2012高考数学最后冲刺 空间直线与平面VIP

用心 爱心 专心 1 最后冲刺最后冲刺 高考预测高考预测 1 空间直线与平面的位置关系 2 空间角 3 空间距离 4 简单几何体 5 利用三垂线定理作二面角的平面角 6 求点到面的距离 7 折叠问题 易错点易错点 1 1 空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系 1 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 侧棱 PD 底面 ABCD PD DC E 是 PC 的中点 作 EF PB 于点 F 1 证明 PA 平面 EDB 2 证明 BP 平面 EFD 3 求二面角 C PD D 的大小 错误解答 第 2 问证明 PD DC E 为 PC 的中点 DE PC DF 在平面 PBC 上的射影为 EF 又由已知 EF PB 所以根据三垂线 定理可得 DF PB 又 EF PB PB 平面 EFD 错解分析 直线在平面上的射影的概念理解错误 只有 DE PC 不能得 出 EF 为 DF 在面 PBC 上的射影 应先证明 DE 平面 PBC 才能得出 EF 为 DF 在面 PBC 上的射影 再利用三垂线定理 正确解答 1 如图 连接 AC AC 交 BD 于 O 连接 EO 底面 ABCD 为 正方形 O 为 AC 的中点 在 PAC 中 EO 是中位线 PA EO 又 EO 平面 EDB 且 PA 平面 EDB 所以 PA 平面 EDB 2 PD 平面 ABCD 平面 PDC 平面 ABCD 又底面 ABCD 为正方形 BC CD BC 平面 PCD BC DE 又 DE PC DE 平面 PBC DF 在平面 PBC 上的 射影为 EF 又 EF PB DF PB 又 PB EF PB 平面 DEF 3 由 2 知 PB DF 故 EFD 是二面角 C PB D 的平面角 由 2 知 DE EF PD DB 设正方形 ABCD 的边长为 a 则 PD DC a BD 2a PB 3a PC 2a DE 2 1 PC a 2 2 在 Rt PDBk OF a PB BDPD 3 6 在 Rt EFD 中 sin EFD 2 3 DF DE EFD 3 所以二面角 C PB D 的大小 为 3 用心 爱心 专心 2 2 下列五个正方体图形中 l 是正方体的一条对角线 点 M N P 分别为其所在棱的中 点 能得出 l 面 MNP 的图形的序号是 写出所有符合要求的 图形序号 错误解答 由于 l 在 MN NP MP 所在的面内的射影分别为各面正 方形的对角线 由正方形的性质可得 l MN l MP l NP 1 中 l 面 MNP 2 中 l 在下底面的射影与 MP 垂直 l MP l 面 MNP 3 中取 AB 的中点 E 连接 ME NE l 在下底面的射影垂直于 EN l EN l 面 MEN l MN 同理 l MP l 面 MNP 4 中 l 在面 ADD1A1上的射影与 MP 垂直 l MP l 面 MNP 5 中取 AA1 中点 E 连接 ME EP l 在面 ADD1A1 面 ABB1A1内的射影分别与 ME EP 垂直 l ME l 面 MP 得 l 面 MPN 综合知 本题的答案是 1 2 3 4 5 错解分析 直线与平面垂直的判定有误 证一条直线与一个面垂直 应该证明这条直 线与该平面内的两条相交直线垂直 而错解中只证一条垂直 所以出错 正确解答 1 中 l 在面 ADD1A A1B1C1D1 内的射影分别为 AD1 B1D1 而 AD1 MN B1D1 MP l MN l MP l 面 MNP 2 中若 l MN 则取 AA1的中点 E 连接 ME NE l 在面 ADD1A1内的射影为 AD1而 AD1 ME l ME 结合 l MN 得 l 面 MEN l NE 这显然不可能 l 与 MN 不可能垂直 l 与面 MNP 不垂直 3 类似 2 的证明 可得 l 与面 MNP 不垂直 4 中 l MP 易证 而 MN AC l AC l MN l 面 MNP 5 中取 AA1 中点 E 连接 ME PE 可证得 l 面 MEP l MP 同理可证 l NP l 面 MNP 综上知 本题的正答案是 1 4 5 3 2012 精选模拟 如图 10 4 所示 在正三棱锥 A BCD 中 BAC 30 AB a 平行 于 AD BC 的截面 EFGH 分别交 AB BD DC CA 于 E F G H 1 判定四边形 EFGH 的形状 并说明理由 2 设 P 是棱 AD 上的点 当 AP 为何值时 平面 PBC 平面 EFGH 请给出证明 用心 爱心 专心 3 错误解答 1 AD 平面 EFGH 又平面 ACD 平面 EFGH HG AD HG 同理 AD EF EF HG 同理 EH FG 四边形 EFGH 为平行四边形 2 取 AD 中点 P 连接 BP CP ABCD 为正棱锥 所以 BP AD CP AD AD 面 BCP 又由 1 知 HG AD HG 面 BCP P 为所求 此时 AP 2 a 特别提醒特别提醒 解线面位置关系的题目 首先要熟悉各种位置关系的判定方法及性质 其次解题时应将 判定与性质结合起来 多用分析法 如要证 a 则过 a 作一平面 使 b 再证 a b 第三要善于转化 如两条羿面直线是否垂直 要用三垂线定理将其转化为两相交直线 是否垂直 线面的位置关系是立体几何的基础 学习时应予以重视 变式训练变式训练 1 如图 10 5 所示的四个正方体图形中 A B 为正方体的四个项点 M N P 分别为其所在棱的中点 能得出 AB 平面 MNP 的图形的序号是 写出所有符合要求的图形序号 