2011届高三数学全程复习13 第十三编 算法初步、推理与证明、复数（共51页）教学案 新人教版

第十三编第十三编 算法初步 推理与证明 复数算法初步 推理与证明 复数 13 1 13 1 算法与流程图算法与流程图 1 以下对算法的描述正确的有 个 对一类问题都有效 算法可执行的步骤必须是有限的 计算可以一步步地进行 每一步都有确切的 含义 是一种通法 只要按部就班地做 总能得到结果 答案答案 4 2 任何一个算法都必须有的基本结构是 答案答案 顺序结构 3 下列问题的算法适宜用选择结构表示的是 填序号 求点 P 1 3 到直线 l 3x 2y 1 0 的距离 由直角三角形的两条直角边求斜边 解不等式 ax b 0 a 0 计算 100 个数的平均数 答案答案 4 下列 4 种框图结构中 是直到型循环结构的为 填序号 答案答案 5 2008 2008 广东理 广东理 9 9 阅读下面的流程图 若输入 m 4 n 3 则输出 a i 注 框图中的 赋值符号 也可以写成 或 基础自测基础自测 答案答案 12 3 更多成套系列资源请您访问 谢谢您对我们的帮助支持 例例 1 1 已知点 P x0 y0 和直线 l Ax By C 0 求点 P x0 y0 到直线 l 的距离 d 写出其算法并画出 流程图 解解 算法如下 第一步 输入 x0 y0及直线方程的系数 A B C 流程图 第二步 计算 Z1 Ax0 By0 C 第三步 计算 Z2 A2 B2 第四步 计算 d 2 1 第五步 输出 d 例例 2 2 特快专递 是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式 某快递公司规定甲 乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算 f 100 85 0 100 6 0100 100 6 0 其中 f 单位 元 为托运费 为托运物品的重量 单位 千克 试设计计算费用 f 的算法 并画出流程 图 解解 算法如下 S1 输入 S2 如果 100 那么 f 0 6 否则 f 100 0 6 100 0 85 S3 输出 f 流程图为 例例 3 3 14 分 画出计算 12 22 32 42 992 1002的值的流程图 解解 流程图如下图 14 分 1 写出求解一个任意二次函数 y ax2 bx c a 0 的最值的算法 解解 算法设计如下 第一步 计算 m a bac 4 4 2 第二步 若 a 0 输出最小值 m 第三步 若 a 0 输出最大值 m 2 到银行办理个人异地汇款 不超过 100 万元 银行收取一定的手续费 汇款额不超过 100 元 收取 1 元 手续费 超过 100 元但不超过 5 000 元 按汇款额的 1 收取 超过 5 000 元 一律收取 50 元手续费 试 用条件语句描述汇款额为 x 元时 银行收取手续费 y 元的过程 画出流程图 解解 这是一个实际问题 故应先建立数学模型 y 由此看出 求手续费时 需先判断 x 的范围 故应用选择结构描述 00000010005 50 0005100 01 0 1000 1 x xx x 流程图如图所示 3 利用两种循环写出 1 2 3 100 的算法 并画出各自的流程图 解解 直到型循环算法 第一步 S 0 第二步 I 1 第三步 S S I 第四步 I I 1 第五步 如果 I 不大于 100 转第三步 否则 输出 S 相应的流程图如图甲所示 当型循环算法如下 S1 令 i 1 S 0 S2 若 i 100 成立 则执行 S3 否则 输出 S 结束算法 S3 S S i S4 i i 1 返回 S2 相应的流程图如图乙所示 一 填空题一 填空题 1 算法 S1 输入 n S2 判断 n 是否是 2 若 n 2 则 n 满足条件 若 n 2 则执行 S3 S3 依次从 2 到 n 1 检验能不能整除 n 若不能整除 n 满足上述条件的是 答案答案 质数 2 在算法的逻辑结构中 要求进行逻辑判断 并根据结果进行不同处理的是哪种结构 答案答案 选择结构和循环结构 3 阅读下面的流程图 若输入的 a b c 分别是 21 32 75 则输出的 a b c 分别是 答案答案 75 21 32 4 如果执行下面的流程图 那么输出的 S 答案答案 2 550 5 2009 2009 兴化市板桥高级中学兴化市板桥高级中学 1212 月月考 月月考 如下图的流程图输出的结果为 答案答案 132 6 如图所示 流程图所进行的求和运算是 答案答案 2 1 4 1 6 1 20 1 7 2008 2008 山东理 山东理 1313 执行下边的流程图 若 p 0 8 则输出的 n 注 框中的赋值符号 也可以写成 或 答案答案 4 8 若框图所给的程序运行的结果为 S 90 那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件是 答案答案 k 8 二 解答题二 解答题 9 已知函数 f x 写出该函数的函数值的算法并画出流程图 0 52 0 13 xx xx 解解 算法如下 第一步 输入 x 第二步 如果 x 0 那么使 f x 3x 1 否则 f x 2 5x 第三步 输出函数值 f x 流程图如下 10 写出求过两点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线的斜率的算法 并画出流程图 解解 由于当 x1 x2时 过两点 P1 P2的直线的斜率不存在 只有当 x1 x2时 根据斜率公式 k 求出 故可设计如下的算法和流程图 12 12 xx yy 算法如下 