11 q的等比数 列 前n个月的销售总量 101 1 100 101 1 101 1 n n n a a S n N 且24 n 用心 爱心 专心 2 101 1 228101 1 100 2 nn nn aaTS 101 1 101 1 228101 1 100 nnn aa 57 32 01 1 101 1 228 nn a 又 0101 1 n 0 57 32 01 1 n nn TS 3 记 Q R 两款车第n个月的月销售量分别为 n a和 n b 则 1 01 1 n n aa 当2 n时 101 1 228101 1 228 222 1 nn nnn aaTTb 22222 01 1 5828 4 01 1 101 1 228 nn aa aab0201 0 2285828 4 1 或 显然 11 20ab 当2 n时 若