答案 解析 中平面 MNP 平面 AB AB 平面 MNP 中取下底面中心 O MP 的中点 C 连接 NO NC 则由已知 AB NO AB NC AB 面 MNP 中 AB MP AB 平面 MNP 中 AB 面 MNP 填 2 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AA1 E 是棱 BB1的中点 1 求证 平面 A1EC 平面 AA1C1C 答案 连接 A1C 与 AC1交于点 F 则由条件可得 EC1 EA1 则 EF AC1 同理 EC1 EA 则 EF A1C 所以 EF 上平面 AA1C1C 而 EF 平面 A1EC 所以平面 A1EC 平面 AA1C1C 2 若把平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成锐二面角为 60 时的正三 棱柱称为 黄金棱柱 请判断此三棱柱是否为 黄金棱柱 并说明 用心 爱心 专心 4 理由 答案 延长 CE 交 C1B1的延长线于点 H 则有 C1B1 B1H A1R1 故 HA1C1 90 且 CA1H 90 所以 CA1C 为平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成的锐二面角的平面角 若此棱柱为 黄金棱柱 则 CA1 60 应有 CC1 11 3CA 与条件 AB AA1矛盾 此三棱柱不为 黄 金棱柱 3 设 AB a 求三棱锥 A A1EC 的体积 答案 VA1 A1EC VE AA1C 3 1 EF 2 1 AA1 AC 3 已知正三棱锥 P ABC 的三条侧棱两两互相垂直 G 是侧面 PAB 的重心 E 是 BC 上的一点 且 BE 3 1 BC F 是 PB 上一点 且 PF 3 1 PB 如图 1 求证 GF 平面 PBC 答案 连接 BG 并延长交 AP 于 M 由 C 为 APAB 的重心 则 MG 3 1 BM 又由 PF GF MP AP BP AP CP AP 平面 PBC GF 平面 PBC 2 求证 EF BC 答案 在侧面 PBC 内作 FD PC 交 BC 于 D PF 3 1 PB DC 3 1 BC 又 BE 3 1 BC DE 3 1 BC 故 BE DE E 为 BD 的中点 由 PBC 为等腰三角形 得 FBD 也为等腰三角形 FB FD EF BC 3 求证 GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线 答案 GF 平面 PBC 且 EF BC GE BC 连 PG 交 AB 于 H 则 GH 3 1 PH 过 C 作 GN AB 交 PB 于 N 则 BN 3 1 PB PH AB PG AB PG GN BN 3 1 PB BE 3 1 BC NE PC 而 PC 上平面 PAB NE 平面 PAB 又 PG 面 PAB NE PG 又 PG GN PG 平面 GEN 而 GEC 平面 GEN PG GE 又由 GE BC GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线 用心 爱心 专心 5 易错点易错点 2 2 空间角空间角 1 2012 精选模拟 如图 10 8 在三棱锥 S ABC 中 ABC 是边长为 4 的正三角形 平面 SAC 平面 ABC SA SC 2 3 M N 分别为 AB SB 的中点 1 证明 AC SB 2 求二面角 N CM B 的大小 3 求点 B 到平面 CMN 的距离 错误解答 第 2 问 过 N 作 NF CM 过 F 作 FE CM 交 BC 于 E 点 则 NFE 为二 面角 N CM B 的平面角 此题只做到此处 因为不知 E F 的位置 NFE 等于多少计算不 出来 错解分析 求二面角的大小时 只顾用定义作出二面角的平面角 给计算千百万麻烦 或根本就算不出来 所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角 就是便于计算 SD AC SD 面 ABCD 又 N E 分别为 SB BD 的中点 NE SD NE 面 ABC 又 EF CM NF CM NFE 为二面角 N CM B 的平面角 NE 2 1 SD 2 在正 ABC 中 由平面几何知识可求得 EF 4 1 MB 2 1 在 Rt NEF 中 tan NEF 22 EF EN 二面角 N CM B 的大小是 arctan2 2 3 在 Rt NEF 中 NF 2 3 22 ENEF S CMN 2 1 CM NF 3 2 3 S CMB 2 1 BM CM 2 3 设点 B 到平面 CMN 的距离为 h VB CMN VN CMB NE 平面 CMB 3 1 S CMN h 3 1 S CMB NE h 3 24 即点 B 到平面 CMN 的距离为 3 24 2 2012 精选模拟 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB 4 AD 3 AA1 2 E F 分别 用心 爱心 专心 6 是线段 AB BC 上的点 且 EB FB 1 1 求二面角 C DE C1的正切值 2 求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值 错误解答 第 2 问 D1F DE C1ED 为 EC1与 FD1所成的角 DE 3 2 C1D 25 C1E 14 cos C1EE 14 28 23142 201814 EC1与 FD1所成角的余弦 值为14 28 2 延长 BA 至点 E1 使 