谈到数学思想方法

谈到数学思想方法 以往人们对它的研究虽然很多 但分类及系统化的工作则比较混乱 让师生无所适从 我 尝试将其分为三个类型来考虑 即某些典型的数学思想 数学思想产生和发展的方法 以及数学家思维活动的 一般方法三种 下面作一简要归纳 以请教于各位同仁 某些典型的数学思想 就一般初等数学而言 常见的比较典型的数学思想有符号化思想 算法化思想 集合思想 对应思想 极限 思想 统计思想 模糊数学思想等 这些数学思想或渗透于具体的数学内容中 或结合具体数学内容直接从概 念上展开 回答 是什么 的问题 对于这些数学思想的实质 以及它们产生 发展的过程则较少涉及 因此不 能在更高的层次上把握它们 运用它们 一旦离开具体的数学内容 便很快被遗忘了 学数学 把握不住根本 的数学思想 学习便不可能进一步深入 符号化思想 符号化是现代数学的基本特征之一 17 世纪以前的数学并不具备这样的特征 在 17 世纪以前 即使在数学 中出现一些符号 那也仅仅是某种 记号 从 17 世纪开始 数学家们着重研究使用怎样的符号才能更科学 合 理 准确地反映数学概念的本质 不仅要简洁 便于印刷 而且要通过反映事物 最隐秘的本质 使数学家们 能以 惊人的方式缩短思维 莱布尼茨 这就说明 符号化思想的实质是在数学活动中熟练地运用符号语言进 行数学思维的结晶 因此 在数学学习中要很好地熟悉这种语言系统的结构和功能 理解每个数学符号的含义 和实质 认真 规范地进行书写和运用 中国古代数学长期未能引入数学符号的运作 是中国古代数学的一大 弱点 也是妨碍中国数学发展的一个重要原因 教师应很好领会符号化思想的意义 加强对符号语言的理解和 训练 这是学生学好数学 培养和提高学生数学思维能力的重要基础和关键 也是提高学生数学文化修养的基 础 算法化思想 数学的重要特点之一是将实际应用问题的计算抽象为一种算法 并指出相应的计算程序 然后运用这种算法 去解决同一类型的各种问题 因此对解决实际问题具有重要的指导意义 我国古代的 九章算术 在 思想方法 上的特点之一是内容的算法化 在它的九章 246 个问题中 基本结构都是先提出问题 给出答案 再给出 术 术 就是算法 也是 九章算术 的主要内容 如割圆术 开方术 盈不足术 方程术 正负术 勾股术等 算法化思想的实质是对从实际中抽象出的数学问题进行算法编程 现代数学中很多计算公式也可以看作是从 一类实际问题中抽象出来的一种算法 利用该公式便可以比较方便地解决该类问题 如果把公式展开为使用某 种计算工具的具体操作步骤 使之成为一个 机械化 的过程 那么该公式就具备了算法化的本质特征 我国古 代的术和筹算的巧妙结合正是这种算法化思想的最本质的体现 因此 算法化思想在计算机时代的发展具有非 常重要的意义 集合思想 集合的现代数学理论 是人类思想的最引人注目的创造之一 由于在其研究中某些大胆的发现 并且由于因 它而引起的某些奇异的证明方法 使集合论具有难以描绘的引人入胜之处 在历史上 集合论的提出曾遇到两个难点 一个是对无限集的认识 再一个是逻辑上的合理性 这两个难点 的解决 充满了数学家们的智慧 集合论思想的实质是在精确地认识无限的基础上 重新认识和解释数学的一种思想 首先 它使我们的许多 数学概念能建立在统一的集合论的基础上 用简洁明了的数学语言表达出来 以揭示事物的本质 其次 它是 数学分类思想的进一步发展 使我们在集合运算的基础上建立起数学的概念系统 第三 它使我们在正常地被 认为无联系的事物之间找到了联系 了解到这些事物的共同性质 第四 它使我们在正常地被当作是同样的事 物之间找到重要的差别 了解到事物在不同条件下的不同的性质 因此 集合论思想具有数学哲学的意义 是 改进与整理经验和价值的一种方法 可惜很多人并不能将数学的这种辩证法运用到他们的日常生活和工作中去 对应思想 数学中的对应是指 人的思维对两个集合间联系的把握 它建立在人的认识能力的基础之上 许多具体的 数学方法都来源于对应思想 初等数学中的对应思想主要体现在三个方面 即数形结合的思想 函数思想和变 换思想 由于对应是人的思维对两个集合间联系的把握 因此 无论两个集合间用怎样的纽带联系在一起 都要靠人 的思维去把握 反过来 很好地掌握对应的思想 