立体几何专题一空间角

立体几何专题一 空间角立体几何专题一 空间角 第一节 异面直线所成的角 第一节 异面直线所成的角 2 课时 课时 一 基础知识一 基础知识 1 定义 直线 a b 是异面直线 经过空间一交 o 分别 a a b b 相交直线 a b 所成的 锐角 或直角 叫做 2 范围 2 0 3 方法 平移法 问量法 三线角公式 1 平移法平移法 在图中选一个恰当的点 通常是线段端点或中点 作 a b 的平行线 构造 一个三角形 并解三角形求角 2 向量法 向量法 可适当选取异面直线上的方向向量 利用公式 求出来 ba ba ba coscos 方法 1 利用向量计算 选取一组基向量 分别算出 代入上式ba ab 方法 2 利用向量坐标计算 建系 确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 111 zyxa 222 zyxb 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos zyxzyx zzyyxx 3 三线角公式三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于 斜线和平面内的直线所成角的余弦 即 coscoscos 21 二 例题讲练二 例题讲练 例 1 2007 年全国高考 如图 正四棱柱中 1111 ABCDABC D 则异面直线与所成角的余弦值为 1 2AAAB 1 AB 1 AD 例 2 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB BC AA1 c 求异面直线 D1B 和 AC 所成的角a bab 的余弦值 方法一 过 B 点作 AC 的平行线 补形平移法 方法二 过 AC 的中点作 BD1 平行线 方法三 向量法 例 3 已知四棱锥的底面为直角梯形 PABCD 底面 且 ABDC PADAB 90 ABCD 是的中点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 PAADDC 1AB MPB 证明 面面 PAD PCD 求与所成的角 ACPB 证明 以为坐标原点长为单位长度 如图建立空间AAD 直角坐标系 则各点坐标为 AB 1 B 1 A 1 D 1 C C D O B B1A1 A C1 D C D1 2 1 c b a P O A B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 ABCDPM 证明 因 0 0 1 0 1 0 0 DCAPDCAPDCAP 所以故 由题设知 且与是平面内的两条相交直线 ADDC APADPAD 由此得面 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 又 在面上 故面 面 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 DC PADDCPCDPADPCD 解 因 1 2 0 0 1 1 PBAC 5 10 cos 2 5 2 PBAC PBAC PBAC PBACPBAC与与与 例 4 如图 在四棱锥中 底面为矩形 侧棱底面 PABCD ABCDPA ABCD 为的中点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求直线 与所成角的余弦值 3AB 1BC 2PA EPDACPB 解 建立如图所示的空间直角坐标系 则的坐标为 A B C D P E 0 0 0 A 3 0 0 B 3 1 0 C 0 1 0 D 0 0 2 P 1 0 1 2 E 从而 2 0 3 0 1 3 PBAC 设的夹角为 则PBAC与 14 73 72 3 cos PBAC PBAC 与所成角的余弦值为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ACPB 14 73 1 P219 T12 P234 三基能力强化 T1 1 正方体的 12 条棱和 12 条 面对角线中 互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 60 45 90 2 正方体中 O 是底面 ABCD 的中心 则 OA1和 BD1所成角的大小为 1 AC 3 已知 为异面直线 a 与 b 的公垂线 点 若 a b 间距离为 2 点 P 到 的距离为lap l 2 P 到 b 的距离为 则异面直线 a 与 b 所成的角为 5 4 如图正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AA1 M N 分别是2 A1B1 A1C1的中点 则 AM 与 CN 所成角为 5 如图 PD平面 ABCD 四边形 ABCD 为矩形 AB 2AD 2DP E 为 CD 中点 1 与 BE 所成的角为 AP 2 若直线 PD 且 AF 与 BE 所成角为 F 1 30 行吗 训练题 A