AE1 1 连接 DE1有 D1C1 E1E D1C1 E1E 四边形 D1E1EC1是 平行四边形 E1D1 EC1 于是 E1D1F 为 EC1与 FD1所成的角 在 Rt BE1F 中 E1F 26 在 Rt D1DE1中 D1E1 14 在 Rt D1DF 中 FD1 24 所 以在 E1FD1中 由余弦定理得 cos E1D1F 14 21 24142 262414 正解二 1 以 A 为原点 1 AAADAB 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正向建立空间直角坐标 系 则有 D 0 3 0 D1 0 3 2 E 3 0 0 F 4 1 0 C1 4 3 2 于是 DE 3 3 0 1 EC 1 3 2 1 FD 4 2 2 设向量n x y z 为平面 C1DEA 的法向量 则有 EGnDEn 得 x y z 2 1 令 x 1 得n 1 1 2 向量 1 AA 0 0 2 与平面 CDE 垂直 所与 1 AAn 成的角 为二面角 C DE C1的平面角 2 2 tan 3 6 cos 1 AAn AAn 用心 爱心 专心 7 2 设 EC1 与 FD1 所成的角为 则 cos 14 21 11 11 FDEC FDEC 3 2012 精选模拟题 如图 10 11 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PA 底面 ABCD AE PD EF CD AM EF 1 证明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线 2 若 PA 3AB 求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值 错误解答 第 2 问 由 1 知 PC MF AF 为 AC 在面 EAM 内的射影 CAF 为 AC 与平面 EAM 所成的角 通 过解三角形 FAC 解得 sin CAF 10 10 AC 与平面 EAM 所成的 角的正弦值为10 10 错解分析 直线 AC 与平面 EAM 所成的角不是就得不出 AF 为 AC 在面 EAM 内的射影 直线与平面所成的角必须是斜线与斜线在平面内的射影所夹的角 所以找射影是关键 正确解答 1 PA 平面 ABCD PA CD 又 底面 ABCD 为正方形 CD AD CD 平面 PAD 得平面 PCD 平面 PAD 又 AE 平面 PAD AE PD AE 平面 PCD AE CD 又 EF CD AB AM EF 四边形 AMFE 为平形四边形 MF AE MF CD MF AB MF PC MF 为异面直线 AB 与 PC 的公垂线 2 解法一 连接 BD 交 AC 于 O 连接 BE 过 O 作 OH BE H 为垂足 AE PD CD PD EF CD EF PD PD 平面 MAE 又 OH BE OH DE OH 平面 MAE 连接 AH 则 HAO 是直线 AC 与平面 MAE 所成的角 设 AB a 则 PA 3a AO 2 1 AC a 2 2 因 Rt ADE Rt PDA 故 ED 102 2 1 10 2 a EDOH a PD AD 从而 Rt AHO 中 sin HAO 10 5 AO OH 解法二 以AB AD AP分别为 x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 E 0 aa 10 3 10 9 naABaaAF设 0 0 10 3 10 9 0 为平面 EAM 的法向量 且n x y z 可得面 EAM 的 一个法向量为 0 1 3 AC a a 0 sin 10 5 特别提醒特别提醒 用心 爱心 专心 8 空间的各种角是对点 直线 平面所组成的穿间图形的位置关系进行定性分析和宣量计 算的重要组成部分 空间角的度量都是转化为平 面角来实现的 要熟练掌握种类角转化为平面角的常用方法 为了实现这种转化 一是 靠经验和知识的积累 二是利禄识图和画图的训 练 三要以推理为主要依据 求角的一般步骤是 1 找出或作出要求的角 2 证 明它符合定义 3 在某一三角形中进行计算 得 结果 当然在解选择或填空题时 一些间接方法也经常 用 变式训练变式训练 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB 1 BC a 现沿 AC 折成二 面角 D AC B 使 BD 为异面直线 AD BC 的公垂线 1 求证 平面 ABD 平面 ABC 答案 解 1 AD CD AD BD AD 平面 BCD BC AD 又 BC 上 BD BC 平面 ABD 而 BC 平面 ABC 故面 ABD 面 ABC 2 a 为何值时 二面角 D AC B 为 45 又在 Rt BND 中 cos DBN BD BN 5 15 11 1 2 1 22 2 a aa a 解得 2 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 BB1 DD1上的点 且 AE A1B AF A1D 用心 爱心 专心 9 1 求证 A1C 平面 AEF 答案 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 A1B 为 A1C 在平面 A1B1BA 内的射影 AE 上 A1B AE A1C 同理 AF A1C A1C 平面 AEF 2 若 AB 3 AD 4 AA1 5 M 是 B1C1的中点 求 AM 与平面 AEF 所成角的大小 答案 以 D 为坐标原点 1 DDDCDA 分别为 x y