运用对应的思想去分析问题和解决问题 对人的数学思维的 训练和发展也一定会起到事半功倍的作用 极限思想 极限思想是有限和无限的辩证统一 是过程和目标的巧妙结合 我们可以通俗地介绍一个大家都能理解的事 实 当一个单位圆的内接正多边形的边数越来越多时 正多边形的面积将越来越接近圆的面积 边数无限增加 时 正多边形面积的极限就是圆的面积 即 2 这里 圆内接正多边形的面积是一个随边数而变的变量 圆面 积 2 是一个常量 我们通过一个无限的过程 用一个变量去逼近一个常量 使变量最终转化为常量 这就是极 限的基本思想 在这里 无限的过程和有限的目标辩证而巧妙地结合了起来 构成一个由有限 每一个正多边 形的面积 组成无限 无穷多个正多边形的面积组成一个无穷数列 又由无限 当正多边形的边数无限增加时 逼近有限 圆的面积 的过程 极限思想是数学从有限进入无限的钥匙 是实现某些无穷步骤的有力工具 它使我们有可能在探索无限的领 域中开辟出一条清晰的思路 从而结束了十九世纪以前数学界关于 无限 的混战 并推动了函数论的发展 统计思想 统计作为一种社会实践活动 已有四五千年的历史 据 尚书 记载 公元前 2000 年之前的贡赋制度和劳役 制度中 数量和分组的概念已初步形成 但统计学作为一种科学 成为一种社会实践活动的经验总结和理论概 括 形成一种利用统计原理和方法来研究各种社会实践活动规律的科学 大约只有 300 多年的历史 统计学以掌握事物总体的数量特征和规律为目标 它所关心的乃是某些规定的总体或集合 而不是构成总体 的各别元素或个体 人们在实践活动中常常遇到两类性质截然不同的现象 一类是必然现象 另一类是随机现象 对于必然现象 条件同结果之间存在着一种必然性联系 它可以由条件预知结果 但对随机现象 由于条件与结果之间不存在 必然性联系 因此难以用通常的数学方法加以定量描述 然而这并不意味着随机现象不存在规律 也不意味着 我们不能从数量上描述和研究随机现象的规律 现代统计学正是研究随机现象总体规律性的一门科学 称为统 计规律性 统计思想的本质就是从偶然中寻求必然 从局部中探索整体 学习统计学有助于提高研究工作的科学水平 有助于学习国内外的先进经验并进行信息交流 有助于培养我 们的科学思维能力和科学的工作态度 统计思想作为人类的一种文化成果 更有助于我们在探索自然和社会发 展规律的过程中 过一种负责任的勇于创新的生活 模糊数学思想 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学 所谓模糊性 主要是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的 亦 此亦彼 的特征 在大量的社会 自然现象中 确实存在着 非此即彼 的现象 一是一 二是二 绝对不能混淆 这也是康托 尔集合的特点 但也有一些对立概念之间没有绝对分明的界限 如高个子与矮个子 优秀与良好等 也就是说 这些概念都没有绝对明确的外延 没有明确外延的概念 叫做模糊概念 模糊概念不能用康托尔集合论来刻划 于是产生了刻划模糊概念的模糊集合论 产生了模糊数学 认识和研究模糊性的重要意义 是科学史上的一件大事 为此 美国著名科学家扎德 L A Zadeh 做出了重 要的贡献 扎德用隶属程度来描述差异的中介过渡 这是一种用精确的数学语言来描述事物的模糊性的创造性 尝试 通过长期的观察研究 扎德认识到精确性与模糊性的对立是当今科学发展所面临的一个十分突出的矛盾 比如计算机的出现 一方面为人类解决了大量复杂的计算 使人脑望尘莫及 另一方面 人脑能很便捷地处理 的模糊信息 如对事物的辨识 用力的平衡等 计算机却又爱莫能助 扎德指出 如果深入研究人类的认识过 程 我们将发现人类能运用模糊概念是一个巨大财富而不是包袱 这一点是理解人类智能和机器智能之间深奥 区别的关键 1963 年 他发表了一篇题为 模糊集合 的论文 标志着模糊数学的诞生 模糊数学的实质是以数学的精确性 研究和处理现象的模糊性 它和概率论同属不确定数学 但概率论的研 究对象是事物的偶然现象 模糊数学的研究对象是事物的模糊现象 它们之间有深刻的联系 又有本质的不同 模糊数学的诞生把传统数学从二值逻辑的基础