C1 A B C M N B D A C P E C A B D P 2 75 时 DP DF 6 空间四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 与各边长均为 1 O 为的重心 M 是 ACBCD 的中点 E 是 AO 的中点 求异面直线 OM 与 BE 所成的角 7 空间四边形 ABCD 中 AB BC CD BCD ABC 120 ABCD M N 分别是中 点 1 AC 和 BD 所成的角为 2 MN 与 BC 所成的角为 8 已知正方体 AC1中 1 E F 分别是 A1D1 A1C1的中点 则 AE 与 CF 所成的角为 2 M N 分别是 AA1 BB1的中点 则 CM 和 D1N 所成的角是 9 如图 三棱锥 P ABC 中 PC平面 ABC PC AC 2 AB BC D 是 PB 上一点 且 CD平面 PAB I 求证 AB平面 PCB II 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大 小 3 解法一 解法一 I PC平面 ABC 平面 ABC AB PCAB CD平面 PAB 平面 PAB AB CDAB 又 CCDPC AB平面 PCB II 过点 A 作 AF BC 且 AF BC 连结 PF CF 则为异面直线 PA 与 BC 所成的角 PAF 由 可得 AB BC CFAF 由三垂线定理 得 PFAF 则 AF CF PF 26 CFPC 22 在中 tan PAF PFARt 2 6 AF PF 3 异面直线 PA 与 BC 所成的角为 3 解法二 解法二 II 由 I AB平面 PCB PC AC 2 又 AB BC 可求得 BC 以 B 2 为原点 如图建立坐标系 则 0 0 0 2 C 0 P 2 22 22 2 AP 0 0 2 BC 则 0 0 2 22BCAP BCAP BCAP BC APcos 222 2 2 1 异面直线 AP 与 BC 所成的角为 3 A B D C O E M M E F O B B1A1 A C1 D C D1 N A B C D P E F 第二节 直线和平面所成的角第二节 直线和平面所成的角 2 课时 课时 一 基础知识一 基础知识 1 定义 斜线和平面所成的角 垂线与平面所成的角 ll与 2 直线与平面所成角范围是 3 斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角 最小值定理 4 求法 求法 几何法几何法 公式法公式法 问量法问量法 1 几何法 作出斜线与射影所成的角 论证所作 或所找 的角就是要滶的角 解三角 形求出此角 2 公式法 coscoscos cos cos cos 21 2 1 21 BOCAOCAOBBAB与与 即 与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值 3 向量法 设直线与平面所成角为 直线的方向向量与面的法向量分别是a a 则的余角或其补角的余角余角或其补角的余角即为与所成的角 nm nm a nm nm nm cossin 二 例题讲解二 例题讲解 例 1 在长方体 AC1中 AB 2 BC CC1 1 求 1 CD 与面 ABC1D1所成的角 2 A1C 与平面 ABC1D1所成的角 3 A1C 与平面 BC1D 所成的角 例 2 四面体 ABCD 中 所有棱长都相等 M 为 AD 的中点 求 CM 与平面 BCD 所成角 的余弦值 例 3 P236 例 2 2007 高考全国卷 1 四棱锥中 底面为平行四边形 侧面底SABCD ABCDSBC 面 已知 ABCD45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明 SABC 求直线与平面所成角的大小 SDSAB 例 4 如图 是互相垂直的异面直线 M N 分别在上 且 MN MN 点 2 1l l 2 1l l 1 l 2 l AB 在上 C 在上 AM MB MN 1 l 2 l 1 证明 AC NB O B B1 C1 A1 A D C D1 L2 L1 A B M C N O A B C n m D B C A S 2 若ABC 60 求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值 3 3 1 三基能力强化 T3 2 P239 T7 利用公式求解 3 P239 T3 2008 年高考全国卷 1 已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 A1在底面 ABC 内的射影为三角形 ABC 的中心 则 AB1与底面 ABC 所成的角的正弦值等于 4 P240 T10 2008 上海高考 如图 在棱长为 2 的正方体中 是的中点 1111 ABCDABC D E 1 BC 求直线与平面所成角的大小 结果用反三角函数值表示 DEABCD 5 过点 P 作平面的两条斜线段 PA 和 PB 则 PA PB 