第一步 输入 x1 y1 x2 y2 第二步 如果 x1 x2 输出 斜率不存在 否则 k 12 12 xx yy 第三步 输出 k 相应的流程图如图所示 11 画出求 的值的流程图 21 1 32 1 43 1 10099 1 解解 流程图如图所示 12 某企业 2007 年的生产总值为 200 万元 技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加 5 问 最早哪一年的年生产总值将超过 300 万元 试写出解决该问题的一个算法 并画出相应的流程图 解解 算法设计如下 第一步 n 0 a 200 r 0 05 第二步 T ar 计算年增量 第三步 a a T 计算年产量 第四步 如果 a 300 那么 n n 1 重复执行第二步 如果 a 300 则执行第五步 第五步 N 2 007 n 第六步 输出 N 流程图如下 方法一方法一 方法二方法二 13 2 13 2 基本算法语句 算法案例基本算法语句 算法案例 1 下面是一个算法的操作说明 初始值为 n 0 x 1 y 1 z 0 n n 1 x x 2 y 2y z z xy 如果 z 7 000 则执行语句 否则回到语句 继续执行 打印 n z 程序终止 由语句 打印出的数值为 答案答案 8 7 682 2 按照下面的算法进行操作 S1 x 2 35 S2 y Int x S3 Print y 最后输出的结果是 答案答案 2 3 读下面的伪代码 Read x If x 0 Then Print x Else Print x End If 这个伪代码表示的算法的功能是 答案答案 输入一个数 输出其绝对值 4 下面是一个算法的伪代码 如果输入的 x 的值是 20 则输出的 y 的值是 答案答案 150 基础自测基础自测 5 与下列伪代码对应的数学表达式是 Read n e 0 S 1 For I From 1 To n Step 1 S S I e e 1 S End for Print e 答案答案 S 1 2 1 3 1 1 n 例例 1 1 设计算法 求用长度为 l 的细铁丝分别围成一个正方形和一个圆时的面积 要求输入 l 的值 输出 正方形和圆的面积 解解 伪代码如下 Read l S1 l l 16 S2 l l 4 3 14 Print S1 Print S2 End 例例 2 2 14 分 已知分段函数 y 编写伪代码 输入自变量 x 的值 输出其相应 0 1 0 0 0 1 xx x xx 的函数值 并画出流程图 解解 伪代码如下 流程图如图所示 Read x If x 0 Then y x 1 Else If x 0 Then y 0 Else y x 1 End If End If Print y End7 分 例例 3 3 编写一组伪代码计算 1 并画 2 1 3 1 0001 1出相应 的流程图 解解 伪代码如下 i 1 S 0 While i 1 000 S S 1 i i i 1 End While Print S End 流程图如图所示 1 下面的表述 6 p t 3 5 2 b 3 5 p 3x 2 4 x 3 a a3 x y z 5 ab 3 x y 2 x 其中正确表述的赋值语句有 注 要求把正确的表述的序号全填上 答案答案 2 某百货公司为了促销 采用打折的优惠办法 每位顾客一次购物 在 100 元以上者 含 100 元 下同 按九五折优惠 在 200 元以上者 按九折优惠 在 300 元以上者 按八五折优惠 在 500 元以上者 按八折优惠 试写出算法 画出流程图 伪代码 以求优惠价 解解 设购物款为 x 元 优惠价为 y 元 则优惠付款公式为 y 500 8 0 500300 85 0 300200 9 0 200100 95 0 100 xx xx xx xx xx 算法分析 S1 输入 x 的值 S2 如果 x 100 输出 y x 否则转入 S3 S3 如果 x 200 输出 y 0 95x 否则转入 S4 S4 如果 x 300 输出 y 0 9x 否则转入 S5 S5 如果 x 500 输出 y 0 85x 否则转入 S6 S6 输出 y 0 8x 3 某玩具厂 1996 年的生产总值为 200 万元 如果年生产增长率 5 计算最早在哪一年生产总值超过 300 万 元 试写出伪代码 解解 伪代码如下 n 1 996 p 1 05 a 200 While a 300 a a p n n 1 End While Print n End 一 填空题一 填空题 1 伪代码 a 3 b 5 Print a b 的运行结果是 答案答案 8 2 为了在运行下面的伪代码后输出 y 16 应输入的整数 x 的值是 Read x If x 0 Then y x 1 2 Else y 1 x2 End If Print y 答案答案 5 3 写出下列伪代码的运行结果 图 1 图 2 1 图 1 的运行结果为 2 图 2 的运行结果为 答案答案 1 7 2 6 4 以下给出的是用条件语句编写的一个伪代码 该伪代码的功能是 Read x If x 3 Then y 2 x Else If x 3 Then y x2 1 Else y 2 End If End If Print y End 答案答案 求下列函数当自变量输入值为 x 时的函数值 f x 其中 f x 3 1 3 2 3 2 2 xx x xx 5 下面是一个算法的伪代码 其运行的结果为 答案答案 2 500 6 如图所示 该伪代码表示的作用是 答案答案 求三个数中最大的数 7 如图 1 是某循环流程图的一部分 若改为图 2 