z 轴的正方向建立空间坐标系 则 A 4 0 0 M 2 3 5 A1 4 0 5 C 0 3 0 5 3 4 1 5 3 2 5 3 4 11 CAAMCA得由 为平面 AEF 的 个法向量 95 194 532534 2598 sin 222222 1 1 CAAM CAAM 直线 AM 与平面 AEF 的所成的角为 arcsin 95 194 3 已知四棱锥 P ABCD 底面是边长为 2 的正方形 侧棱 PA 底面 ABCD M N 分别 为 AD BC 的中点 MQ PD 于 Q 直线 PC 与平面 PBA 所成角的正弦值为3 3 如图所示 1 求证 平面 PMN 平面 PAD 用心 爱心 专心 10 10 10 5 2 2 cos 2 2 5 PMQ QMPM 二面角 P MN Q 的余弦值为 10 10 易错点易错点 3 3 空间距离空间距离 1 2012 精选模拟 在空间中 与一个 ABC 三边所在直线距离都相等的点的集合是 A 一条直线 B 两条直线 C 三条直线 D 四条直线 错误解答 设该点为 P 且 P 在平面 ABC 上的射影为 O 因为 P 到 ABC 三边所在直线 距离都相等 所以 O 到 ABC 的三边直线的距离都相等 即 O 为 ABC 的内心 所以本题中符合条件的点在过 0 且与平面 ABC 垂直的 直线上 所以选 A 错解分析 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点 不只内心一个 实际任意两个角的外角平分线的交点 我们称其为 傍心 也符合到三角形三边所在直线等距离 正确解答 设该点为 P 且 P 在平面 ABC 上的射影为 O 因 为 P 到 ABC 三边所在直线距离都相等 所以 O 到 ABC 的三边所在 直线的距离都相等 即 O 为 ABC 的内心或傍心 所以本题中符合题意的点在过内心或傍心 且与平面 ABC 垂直的直线上 这样的直线有 4 条 所以选 D 2 2012 精选模拟 如图 10 15 在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 O 是正方 形 A1B1C1D1的中心 点 P 在棱 CC1上 且 CC1 4CP 用心 爱心 专心 11 1 求直线 AP 与平面 BCC1B1所成角的大小 结果用反三角表示 2 设 O 点在平面 D1AP 上的射影为 H 求证 D1H AP 3 求点 P 到平面 ABD1的距离 错误解答 第 3 问 ABCD A1B1C1D1为正方体 AB 面 BCC1B1 BP AB BP 即为 P 到平面 ABD1的距离 在 Rt BCP 中 BP 17 错解分析 线面垂直的判定有误 错解中 BP AB 但 BP 与平面 ABD1不垂直 所以 P 到平面 ABD1的距离不是 BP 正解一 1 如图 10 16 连接 BP AB 平面 BCC1B1 AP 与平面 BCC1B1所成的角 就是 APB CC1 4CP CC1 4 CP 1 在 Rt APB 中 PCB 为直角 BC 4 CP 1 故 BP 17 在 Rt APB 中 APB 为直角 tan APB 17 174 BP AB APB arctan 17 174 面内的射影是 D1H D1H AP 3 由正方体的性质不难得出 CB1 为平面 ABD1的一个法向量 B1 4 4 4 C 0 4 0 P 0 4 1 CB1 4 0 4 BP 4 0 1 用心 爱心 专心 12 2 2 3 2 2 3 24 12 1 1 1 的距离为到平面ABDP CB BPCB d 3 2012 精选模拟 如图 10 17 在三棱锥 V ABC 中 底面 ABC 是以 B 为直角的等 腰直角三角形 又 V 在底面 ABC 上的射影在线段 AC 上且靠近 C 点 且 AC 4 VA 14 VB 与 底面 ABC 成 45 角 1 求 V 到底面 ABC 的距离 2 求二面角 V AB C 的大小 错误解答 1 过 V 作 VD AC 垂足为 D 连接 BD 由已 知有 VD 平面 ABC 在直角三角形 VBD 中 VBD 为直线 VB 与底 面 ABC 所成的角 VBD 45 BD 2 4 2222 V 到底面 ABC 的 距离等于 2 错解分析 BD 与 AC 垂直是错误的 BD 4 2222 错误的原因是缺少函数方程思想 VD 直接计算在本题中做不到 而应设未知数 建立方程来求解 特别提醒特别提醒 空间中的距离以点到面的距离为中心内容 大多数距离问题都可以转化为点到面的距离 求法比较灵活 主要有 1 直接法 过该点作面的垂线 求出垂线段的长度 不过不能 只顾作 计算不出来 应先利用线面的位置关系判断垂足的位置 2 间接解法 利用三 棱锥的体积进行等积变换来求解 3 利用空间向量求解 公式是 n na d 其中 n 为平面的法向量 a 为过该点的平面 用心 爱心 专心 13 的一条斜线段所确定的一个向量 变式训练变式训练 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各条棱长都为 a P 为 A1B 上的点 1 试确定PB PA1 的值 使得 PC AB 答案 过 P 作 PM AB 于 M 连结 CM ABC A1B1C1为正三棱柱 PM 平面 ABC PC 在下底面上的射影为 CM PC AB CM AB 又 ABC 为等边三角形 M 为 AB 中点 即 P 为 A1B 的中点 1 1 ABPC PB PA 时 2 若 3 2 1 PB PA 求二面角 P AC B 的大小 答案 过 P 作 PM AB 于 N 过 N 作 NQ AC 于 Q 连结 PQ 根据三 垂线定理得 PQN 