第4讲_基本不等式

高一数学导学案高一数学导学案基本不等式 学习目标学习目标 能够叙述发现基本不等式的过程 会用多种方法证明基本不等式 能够举例说明基本不等式在解决简单的最值 不等式证明 比较大小 求取值范 围等问题方面的应用 3 通过运用基本不等式解决实际应用性问题 提高应用数学手段解决实际问题的能力 与意识 学习重点学习重点 基本不等式的证明与应用 1 基本不等式 ab a b 2 1 基本不等式成立的条件 a 0 b 0 2 几个重要的不等式 1 a2 b2 2ab a b R 2 2 a b 同号 b a a b 3 ab 2 a b R a b 2 4 2 a b R a2 b2 2 a b 2 3 算术平均数与几何平均数 设 a 0 b 0 则 a b 的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式 a b 2ab 可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数 4 利用基本不等式求最值问题 已知 x 0 y 0 则 1 如果积 xy 是定值 p 那么当且仅当 x y 时 x y 有最小值是 2 简记 积 p 定和最小 2 如果和 x y 是定值 p 那么当且仅当 x y 时 xy 有最大值是 简记 和定 p2 4 积最大 一个技巧 运用公式解题时 既要掌握公式的正用 也要注意公式的逆用 例如 a2 b2 2ab 逆用就是 ab a b 0 逆用就是 a2 b2 2 a b 2ab ab 2 a b 0 等 还要注意 添 拆项 技巧和公式等号成立的条件 a b 2 等 两个变形 1 2 ab a b R 当且仅当 a b 时取等号 a2 b2 2 a b 2 2 a 0 b 0 当且仅当 a b 时取等号 a2 b2 2 a b 2ab 2 1 a 1 b 这两个不等式链用处很大 注意掌握它们 三个注意 1 使用基本不等式求最值 其失误的真正原因是其存在前提 一正 二定 三 相等 的忽视 要利用基本不等式求最值 这三个条件缺一不可 2 在运用基本不等式时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本 不等式中 正 定 等 的条件 3 连续使用公式时取等号的条件很严格 要求同时满足任何一次的字母取值存 在且一致 双基自测 1 人教 A 版教材习题改编 函数 y x x 0 的值域为 1 x A 2 2 B 0 C 2 D 2 2 下列不等式 a2 1 2a 2 x2 1 其中正确的个数 a b ab 1 x2 1 是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 若 a 0 b 0 且 a 2b 2 0 则 ab 的最大值为 A B 1 C 2 D 4 1 2 4 2011 重庆 若函数 f x x x 2 在 x a 处取最小值 则 a 1 x 2 A 1 B 1 C 3 D 4 23 5 已知 t 0 则函数 y 的最小值为 t2 4t 1 t 考向一 利用基本不等式求最值 例 1 1 已知 x 0 y 0 且 2x y 1 则 的最小值为 1 x 1 y 2 当 x 0 时 则 f x 的最大值为 2x x2 1 训练 1 1 已知 x 1 则 f x x 的最小值为 1 x 1 2 已知 0 x 则 y 2x 5x2的最大值为 2 5 3 若 x y 0 且 2x 8y xy 0 则 x y 的最小值为 考向二 利用基本不等式证明不等式 例 2 已知 a 0 b 0 c 0 求证 a b c bc a ca b ab c 训练 2 已知 a 0 b 0 c 0 且 a b c 1 求证 9 1 a 1 b 1 c 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 例 3 2010 山东 若对任意 x 0 a 恒成立 则 a 的取值范围是 x x2 3x 1 训练 3 2011 宿州模拟 已知 x 0 y 0 xy x 2y 若 xy m 2 恒成立 则实数 m 的最大值是 考向三 利用基本不等式解实际问题 例 3 某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房 由于地理 位置的限制 房子侧面的长度 x 不得超过 5 m 房屋正面的造价为 400 元 m2 房屋侧面的造价为 150 元 m2 屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元 如果墙 高为 3 m 且不计房屋背面的费用 当侧面的长度为多少时 总造价最低 训练 3 2011 广东六校第二次联考 东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件 每件水晶产品的销售价格为 100 元 固定成本为 80 元 从今年起 工厂投入 100 万元科技成本 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本 预计 产量每年递增 1 万件 每件水晶产品的固定成本 g n 与科技成本的投入次数 n 的关系是 g n 若水晶产品的销售价格不变 第 n 次投入后的年利润为 80 n 1 f n 万元 1 求出 f n 的表达式 2 求从今年算起第几年利润最高