则运行过程中 I 的值是 S 1 For I From 3 To 99 Step 2 S S I End For Print S Read a b c m max a b c Print m End 答案答案 1 8 图中算法执行的循环次数为 答案答案 333 二 解答题二 解答题 9 用条件语句描述下面的算法流程图 解解 Read x If x 0 Then y 2 x 3 Else If x 0 Then y 2 x 5 Else y 0 End If End If Print y S 0 For I From 2 To 1 000 Step 3 S S I End For End 10 请设计一个问题 使得该问题的算法如已知的伪代码所示 解解 已知圆 O 内有一个边长为 a 的圆的内接正方形 求圆的面积比正方形的面积大多少 11 有一个算法如下 S1 输入 x S2 判断 x 0 是 z 1 否 z 1 S3 z 1 z S4 输出 z 试写出上述算法的流程图及相应的伪代码 解解 12 一个小朋友在一次玩皮球时 偶然发现一个现象 球从某高度落下后 每次都反弹回原高度的 再落 3 1 下 再反弹回上次高度的 如此反复 假设球从 100 cm 处落下 那么第 10 次下落的高度是多少 在第 3 1 10 次落地时共经过多少路程 试用伪代码表示其算法 解解 伪代码如图所示 Read a r a 22 S r r a a Print S End Read x If x 0 Then z 1 Else z 1 End If z z 1 Print z End h 100 s 100 i 2 While i 10 h h 3 s s 2 h i i 1 End While Print 第 10 次下落的高度为 h Print 第 10 次落地时共经过的路程为 s End 13 313 3 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 1 某同学在电脑上打下了一串黑白圆 如图所示 按这种规律往下排 那 么第 36 个圆的颜色应是 答案答案 白色 2 数列 1 2 4 8 16 32 的一个通项公式是 答案答案 an 2n 1 3 已知 a1 3 a2 6 且 an 2 an 1 an 则 a33为 答案答案 3 4 下面使用类比推理恰当的是 若 a 3 b 3 则 a b 类推出 若 a 0 b 0 则 a b a b c ac bc 类推出 c ba c a c b a b c ac bc 类推出 c 0 c ba c a c b ab n anbn 类推出 a b n an bn 答案答案 5 一切奇数都不能被 2 整除 2100 1 是奇数 所以 2100 1 不能被 2 整除 其演绎推理的 三段论 的形式为 答案答案 一切奇数都不能被 2 整除 大前提 2100 1 是奇数 小前提 所以 2100 1 不能被 2 整除 结论 基础自测基础自测 例例 1 1 在数列 an 中 a1 1 an 1 n N N 猜想这个数列的通项公式是什么 这个猜想正确吗 说明理由 n n a a 2 2 解解 在 an 中 a1 1 a2 1 1 2 2 a a 3 2 a3 2 2 2 2 a a a4 3 3 2 2 a a 2 1 4 2 5 2 所以猜想 an 的通项公式 an 1 2 n 这个猜想是正确的 证明如下 因为 a1 1 an 1 n n a a 2 2 所以 即 1 1 n a n n a a 2 2 n a 1 2 1 1 1 n a n a 1 2 1 所以数列是以 1 为首项 为公差的等差数列 n a 1 1 1 a2 1 所以 1 n 1 n n a 1 2 1 2 1 2 1 所以通项公式 an 1 2 n 例例 2 2 已知 O 是 ABC 内任意一点 连结 AO BO CO 并延长交对边于 A B C 则 1 这 AA OA BB OB CC OC 是一道平面几何题 其证明常采用 面积法 1 AA OA BB OB CC OC ABC OBC S S ABC OCA S S ABC OAB S S ABC ABC S S 请运用类比思想 对于空间中的四面体 V BCD 存在什么类似的结论 并用体积法证明 证明证明 在四面体 V BCD 中 任取一点 O 连结 VO DO BO CO 并延长分别交四个面于 E F G H 点 则 1 VE OE DF OF BG OG CH OH 在四面体 O BCD 与 V BCD 中 VE OE h h1 hS hS BCD BCD 3 1 3 1 1 BCDV BCDO V V 同理有 DF OF VBCD VBCO V V BG OG VCDB VCDO V V CH OH VBDC VBDO V V VE OE DF OF BG OG CH OH 1 BCDV VBDOVCDOVBCOBCDO V VVVV BCDV BCDV V V 例例 3 3 14 分 已知函数 f x a 0 且 a 1 aa a x 1 证明 函数 y f x 的图象关于点对称 2 1 2 1 2 求 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 1 证明证明 函数 f x 的定义域为 R R 任取一点 x y 它关于点对称的点的坐标为 1 x 2 1 2 1 1 y 2 分 由已知得 y aa a x 则 1 y 1 aa a x aa a x x 3 分 f 1 x aa a x 1 a a a a x x x aaa aa aa a x x 5 分 1 y f 1 x 