为二面角 P AC B 的平角 PN aNQa 2 3 5 2 5 3 在 Rt PQN 中 tan PQN 60 60 3 32 10 5 3 的大小为 即二面角BACPPQN a a 3 在 2 的条件下 求 C1到平面 PAC 的距离 答案 2 2 2 1 5 3 3 1 3 1 1 2 1 1 a PACC a haaVShVc ACCPPACPAC 的距离为到平面解得 2 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 9 AB AC 6 3 N 为 BC 中点 M 为 A1B 的中点 P 为 C1D1的中点 如图 1 求点 P 到平面 B1MN 的距离 答案 如图 平面 B1MN 截长方体所得的截面为 A1B1NR C1D1 A1B1 C1D1 平面 A1B1NR P 到平面 B1MN 的距离等于 C1 到平面 B1MN 的距离 作 C1G B1N 于 G ABCD A1B1C1D1为长方体 C1G 平面 B1MN 在距形 BCC1B1中 BB1 AA1 9 B1C1 BC 6 3 B1N 63 BB1N 30 C1B1G 60 C1G 6 9 2 3 3 P 到平面 B1MN 的距离为 9 2 求 PC 与平面 B1MN 所成的角 答案 PC MB PC 与平面 B1MN 所成的角等于 MB 与平 面 B1MN 所成的角 过 B 作 BH B1N 于 H 作 BH 平面 B1MN BMH 为 MB 与平面 B1MN 所成的角 BH 用心 爱心 专心 14 4 3 sin 4 3 sin 36 2 9 1 arcMNBPCBMHMB所成的角为与平面 3 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的侧面 A1ACC1与底面 ABC 垂直 ABC 90 BC 2 AC 2 3 且 AA1 A1C AA1 A1C 如图所示 1 求侧棱 AA1与底面 ABC 所成二面角的大小 答案 取 AC 中点 D 连 A1D AA1 AC A1D AC 又侧面 A1ACC1 平面 ABC A1D 平 面 ABC A1AD 为 AA1与平面 ABC 所成的角 由已知 A1AD 45 2 求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小 答案 作 DE AB 由三垂线定理 AB A1E A1ED 为侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面 角的平面角 又 BC AB DE BC DE 3 1 2 1 1 DABC tan A1ED 3 A1ED 60 侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角为 60 3 求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离 答案 D 到平面 A1ABB1的距离是 C 到该平面距离的一半 由 2 知平面 A1ED 平面 A1ABB1 作 DF A1E 则 DF 平面 A1ABB1 又 DF 2 3 C 到平面 A1ABB1的距离为 3 易错点易错点 4 4 简单几何体简单几何体 1 2012 精选模拟 如图 10 22 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 3 AA1 4 M 为 AA1的中点 P 是 BC 上一点 且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路 线长为 29 设这条最短路线与 CC1的交点为 N 求 1 该三棱柱侧面展开图的对角线长 2 PC 与 NC 的长 3 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角 锐角 的大小 用反三角函数表示 错误解答 第 2 问 过 M 作 MN CC1于 N 则由已知有 MN NP 3 NP 29 NP 29 3 此时 N 为 CC1的中点 NC 2 PC 29636 22 NCNP 错解分析 依题意是 MN NP 的最小值为 29 而错解中认为 MN 最 小 则 MN NP 就最小 这是错误的 正确解答 1 正三棱柱 ABC A1B1C1的侧面展开图是一个长为 9 宽为 4 的矩形 其对角线长为 9749 22 2 如图 10 23 将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1旋转 120 使其与侧面 用心 爱心 专心 15 AA1C1C 在同一平面上 点 P 运动到 P1的位置 连接 MP1 则 MP1就是由点 P 沿棱柱侧面经过 棱 CC1到点 M 的最短路线 设 PC x 则 P1C x 在 Rt MAP1中 由勾股定理得 3 x 2 22 29 求得 x 2 PC P1C 2 5 4 5 2 1 1 NC AP CP MA NC 3 解法一 连接 PP1 则 PP1就是 MNP 与平面 ABC 的交线 作 NH PP1于 H 又 CC1 平面 ABC 连接 CH 由三垂线定理得 CH PP1 NHC 就是平面 MNP 与平面 ABC 所成二面 角的平面角 锐角 在 Rt PHC 中 PCH 2 1 PCP1 60 CH 1 2 PC 在 Rt NCH 中 tan NHC 5 4 CH NC NHC arctan5 4 平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角 锐角 的大小为 arctan5 4 解法 2 