是斜线 PA 和 PB 与平面成等角的 条件 6 如图所示 BOC 在平面内 OA 是的斜线 AOB AOC 60 OA OB OC a BC a 求 OA 和平面所成的角的大小 2 7 如图 已知正方形 ABCD SA现面 ABCD 且 SA AB M N 分别为 SB SD 的中 点 求 SC 和平面 AMN 所成的角 8 给出下列命题 其中正确命题序号是 1 若 PA PB PC 与平面成等角 则迠 P 在平面上的射影 O 是ABC 的外心 2 已知直线上 与平面所成角是 直线 a 是内与 异面的任一直线 则 与平面l 4 ll 所成角范围是 2 4 3 在三棱锥 P ABC 中 若二面角 P AB C P BC A P CA B 大小相等 则点 P 在平面 ABC 上射影 O 是ABC 内心 4 坡度为的斜坡 有一条与坡脚水平线成 30 的小道 若沿小道每前进 100m 高度 就上升 25m 那么此坡坡度为 30 9 2007 湖北高考 如图 在三棱锥中 底面 是VABC VC ABCACBC D 的中点 且 ABACBCa VDC 0 2 I 求证 平面 VAB VCD 训练题 D A B C S N M B A C O A E B1 D1 D C1 A1 B C 第 7 题图 第 6 题图 B V A D C II 试确定的值 使得直线与平面所成的角为 BCVAB 6 当解变化时 求直线与平面所成的角的取值范围 BCVAB 第三节第三节 平面与平面所成的角平面与平面所成的角 一 基础知识一 基础知识 1 定义 定义 二面角二面角 由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角平面角 过棱上同一点分别位于二面角的两个面内 且与棱同时垂直的两条射线所成的 角叫做二面角的平面角 二面角的取值范围是 注注 二面角是空间图形 平面角是平面图形 在书写时不要写成 AOB 为所求二面角 而应写成 AOB 为二面角的平面角 l 2 求法 几何法求法 几何法 向量法向量法 公式法公式法 1 几何法几何法 作出二面角的平面角 再求解 常见的有 作 法图 形 定义法 在棱 CD 上找一点 O 在两个面内分 别作棱的垂线 AO BOAOB 为二面 角的平面角 CD 垂面法 过棱上一点 O 作棱的垂直平面与两 个半平面的交线分别为 AOBOAOB 为的平面角 CD 三垂线法 过 B 内一点 A 作 AB交于 B 作 BOCD 于 O 连结 AO AOB 的平面角或 CD 其补角 2 向量法 向量法 分别求出和的法向量 则二面角的大小为或 nm l nm nm 用此法须知 1 需建空间直角坐标系 定准相应点的坐标 2 通常容易找到一个面的法向量 只需通过二次垂直 求另一个平面的法向量 3 当为锐角时 为锐角 l nm nm 或 为钝角 nm nm 在平面内 在平面内 BDEF 且 BEF 分别求出 则 EFA EFAC BDAC 即为二面角的大小 BDAC EF 3 公式法 公式法 设二面角的大小为令 l lCDlABCDAB 则 dBDnCDmAB cos2 2222 mndnmAC Q O N P E D C B A A M A 注意 与所成的角一定与二面角的平面角大小相等 但不一定是异面直线 BA 和BADC CD 所成角的大小 面积法 设二面角的平面内某一图形 一般取三角形 面积为 S 该图形 l 在平面上射影面积为 二面角的大小为 则 S l cos cos与与与与与与与 S S S S 二 例题讲练二 例题讲练 例例 1 如图 已知棱柱的底面是菱形 且面 1111 DCBAABCD 1 AAABCD 为棱的中点 为线段的中点 60 DAB 1 AAAD F 1 AAM 1 BD 1 求证 面 MF 11B BDD 2 求面与面所成二面角的大小 1 BFDABCD 1 证明 底面是菱形 BDAC 又面 面 BB1 ABCD ACABCD 面 BBAC 1 AC 11B BDD 又面 ACMF MF 11B BDD 2 延长 交于点 FD1DEE 是的中点且是菱形F AA1ABCDABAEDA 又 60 DAB 90 DBE 由三垂线定理可知 为所求角 BEBD 1 BDD1 在菱形中 ABCD 60 DABBDBC3 3tan 1 1 BD DD BDD 60 1 BDD 例例 2 2 如图 直二面角 D AB E 中 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 AE EB F 为 CE 上 的点 且 BF 平面 ACE 1 求证 AE 平面 BCE 2 求二面角 B AC E 的大小 解 1 如图 BF 平面 ACE BF AE 又 二面角 D AB E 为直二面角 且 CB AB CB 平面 ABE CB AE AE 平面 BCEBBFBC 2 连 BD 交 AC 于 G 连 FG 正方形 ABCD 边长为 2 BG AC 2 BG BF 平面 ACE 由三垂线定理逆定理得 FG AC BGF 是二面角 B AC E 的平面角 由 1 AE 平面 BCE AE EB 