即函数 y f x 的图象关于点对称 2 1 2 1 7 分 2 解解 由 1 有 1 f x f 1 x 即 f x f 1 x 1 f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 则 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 14 分 1 已知 f x x a 0 且 f 1 log162 f 2 1 2 1 1 ax bx a 1 1 求函数 f x 的表达式 2 已知数列 xn 的项满足 xn 1 f 1 1 f 2 1 f n 试求 x1 x2 x3 x4 3 猜想 xn 的通项 解解 1 把 f 1 log162 f 2 1 4 1 代入函数表达式得 1 21 12 4 1 1 1 2 2 a b a b 整理得 解得 14412 1244 2 2 aab aab 0 1 b a 于是 f x x 1 2 1 1 x 2 x1 1 f 1 1 4 1 4 3 x2 x3 4 3 9 1 1 3 2 3 2 16 1 1 8 5 x4 8 5 25 1 1 5 3 3 这里因为偶数项的分子 分母作了约分 所以规律不明显 若变形为 便可 4 3 6 4 8 5 10 6 猜想 xn 1 2 2 n n 2 如图 1 若射线 OM ON 上分别存在点 M1 M2与点 N1 N2 则 如图 2 若不在 22 11 NOM NOM S S 2 1 OM OM 2 1 ON ON 同一平面内的射线 OP OQ 和 OR 上分别存在点 P1 P2 点 Q1 Q2和点 R1 R2 则类似的结论是什么 这个 结论正确吗 说明理由 解解 类似的结论为 222 111 RQPO RQPO V V 2 1 OP OP 2 1 OQ OQ 2 1 OR OR 这个结论是正确的 证明如下 如图 过 R2作 R2M2 平面 P2OQ2于 M2 连 OM2 过 R1在平面 OR2M2作 R1M1 R2M2交 OM2于 M1 则 R1M1 平面 P2OQ2 由 R1M1 111 RQPO V 3 1 11OQ P S OP1 OQ1 sin P1OQ1 R1M1 3 1 2 1 OP1 OQ1 R1M1 sin P1OQ1 6 1 同理 OP2 OQ2 R2M2 sin P2OQ2 222 RQPO V 6 1 所以 222 111 RQPO RQPO V V 2222 1111 MROQOP MROQOP 由平面几何知识可得 22 11 MR MR 2 1 OR OR 所以 所以结论正确 222 111 RQPO RQPO V V 222 111 OROQOP OROQOP 3 已知函数 f x x R R 12 12 x x 1 判定函数 f x 的奇偶性 2 判定函数 f x 在 R R 上的单调性 并证明 解解 1 对x R R 有 x R R 并且 f x f x 12 12 x x x x 21 21 12 12 x x 所以 f x 是奇函数 2 f x 在 R R 上单调递增 证明如下 任取 x1 x2 R R 并且 x1 x2 f x1 f x2 12 12 1 1 x x 12 12 2 2 x x 12 12 12 12 12 12 21 1221 xx xxxx 12 12 22 2 21 21 xx xx x1 x2 0 1 2x 2 2x 0 1 0 1 0 1 2x 2 2x 1 2x 2 2x 0 12 12 22 2 21 21 xx xx f x1 f x2 f x 在 R R 上为单调递增函数 一 填空题一 填空题 1 由 若 a b 0 m 0 则与之间的大小关系为 10 7 8 5 11 9 10 8 25 13 21 9 ma mb a b 答案答案 ma mb a b 2 已知 a1 1 an 1 an 且 an 1 an 2 2 an 1 an 1 0 猜想 an的表达式为 答案答案 an n2 3 已知 f x x2 008 ax2 007 8 f 1 10 则 f 1 0092 x b 答案答案 24 4 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则 mn nm 类比得到 a a b b b b a a m n t mt nt 类比得到 a a b b c c a a c c b b c c m n t m n t 类比得到 a a b b c c a a b b c c t 0 mt xtm x 类比得到 p p 0 0 a a p p x x p pa a x x m n m n 类比得到 a a b b a a b b 类比 bc ac b a 得到 cb ca b a 以上的式子中 类比得到的结论正确的个数是 答案答案 2 5 下列推理是归纳推理的是 填序号 A B 为定点 动点 P 满足 PA PB 2a AB 得 P 的轨迹为椭圆 由 a1 1 an 3n 1 求出 S1 S2 S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn的表达式 由圆 x2 y2 r2的面积r2 猜想出椭圆 1 的面积 S ab 2 2 2 2 b y a x 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案答案 6 已知整数的数对列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 则第 60 个数对是 答案答案 5 7 7 在平面几何中 ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比 把这个结论类比到空间 在三棱 EB AE BC AC 锥 A BCD 中 如图所示 而 DEC 平分二面角 A CD B 且与 AB 相交于 E 则得到的类比的结论是 答案答案 EB AE BCD ACD S S 8 2008 2008 金陵中学模拟 金陵中学模拟 现有一个关于平面图形的命题 如图所示 同一个平面内有两个边长都是 a 的正 方形 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方形重叠部分的面积恒为 类比到空间 有两 4 2 a 个棱长均为 a 的正方体 其中一个的某顶点在另一个的中心 则这两个正方体重叠部分的体积恒为 答案答案 8 3 a 二 解答题二 解答题 9 把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比 试由 平行四边形对边相等 得出平行六面体的相关性质 解解 如图所示 由平行四边形的性质可知 AB DC AD BC 于是类比平行四边形的性质 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 我们猜想 S S S S ABCD 1111 DCBA 11A ADD 11B BCC S S 11A ABB 11C CDD 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知 此猜想是正确的 10 已知梯形 ABCD 中 AB DC AD AC 和 BD 是它的对角线 用三段论证明 AC 平分 BCD BD 平分 CBA 证明证明 1 两平行线与第三直线相交 内错角相等 大前提 BCA 与 CAD 是平行线 AD BC 被 AC 所截内错角 小前提 所以 BCA CAD 结论 2 等腰三角形两底角相等 大前提 CAD 是等腰三角形 DA DC 小前提 所以 DCA CAD 结论 3 等于同一个量的两个量相等 大前提 BCA 与 DCA 都等于 CAD 小前提 所以 BCA DCA 结论 4 同理 BD 平分 CBA 11 如图所示 点 P 为斜三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱 BB1上一点 PM BB1交 AA1于点 M PN BB1交 CC1于点 N 1 求证 CC1 MN 2 在任意 DEF 中有余弦定理 DE2 DF2 EF2 2DF EF cos DFE 拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面 角之间的关系式 并予以证明 证明证明 1 PM BB1 PN BB1 BB1 平面 PMN BB1 MN 又 CC1 BB1 CC1 MN 2 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 有 S S S 2SScos 2 11A ABB 2 11B BCC 2 11A ACC 11B BCC 11A ACC 其中为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角 CC1 平面 PMN 上述的二面角的平面角为 MNP 在 PMN 中 PM2 PN2 MN2 2PN MNcos MNP PM2 CC PN2 CC MN2 CC 2 PN CC1 MN CC1 cos MNP 2 1 2 1 2 1 由于 S PN CC1 S MN CC1 11B BCC 11A ACC S PM BB1 PM CC1 11A ABB S S S 2S S cos 2 11A ABB 2 11B BCC 2 11A ACC 11B BCC 11A ACC 12 已知椭圆具有性质 若 M N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点 点 P 是椭圆上任意一点 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 kPM kPN时 那么 kPM与 kPN之积是与点 P 的位置无关的定值 试对双曲线 1 写出具有类似特性的性质 并加以证明 2 2 2 2 b y a x 解解 类似的性质为 若 M N 是双曲线 1 上关于原点对称的两个点 点 P 是双曲线上任意一点 2 2 2 2 b y a x 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 kPM kPN时 那么 kPM与 kPN之积是与点 P 的位置无关的定值 证明如下 设点 M P 的坐标分别为 m n x y 则 N m n 因为点 M m n 在已知双曲线上 所以 n2 m2 b2 同理 y2 x2 b2 2 2 a b 2 2 a b 则 kPM kPN mx ny mx ny 22 22 mx ny 定值 2 2 a b 22 22 mx mx 2 2 a b 13 4 13 4 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 1 分析法是从要证的结论出发 寻求使它成立的 条件 答案答案 充分 2 若 a b 0 则 a b 用 填空 b 1 a 1 答案答案 3 要证明 2 可选择的方法有以下几种 其中最合理的是 填序号 375 反证法 分析法 综合法 答案答案 4 用反证法证明命题 