MPN 在 ABC 上的射影为 APC 设所求的角为 则 cos 41 415 MNP S APCS 故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角 锐角 的大小为 arccos 41 415 2 2012 精选模拟题 如图 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 为平 行四边形 其中 AB 2 BD BC 1 AA1 2 E 为 DC 中点 点 F 在 DD1上 且 DF 4 1 1 求异面直线 BD 与 A1D1的距离 2 EF 与 BC1是否垂直 请说明理由 3 求二面角 E FB D 的正切值 错误解答 第 2 问 ABCD A1B1C1D1为直四棱柱 EF 在面 BCC1B1上的射影为 CC1 而 BC1与 BC1不垂直 EF 与 BC1不垂直 错解分析 把直四棱柱看成长方体了 实际上 长方体是底面为长方形的直四棱柱 本题中的底面 ABCD 为平行四边形 所以 ABCD A1B1C1D1不是长方体 也就是说 EF 在面 BCC1B1上的射影不是 CC1 用心 爱心 专心 16 3 如图 10 24 过 E 作 EO BD 过 O 作 OM BF 于 M 连接 EM 易证得 EO 平面 BDF EMO 为二在角 E FB D 的平面角 DBC 90 EO BD EO BC 又 E 为 CD 中点 EO 2 1 2 1 BC 在 BDF 中 BOM BFD OM 172 1 在 Rt EOM 中 tan EMO OM EO 17 EMO arctan 17 二面角 E FB D 的大小为 arctan 17 同正解一 由已知可得 ADB 90 DD1 平面 ABCD 以DA DB 1 DD 分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向 建立空间坐标系 F 0 0 4 1 E 0 2 1 2 1 A 1 0 0 D1 0 0 2 EF 4 1 2 1 2 1 1 AD 1 0 2 02 4 1 2 1 0 1 2 1 11 ADEFADEF 又 BC1 AD1 EF AD1 可以得平面 BDF 的一个法向量为 ADAD 而 1 0 0 B 0 1 0 4 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 EFBE 设平面 BEF 的一个法向量为 n x y z 由 n 0 4 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 zyxyxEFnBE得 令 x 1 得 y 1 z 4 平面 BEF 的一个法向量为 n 1 1 4 cos 6 2 ADn ADn 所求二面角 E FB D 的大小为 arccos 6 2 特别提醒特别提醒 棱柱 棱锥 球是几何中的重要载体 学习中除了牢固掌握有关概念 性 质 面积体积公式之外 还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年 判断与论证 进而达到计算的目的 在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何 的知识来进行计算 这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧 变式训练变式训练 1 如图 正四面体 ABCD 的棱长为 1 P Q 分别为 AB CD 上两点 且 AP CQ 求 用心 爱心 专心 17 当经过棱 AD 时 如图 2 沿 AC 展开 此时 PQ 1 又 1124 2 1 1124 2 1 22 时当时 PQ 的最小值为 2 1 1 2 1 124 2 2 如图 已知斜三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC D 为 AB 的中点 平面 A1B1C1平面 ABB1A1 异面直线 BC1与 AB1互相垂直 1 求证 AB1 平面 A1CD 答案 取 A1B1 中点 D1 连结 BD1 C1D1 可证明 C1D1 平面 ABB1A1 从而 C1D1 AB1 又 由垂线定理可得 AB1 BD1 CD C1D1 CD AB1 A1C BD1 A1C AB1 AB1 平面 A1CD 2 若 CC1与平面 ABB1A1的距离为 1 A1C 37 AB1 5 求三棱锥 A1 ACD 的体积 答案 由 1 知 C1D1 平面 ABB1A1 CD 平面 ABB0A1 CC1平面 ABB1A1 CC1到平面 ABB1A1的距离为 CD 即为 C A1AD 的高 CD 1 在 Rt A1CD 中 A1C 37 A1D 6137 设 AB1 交 A1D D1B 于点 E F A1D D1B AD DB AE EF 同理 EF FB1 AE 3 5 3 1 111 DAABAB 又 3 5 15 3 1 5 2 1 1 1 1 1 ADAVACDV AEDAS CA ADA 3 如图所示 正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为 2 底面 边长为 1 M 是 BC 的中点 在直线 CC1上找一点 N 使 MN AB1 用心 爱心 专心 18 答案 解析 ABC A1B1C1为正三棱柱 M 为 BC 中点 AM BC 又侧面 BCC1B1 底面 ABC AM 平面 BCC1B1 AB1在平面 BCC1B1上的射影为 B1M 要 MN AB1 只须 MN B1M 即 可 如图所示 建立直角坐标系 M 16 1 8 1 0 2 