又 AE EB 在等腰直角三角形 AEB 中 2 BE 又 Rt BCE 中 6 22 BEBCEC 3 32 6 22 EC BEBC BF 在 Rt BFG 中 3 6 sin BG BF BGF 二面角 B AC E 等于 3 6 arcsin AB CD A1B1 C1D1 F M O E 例例 3 如图所示的几何体ABCDE中 DA平面EAB DACB CBABDAEA2 ABEA M是EC的中点 求证 EBDM 求二面角ABDM 的余弦值 解法一 证明 取BE的中点N 连接ANMN 则DACBMN 故DANM 四点共面 DA平面EAB EBDA 又ABEA EBAN 由NANMN EB平面ANMD EBDM 取AC的中点P 连MP 则 EAMP MP平面ABCD过P作BDPQ 连QM 则BDQM MQP 是二面角ABDM 的平面角 设aCB AC与BD的交点为O 记 AOD CAB 则有 22 1115 2 2366 OPACaaa 22123 2 sinsin 45 sincos 22 552 5 aOPPQ 4 2 sin 又aEAMP 2 1 在MPQRt 中 3 1 cos 22tan MQP PQ MP MQP 即二面角ABDM 的余弦值为 3 1 解法二 分别以直线ADABAE 为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA 设aCB 则 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 aDaaCaBaEA 所以 2 a aaM 证 0 22 2 3 aaEBaaaDM 002 2 aaaaEBDM EBDM 即 EBDM 解 设平面MBD的法向量为 zyxn 22 0 aaDB 由DBn DMn 得 0z 2 3 0z 2 3 yx 0z2 y2 yx zy aaaDMn aaDBn 取2z 得平面MBD的一非零法向量为 2 2 1 n 又平面 BDA 的法向量为 0 0 1 1 n 3 1 001221 001 cos 222222 1 nn z y x E D C B A A M A ACCO AD CB AO CO 3 1 2 1 A B C D P 二面角ABDM 的余弦值为 3 1 例例 4 已知四棱锥的底面为直角梯形 底面PABCD ABDC PADAB 90 且 是的中点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ABCD 1 2 PAADDC 1AB MPB 证明 面面 PAD PCD 求面与面所成二面角的大小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 AMCBMC 证明 以为坐标原点长为单位长度 如图建立空间直角坐标系 AAD 则 各点坐标为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 0 0 0 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 ABCDPM 证明 因 0 0 1 0 1 0 0 DCAPDCAPDCAP 所以故 由题设知 且与是平面内的两条相交直线 由此得面ADDC APADPADDC 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 又 在面上 故面 面 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 PADDCPCDPADPCD 解 在上取一点 则存在使MC N x y z R MCNC 2 1 1 1 2 1 0 1 1 1 zyxMCzyxNC 要使 14 00 25 ANMCAN MCxz A只需即解得 0 5 2 1 5 1 5 2 1 5 1 0 5 2 1 5 1 5 4 MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 所求二面角的平面角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 0MCBNMCANMCBNMCAN 与与与ANB 30304 555 2 cos 3 2 arccos 3 ANBNAN BN AN BN AN BN ANBN A A 故所求的二面角为 例例 5 如图 三棱锥 P ABC 中 PC平面 ABC PC AC 2 AB BC D 是 PB 上一点 且 CD平面 PAB I 求证 AB平面 PCB II 求二面角 C PA B 的大小 解法一 解法一 I PC平面 ABC 平面 ABC AB PCAB CD平面 PAB 平面 PAB AB CDAB 又 AB平面 PCB CCDPC II 取 AP 的中点 E 连结 CE DE PC AC 2 CE PA CE 2 CD平面 PAB 由三垂线定理的逆定理 得 DE PA 为二面角 C PA B 的平面角 由 I AB平面 PCB CED 又 