若整系数一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 有有理数根 那么 a b c 中至少有一个 是偶数时 下列假设中正确的是 假设 a b c 都是偶数 假设 a b c 都不是偶数 假设 a b c 至多有一个偶数 假设 a b c 至多有两个偶数 答案答案 5 设 a b c 0 P a b c Q b c a R c a b 则 PQR 0 是 P Q R 同时大于零 的 条件 答案答案 充要 基础自测基础自测 例例 1 1 设 a b c 0 证明 a b c a c c b b a 222 证明证明 a b c 0 根据基本不等式 有 b 2a c 2b a 2c b a2 c b2 a c2 三式相加 a b c 2 a b c b a2 c b2 a c2 即 a b c b a2 c b2 a c2 例例 2 2 14 分 已知 a 0 求证 a 2 2 2 1 a a 2 a 1 证明证明 要证 a 2 2 2 1 a a 2 a 1 只要证 2 a 2 分 2 2 1 a a a 1 2 a 0 故只要证 a 2 6 分 2 2 2 2 1 a a a 1 2 即 a2 4 4 2 1 a 2 2 1 a a a2 2 2 2 8 分 2 1 a 2 a a 1 从而只要证 2 10 分 2 2 1 a a 2 a a 1 只要证 4 2 a2 2 即 a2 2 而该不等式显然成立 2 2 1 a a 2 1 a 2 1 a 故原不等式成立 14 分 例例 3 3 若 x y 都是正实数 且 x y 2 求证 2 与 2 中至少有一个成立 y x 1 x y 1 证明证明 假设 2 和 2 都不成立 y x 1 x y 1 则有 2 和 2 同时成立 y x 1 x y 1 因为 x 0 且 y 0 所以 1 x 2y 且 1 y 2x 两式相加 得 2 x y 2x 2y 所以 x y 2 这与已知条件 x y 2 相矛盾 因此 2 与 2 中至少有一个成立 y x 1 x y 1 1 已知 a b c 为互不相等的非负数 求证 a2 b2 c2 abcabc 证明证明 a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2ac 又 a b c 为互不相等的非负数 上面三个式子中都不能取 a2 b2 c2 ab bc ac ab bc 2 bc ac 2 cab2 2 abc ab ac 2 bca2 又 a b c 为互不相等的非负数 ab bc ac abcabc a2 b2 c2 abcabc 2 已知 a 0 b 0 且 a b 1 试用分析法证明不等式 b b a a 11 4 25 证明证明 要证 b b a a 11 4 25 只需证 ab ab ba1 22 4 25 只需证 4 ab 2 4 a2 b2 25ab 4 0 只需证 4 ab 2 8ab 25ab 4 0 只需证 4 ab 2 17ab 4 0 即证 ab 4 或 ab 只需证 ab 4 1 4 1 而由 1 a b 2 ab 显然成立 ab 4 1 所以原不等式 成立 b b a a 11 4 25 3 已知 a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 不能同时大于 4 1 证明证明 方法一方法一 假设三式同时大于 4 1 即 1 a b 1 b c 1 c a 4 1 4 1 4 1 a b c 0 1 三式同向相乘得 1 a b 1 b c 1 c a 64 1 又 1 a a 2 2 1 aa 4 1 同理 1 b b 1 c c 4 1 4 1 1 a a 1 b b 1 c c 64 1 这与假设矛盾 故原命题正确 方法二方法二 假设三式同时大于 4 1 0 a 1 1 a 0 2 1 ba ba 1 4 1 2 1 同理 2 1 cb 2 1 2 1 ac 2 1 三式相加得 这是矛盾的 故假设错误 2 3 2 3 原命题正确 一 填空题一 填空题 1 2008 2008 南通模拟 南通模拟 用反证法证明 如果 a b 那么 假设内容应是 3 a 3 b 答案答案 或 3 a 3 b 3 a 3 b 2 已知 a b 0 且 ab 1 若 0 c 1 p logc q logc 则 p q 的大小关系是 2 22 ba 2 1 ba 答案答案 p q 3 设 S 是至少含有两个元素的集合 在 S 上定义了一个二元运算 即对任意的 a b S 对于有序元素对 a b 在 S 中有唯一确定的元素 a b 与之对应 若对任意的 a b S 有 a b a b 则对任意的 a b S 下列恒成立的等式的序号是 a b a a a b a a b a b b b b a b b a b b 答案答案 4 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A1B1C1是 三 角形 A2B2C2是 三角形 用 锐角 钝角 或 直角 填空 答案答案 锐角 钝角 5 已知三棱锥 S ABC 的三视图如图所示 在原三棱锥中给出下列命题 BC 平面 SAC 平面 SBC 平面 SAB SB AC 其中正确命题的序号是 答案答案 6 对于任意实数 a b 定义运算 a b a 1 b 1 1 给出以下结论 对于任意实数 a b c 有 a b c a b a c 对于任意实数 a b c 有 a b c a b c 对于任意实数 a 有 a 0 a 则以上结论正确的是 写出你认为正确的结论的所有序号 答案答案 二 解答题二 解答题 7 已知数列 an 中 