1 2 2 1 1 2 0 0 2 1 1111 的一个等分点处在得有则由设CCNCCCNyyMNMByNB 知识导学知识导学 难点难点 1 1 利用三垂线定理作二面角的平面角利用三垂线定理作二面角的平面角 1 如图 10 28 正三棱术 ABC A1B1C1的所有棱长均相等 D 是 BC 上一点 AD C1D 1 求二面角 C AC1 D 的大小 2 若 AB 2 求直线 A1B 与截面 ADC1的距离 解析 求二面角的大小 一般先利用三垂线定理作出二面角 的平面角 再通过解三角形得出结果 二面角有两个半平面 先要分 析过哪个半平面内有一点能方便地作出另外一个半平面的垂线 一般 利用 有两个面垂直 在一个面内作交线的垂线 则这条线垂直另外 一个面 这个性质来作 本题中可以先证平面 ADC1 平面 BCC1B1 再 过 C 作 C1D 的垂线 则这条线与平面 ADC1垂直 再利用三垂线定理作 出平面角 第 2 问可求 B 到平面 ADC1的距离 答案 1 如图 10 29 ABC A1B1C1为正三棱柱 CC1 AD 又 AD C1D AD 平 面 B1BCC1 平面 ADC1 平面 BCC1B1 过 C 作 CE C1D 于 E 则 CE 平面 ADC1 过 E 作 EF AC1 连接 FC 则由三垂线定理知 CFE 为二 面角 C AC1 D 的平面角 设 AB a D 是 BC 的中点 CE 2 2 5 5 1 1 1 1 a AC CCAC CFa DC CDCC 在 Rt EFC 中 sin EFC 5 10 二面角 C AC1 D 的大小为 arcsin 5 10 连接 A1C 设 A1C AC1 O 连接 DO 则 A1B DO A1B 平面 ADC1 A1B 到截面 ADC1 的距离等于 B 到 ADC1的距离 过 B 作 BH C1D 交 C1D 的延长线于 H 由 1 平面 用心 爱心 专心 19 解题思路 用这种解题思路证 1 2 问 第 3 问先作 或找 出这个二面角的平面 角 再通过解方程的方法求出 的值 答案 1 如图 10 30 ABCD 为矩形 M R 分别为 AB CD 的中点 AM CR 四边形 ARCM 为平行四边形 AR CM AR 平面 PMC 2 由已知可得 AB MR AB 平面 PAD AB PD 又 RN 为 PCD 的中位线 NR PD 得 AB 平面 MNR AB MN 3 PA 平面 ABCD AD DC PDA 为平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角 锐角 的平面角 PDA 由 2 知 MN AB AB CD MN CD 又 MN PC MN 平面 PCD MN NR MNR 90 在 Rt PDA 中 设 AD a PD cos a 在 Rt MNR 中 NR 2 1 PD 4 2 2 cos cos2 1 cos cos2 时得 MR NR PDANRMaMR a 能使直线 MN 是异面直线 AB PC 的公垂线 难点 2 求点到面的距离 1 如图 PA 平面 AC 四边形 ABCD 是矩形 E F 分别是 AB PD 的中点 1 求证 AF 平面 PCE 2 若二面角 P CD B 为 45 AD 2 CD 3 i 求二面角 P EC A 的大小 ii 求点 F 到平面 PCE 的距离 解析 过 AF 作一个平面与平面 PEC 相交 证明 AF 与交线平行 由于 E F 为中点 用心 爱心 专心 20 知 FH 17 243 F 到平面 PCE 的距离为 17 243 解法二 由 EM FA 知点 F 到平面 PCE 的距离可转化为点 A 到平面 PCE 的距离 过点 A 在面 PAG 内作 AN PG 则 AN 为点 A 到平面 PCE 的距离 可算得 AN 17 243 2 如图 10 33 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为棱 AB 和 BC 的中 点 EF 与 BD 相交于 H 1 求二面角 B1 EF B 的大小 2 试在棱 BB1上找一点 M 使 D1M 平面 B1EF 并证明你的结论 3 求 D1到平面 B1EF 的距离 解析 第 1 问二面角 B1 EF B 的平面角为 B1HB 由 于面 D1DBB1 平面 B1EF 过 D1作 D1N B1H 并延长交 BB1于 M 利 用平面几何的知识判断 M 的位置 第 3 问即求 D1N 答案 1 由已知 EF AC ABCD A1B1C1D1为正方体 AC 平面 BDD1B1 EF 平面 BDD1B1 B1HB 为二面角 B1 EF B 的平面角 在 Rt B1BH 中 B1B a BH 4 2 a tan B1HB 22 1 BH BB B1HB arctan 2 即二面角 B1 EF B 的大小为 arctan 2 2 由 1 知 EF 平面 BDD1B1 平面 B1EF 平面 BDD1B1 过 D1作 D1N B1H 垂足为 N 延长 D1N 交 BB1于 M 得 D1M 平面 B1EF 如图 建立坐标系 则 D 0 0 D1 0 a 用心 爱心 专心 21 H 0 4 23 a 设 M 2a y0 由 D1M B1H 得 y0 2 a M 为 BB1的中点 3 由 2 D1N 为 D1到直线 B1H 的距离 由点到直线的距离可 得 D1N 3 4 a D1到面 B1EF 的距离为3 4 a 难点难点 3 3 折叠问题折叠问题 1 如图 10 35 BCD 内接于直角梯形 A1A2A3D 已知沿 BCD 三 边把 A1BD A2BC A3CD 翻折上去 恰好使 A1 A2 A3重合于 A 1 求证 AB CD 2 若 