AB BC 可求得 BC 在中 PB 2PCBRt 6BCPC 22 A B C D P E F A B C D P x y z 在中 sin CED 3 2 6 22 PB BCPC CD CDERt 3 6 2 3 2 CE CD 二面角 C PA B 的大小为 arcsin 3 6 解法二 I 同解法一 II 设平面 PAB 的法向量为 m x y z 0 2 0 AB 22 2 AP 则 即 0 mAP 0mAB 0 2zy2x2 0y2 解得 令 1 得 m 0 1 z2x 0y z2 设平面 PAC 的法向量为 n z y x 0 2 0 PC 02 2 AC 则 即解得 令 1 得 n 0 nAC 0nPC 0 y2x2 02z yx 0z x 1 1 0 二面角 C PA B 的大小为 nm nm n mcos 3 3 23 2 arccos 3 3 1 如图 三棱锥 A BCD 中 AC AB BD DA 2 BC CD 则二面角 A BD C 大小为 3 二面角 B AC D 大小为 12 26 arccos 39 7 arccos 2 已知 所成角为 与所成角为 2 a与与la与与与 900 1 大小为 3则恒成立的是 l A B 312 coscoscos 312 sinsinsin C D 213 sinsinsin 213 coscoscos 3 如图 四边形 BCEF AFED 都是矩形 且平面 AFED平面 BCEF 则下列结论中正确的是 BACABFACF A coscoscos 训练题 A B C D E a B a O P N M C E A D F B B cossinsin C coscoscos D cossinsin 3 如图 四棱锥 P ABCD 中所有的棱长都相等 求 二面角 C PD B 大小 设 M N 分别为 AD PC 中点 试求 MN 与底面 AC 及平面 BDP 所成的角 平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小 4 如图 四边形 ABCD 为直角梯形 AD BC BAD 90 PA底面 ABCD 且 PA AD AB 2BC M N 分别为 PC PB 的中点 求证 PBDM 求 BD 与平面 ADMN 所成角的大小 求二面角 A PB C 5 如图所示多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截而得到的 其中 AB 4 BC 2 C C1 3 BE 1 补形成正方体 求 BF 求二面角 A EF B 6 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E 在棱 CC1 上 求证 AEBD 当 A1E 与面 BED 所成角为多大时 面 A1BD面 EBD 在 2 的结论下 求此时二面角 A A1D E 的大小 8 如图 在棱长 AB AD 2 AA1 3 的长方体 AC1中点 E 是平面 BCC1B1上动点 点 F 是 CD 的中点 试确定 E 的位置 使 D1E平面 AB1F 求二面角 B1 AF B 的大小 C D A B P B A D P C N M B DC A C1 E F C C1 D1 B1 B A D A1 B B1 C1 A1 A D C D1 E F 9 如图 在四棱锥中 底面是正方形 侧面是正三角形 VABCD ABCDVAD 平面底面 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 VAD ABCD 证明 平面 AB VAD 求面与面所成的二面角的大小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 VADDB 证明 以为坐标原点 建立如图所示的坐标图系 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 证明 不防设作 则 1 0 0 A 1 1 0 B 2 3 0 2 1 V 由得 又 2 3 0 2 1 0 1 0 VAAB 0 VAABABVA ABAD 因而与平面内两条相交直线 都垂直 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 平面 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ABVADVAADAB VAD 解 设为中点 EDV 则 4 3 0 4 1 E 2 3 0 2 1 4 3 1 4 3 4 3 0 4 3 DVEBEA 由因此 是所求二面角的平面角 0DVEADVEBDVEB 又得AEB 解得所求二面角的大小为 7 21 cos EBEA EBEA EBEA 7 21 arccos 10 2008 年高考天津卷 如图 在四棱锥中 底面是矩形 已知PABCD ABCD 3AB 2AD 2PA 2 2PD 60PAB 证明平面 AD PAB 求异面直线与所成的角的大小 PCAD 求二面角的大小 PBDA 1