Sn是它的前 n 项和 并且 Sn 1 4an 2 n 1 2 a1 1 1 设 bn an 1 2an n 1 2 求证 数列 bn 是等比数列 2 设 cn n 1 2 求证 数列 cn 是等差数列 n n a 2 3 求数列 an 的通项公式及前 n 项和公式 1 证明证明 Sn 1 4an 2 Sn 2 4an 1 2 两式相减 得 Sn 2 Sn 1 4an 1 4an n 1 2 即 an 2 4an 1 4an 变形得 an 2 2an 1 2 an 1 2an bn an 1 2an n 1 2 bn 1 2bn 由此可知 数列 bn 是公比为 2 的等比数列 2 证明证明 由 S2 a1 a2 4a1 2 a1 1 得 a2 5 b1 a2 2a1 3 故 bn 3 2n 1 cn n 1 2 n n a 2 cn 1 cn 1 1 2 n n a n n a 2 1 1 2 2 n nn aa 1 2 n n b 将 bn 3 2n 1代入得 cn 1 cn n 1 2 4 3 由此可知 数列 cn 是公差为的等差数列 4 3 它的首项 c1 故 cn n n 1 2 2 1 a 2 1 4 3 4 1 3 解解 cn n 3n 1 4 3 4 1 4 1 an 2n cn 3n 1 2n 2 n 1 2 当 n 2 时 Sn 4an 1 2 3n 4 2n 1 2 由于 S1 a1 1 也适合于此公式 所以 an 的前 n 项和公式为 Sn 3n 4 2n 1 2 8 设 a b c 为任意三角形三边长 I a b c S ab bc ca 试证 I2 4S 证明证明 由 I2 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 2S a b c 为任意三角形三边长 a b c b c a c a b a2 a b c b2 b c a c2 c a b 即 a2 ab ac b2 bc ba c2 ca cb 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 2S a2 b2 c2 2S 4S I2 4S 9 已知 a b c 为正实数 a b c 1 求证 1 a2 b2 c2 3 1 2 6 23 a23 b23 c 证明证明 1 方法一方法一 a2 b2 c2 3 1 3a2 3b2 3c2 1 3 1 3a2 3b2 3c2 a b c 2 3 1 3a2 3b2 3c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 3 1 a b 2 b c 2 c a 2 0 3 1 a2 b2 c2 3 1 方法二方法二 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 3 a2 b2 c2 a b c 2 1 a2 b2 c2 3 1 方法三方法三 设 a b c 3 1 3 1 3 1 a b c 1 0 a2 b2 c2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 2 3 1 3 2 2 2 2 3 1 3 1 a2 b2 c2 3 1 2 23 a1 23 a 2 123 a 2 33 a 同理 23 b 2 33 b 23 c 2 33 c 623 a23 b23 c 2 9 3 cba 原不等式成立 10 已知函数 y ax a 1 1 2 x x 1 证明 函数 f x 在 1 上为增函数 2 用反证法证明方程 f x 0 没有负数根 证明证明 1 任取 x1 x2 1 不妨设 x1 x2 则 x2 x1 0 由于 a 1 a 1 且 a 0 12 xx 1 x a a a a 1 0 2 x 1 x 1 x 12 xx 又 x1 1 0 x2 1 0 1 2 2 2 x x 1 2 1 1 x x 1 1 1 2 1 2 21 2112 xx xxxx 0 1 1 3 21 12 xx xx 于是 f x2 f x1 a a 0 2 x 1 x 1 2 2 2 x x 1 2 1 1 x x 故函数 f x 在 1 上为增函数 2 方法一方法一 假设存在 x0 0 x0 1 满足 f x0 0 则 a 0 x 1 2 0 0 x x a 1 0 a 1 0 x 0 1 即 x0 2 1 2 0 0 x x 2 1 与假设 x0 0 相矛盾 故方程 f x 0 没有负数根 方法二方法二 假设存在 x0 0 x0 1 满足 f x0 0 若 1 x0 0 则 2 a 1 1 2 0 0 x x 0 x f x0 1 与 f x0 0 矛盾 若 x0 1 则 0 a 0 1 2 0 0 x x 0 x f x0 0 与 f x0 0 矛盾 故方程 f x 0 没有负数根 13 5 数学归纳法 1 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 在验证 n 1 时 左端计算所得的项为 a an 1 1 2 答案答案 1 a a2 2 如果命题 P n 对 n k 成立 则它对 n k 1 也成立 现已知 P n 对 n 4 不成立 则下列结论正确的是 填序号 P n 对 n N N 成立 P n 对 n 4 且 n N N 成立 P n 对 n 4 且 n N N 成立 P n 对 n 4 且 n N N 不成立 答案答案 3 用数学归纳法证明 1 2 3 n2 则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上 