A1D 10 A1A2 8 求二面角 A CD B 的大小 解析 这是一个折叠问题 解这一类题的关键是分析折叠前 后不变的量 不变的位置关系 利用这些不变来解题 第 1 问可 证 AB 平面 ACD 由 AB 平面 ACD 利用三垂线定理可作出二面角 A CD B 的平面角 答案 1 如图 10 36 由平面图形中 A1B A1D A1B A2C 知 立体图形中 AB AC AB AD AB 平面 ACD AB CD 2 过 A 作 AE CD 于 E 连接 BE CD 平面 ABE AEB 为二面角 A CD B 的平面角 在平面图形中 A1B A2B 4 A1D A3D 10 过 D 作 DD1 A2A3 在 Rt A3DD1中可得 A3D1 6 A2A3 16 A2C A3C 8 CD 172464 在立体图形中 AC 8 AD 10 CD 2 17 17 4 sin 17 1 17282 10 172 8 cos 222 ACDACD 在 Rt AEC 中 AE 8 sin ACD 17 32 在 Rt BAE 中 tan tan AEB 8 17 arctan 8 17 AE AB 二面角 A CD B 的大小为 arctan 8 17 2 如图 10 37 已知 ABCD 中 AD BC AD BC 且 AB 3 2 AD 23 BD 6 沿 BD 将其折成一个二面角 A BD C 使得 AB CD 求二面角 A BD C 的大小 求折后点 A 到面 BCD 的距离 解析 先将平面图形的性质研究清楚 在立体图形中将垂直关系进行转化 可以得 出结果 答案 1 在平面图形中 用心 爱心 专心 22 AD2 BD2 AB2 AD BD BC BD 在立体图形中 如图 10 38 作 AH 平面 BCD 于 H 连 DH BH 设 BH 交 CD 于 E 由 AD BD 得 ADH 为二面角 A BD C 的平面角 AB CD BH CD 在 Rt BCD 中 DE 2 1 32 3 cos 3 2 1 2 1 22223 2 2 AD DH ADHADHRtCBDH CE DE CB DH BCDHCE DC DB 中在又 ADH 60 二面角 A BD C 的大小为 60 2 由 1 知 AH ADsin ADH 2 3 2 3 3 典型习题导炼典型习题导炼 1 在斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面 ABC 中 A 90 且 BC1 AC 过 C1 作 C1H 底 面 ABC 则 H 在 A 直线 AC 上 B 直线 AB 上 C 直线 BC 上 D ABC 的内部 答案 B 解析 连 AC1 AC AB AC BC1 且 BC1 AB B AC 平面 ABC1 又 AC 平面 ABC H 一定交线 AB 上 2 正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量 这人常量是 A 正四面体的一条棱长 B 正四面体后条斜高的长 C 正四面体的高 D 以上结论都不对 答案 C 解析 正四面体的四个面都全等 设其面积都为 S 四面体的高为 h 并设正 四面体内任一点到四个面的距离分别为 h1 h2 h3 h4 则 V正四面体 3 1 3 1 43214321 hhhhhshVhhhhS 正四面体 又 3 设 O 是正三棱锥 P ABC 底面 ABC 的中心 过 O 的动平面与 P ABC 的三条侧棱或其 延长线的交点分别记为 Q R S 则和式 PSPRPQ 111 满足 A 有最大值而无最小值 B 有最小值而无最大值 C 既有最大值又有最小值 最大值不等于最小值 D 是一具与平面 RS 位置无关的常量 答案 D 解析 如图 四面体 PQRS 可以划分为 O 为公式共顶 点 分别以 PQR PRS PQS 为底面的三个三棱锥 由已知可设 用心 爱心 专心 23 QPR RPS QPS a 又是 O 是 P ABC 底面 ABC 的中心 O 点到三个侧面的距离相等 设 为 d 则 VPQRS VO PQR VO PRS VO PQS daPSPQaPSPRdPRPQ sin 6 1 sin 6 1 sin 6 1 设 PA 与平面 PBC 所成的角为 于是 VPQRS VQ PRS 为常量 dPRPQPS PQPSPR sin111 sinsin 6 1 4 直线 AB 与直二面角 l 的两个地平面分别相交于 A B 两点 且 A B l 如果直线 AB 与 所成的角分别是 1和 2 则 1 2 A 0 1 22 D 0 1 2 2 答案 D 解析 如图 过 A 作 AA1 l 于 A1 过 B 作 BB1 l 于 B1 连结 AB1 A1B 则由 a 可 得 AA BB1 a 得 BAA1 1 在 Rt AA1B 中 cos ABA1 2 0 sincos sin 21211211 1 11 1 为锐角又又中在BBBA AB BB BABABBRt AB BA 5 已知 P 为锐二面角 l 内一点 且 P 到 及棱 l 的距离之比为 1 2 2 7 如图 在正四棱锥 S ABCD 中 E 是 BC 的中点 P 点在侧面 SCD 内及其边界上运动 并 且总有 PE AC 1 证明 SB AC 答案 S ABCD 为正四棱锥 O 为 ABCD 的中心 SO 平面 ABCD OB 为 SB 在 ABCD 上 的射影 用心 爱心 专心 24 AC BD SB AC 2 指出动点 P 的轨迹 并证明你的结论 答案 如图 N G 分别为 SC DC 的中点 则 P 的轨迹为 SCD 的中位线 GN 证明 设 H 为 CD 的中点 则 GH SO GH 平面 ABCD