2 24 nn 答案答案 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 4 已知 f n 则下列说法有误的是 n 1 1 1 n2 1 n 2 1 n f n 中共有 n 项 当 n 2 时 f 2 2 1 3 1 f n 中共有 n 1 项 当 n 2 时 f 2 2 1 3 1 4 1 f n 中共有 n2 n 项 当 n 2 时 f 2 2 1 3 1 f n 中共有 n2 n 1 项 当 n 2 时 f 2 2 1 3 1 4 1 答案答案 5 用数学归纳法证明命题 当 n 是正奇数时 xn yn能被 x y 整除 在第二步时 答案答案 假设 n k k 是正奇数 证明 n k 2 命题成立 例例 2 2 用数学归纳法证明 n N N 时 31 1 53 1 12 12 1 nn12 n n 证明证明 1 当 n 1 时 左边 31 1 3 1 基础自测基础自测 右边 左边 右边 112 1 3 1 所以等式成立 2 假设当 n k k N N 时等式成立 即有 31 1 53 1 12 12 1 kk12 k k 则当 n k 1 时 31 1 53 1 12 12 1 kk 32 12 1 kk 12 k k 32 12 1 kk 32 12 13 2 kk kk 32 12 132 2 kk kk 32 1 k k 1 1 2 1 k k 所以当 n k 1 时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切 n N N 等式都成立 例例 2 2 试证 当 n 为正整数时 f n 32n 2 8n 9 能被 64 整除 证明证明 方法一方法一 1 当 n 1 时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 2 假设当 n k k 1 k N N 时 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 由于 32 k 1 2 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 64 k 1 即 f k 1 9f k 64 k 1 n k 1 时命题也成立 根据 1 2 可知 对任意的 n N N 命题都成立 方法二方法二 1 当 n 1 时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 2 假设当 n k k 1 k N N 时 f k 32k 2 8k 9 能被 64 整除 由归纳假设 设 32k 2 8k 9 64m m 为大于 1 的自然数 将 32k 2 64m 8k 9 代入到 f k 1 中得 f k 1 9 64m 8k 9 8 k 1 9 64 9m k 1 n k 1 时命题成立 根据 1 2 可知 对任意的 n N N 命题都成立 例例 3 3 用数学归纳法证明 对一切大于 1 的自然数 不等式 1 1 1 均成 3 1 5 1 12 1 n2 12 n 立 证明证明 1 当 n 2 时 左边 1 右边 3 1 3 4 2 5 左边 右边 不等式成立 2 假设 n k k 2 且 k N N 时不等式成立 即 1 1 1 3 1 5 1 12 1 k2 12 k 则当 n k 1 时 1 1 1 3 1 5 1 12 1 k 1 1 2 1 1 k 2 12 k 12 22 k k 122 22 k k 122 484 2 k kk 122 384 2 k kk 122 1232 k kk 2 1 1 2 k 当 n k 1 时 不等式也成立 由 1 2 知 对于一切大于 1 的自然数 n 不等式都成立 例例 4 4 16 分 已知等差数列 an 的公差 d 大于 0 且 a2 a5是方程 x2 12x 27 0 的两根 数列 bn 的前 n 项 和为 Tn 且 Tn 1 n b 2 1 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 试比较与 Sn 1的大小 并说明理由 n b 1 解解 1 由已知得 27 12 52 52 aa aa 又 an 的公差大于 0 a5 a2 a2 3 a5 9 d 2 a1 1 an 2n 1 2 分 3 25 aa 3 39 Tn 1 bn b1 2 1 3 2 当 n 2 时 Tn 1 1 bn 1 2 1 bn Tn Tn 1 1 bn 1 bn 1 2 1 2 1 化简 得 bn bn 1 3 1 bn 是首项为 公比为的等比数列 3 2 3 1 即 bn 4 分 3 2 1 3 1 n n 3 2 an 2n 1 bn 5 分 n 3 2 2 Sn n2 2 12 1 nn Sn 1 n 1 2 6 分 n b 1 2 3n 以下比较与 Sn 1的大小 n b 1 当 n 1 时 S2 4 S2 1 1 b2 3 1 1 b 当 n 2 时 S3 9 S3 2 1 b2 9 2 1 b 当 n 3 时 S4 16 S4 3 1 b2 27 3 1 b 当 n 4 时 S5 25 S5 4 1 b2 81 4 1 b 猜想 n 4 时 Sn 1 8 分 n b 1 下面用数学归纳法证明 当 n 4 时 已证 假设当 n k k N N k 4 时 Sk 1 即 k 1 2 k b 1 2 3k 那么 n k 1 时 3 3 k 1 2 3k2 6k 3 1 1 k b2 3 1 k 2 3k k2 4k 4 2k2 2k 1 k