2011高考数学总复习 6.1 不等式的性质夯实基础 大纲人教版

1 6 16 1 不等式的性质不等式的性质 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 实数运算性质与大小顺序关系它是比较两实数大小的依据 也是求差法的依据 1 a b a b 0 2 a b a b 0 3 a b a bb bb c 为整式或实数 a c b c 单向性 3 定理 2 传递性 a b b c a c 4 定理 3 推论 叠加性 dc ba a c b d 5 定理 4 可乘性 0c ba ac bc 0c ba acbd 7 定理 4 推论 2 可乘方性 a b 0 an bn n N 且 n 1 8 定理 5 可开方性 a b 0 n a n b n N 且 n 1 3 重要不等式 结论 1 a b R a2 b2 2ab 当且仅当 a b 时取等号 2 a b R 2 ba ab当且仅当 a b 时取等号 3 a b ab 0 a 1 b 1 二 点击双基二 点击双基 1 若 a b b 1 B 2a 2b C a b D 2 1 a 2 1 b 解析 由 a b0 因此 a ab 1 b 1 成立 由 a b b 0 因此 a b 0 成立 y 2 1 x是减函数 2 1 a 2 1 b成立 故 B 不成立 答案 B 2 经典回放 设 a b c d R 且 a b c d 则下列结论中正确的是 2 A a c b d B a c b d C ac bd D d a c b 解析 a b c d a c b d 答案 A 3 若 x 1 y 下列不等式中不成立的是 A x 1 1 y B x 1 y 1 C x y 1 y D 1 x y x 解析 利用不等式的性质直接判断 答案 A 4 2010 北京东城检测 已知 a 0 b b a 2 b a B 2 b a b a a C b a 2 b a a D b a a 2 b a 解析 因为 a 0 b0 b1 2 1 b 1 又 a 2 b a a b a 2 b a a 故选 C 答案 C 5 a b 0 m 0 n 0 则 a b b a ma mb nb na 由大到小的顺序是 解析 取特殊值 如 a 2 b 1 m n 1 则 a b 2 1 b a 2 ma mb 3 2 nb na 2 3 b a nb na ma mb a b 答案 b a nb na ma mb a b 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 已知 3 1 x 3 2 则 1 1 x 的取值范围是 3 1 3 2 2 x 1 x 的取值范围是 9 1 9 4 以上命题是否正确 若错误予以纠正 若正确 请予证明 剖析 1 已知 x 的取值范围可求得 x 的取值范围进而可求出 1 x 的取值范围 2 由 x 以及 1 x 的取值范围求 x 1 x 的取值范围时 利用不等式的叠乘性要注意等号 成立的条件 解 1 该命题正确 3 1 x 3 2 3 2 x 3 1 3 1 1 x 3 2 3 即 1 x 的取值范围是 3 1 3 2 2 该命题不对 3 1 x 3 2 3 1 1 x 3 2 9 1 x 1 x 9 4 等号成立的条件不一致 正确解法应为 x 1 x x2 x x 2 1 2 4 1 在 3 1 2 1 上单调递增 在 2 1 3 2 上单调 递减 故 x 1 x 的取值范围是 9 2 4 1 讲评 不等式的性质中 同向不等式可以作加法运算 同向不等式两边为正时 可以作乘法运 算 但如果涉及到等号 能否取到最值 则要同时满足各个取等条件 这一点常易疏漏 例 2 已知 a R 试比较 a 1 1 与 1 a 的大小 剖析 要判断 a 1 1 与 1 a 的大小 只需研究它们差的符号 解 a 1 1 1 a a a 1 2 1 当 a 0 时 a a 1 2 0 a 1 1 1 a 2 当 a0 a 1 1 1 a 3 当 a 1 时 a a 1 2 0 a 1 1 2ab 4a 则 a b 应满足的条件是 提示 原不等式可化为 ab 1 2 a 2 2 0 故 a 2 或 b 2 1 例 3 已知 x y R 且 2x y 1 求 x 1 y 1 的最小值 剖析 本题要求根据条件求最值 如何合理利用条件 2x y 1 是解答本题的关键 可在要求的 式子上乘以 2x y 也可通过三角换元转化为三角问题 4 解 x 1 y 1 x yx 2 y yx 2 3 x y y x2 3 22 当且仅当 x y y x2 即 x 1 2 2 y 2 1 时取等号 故 x 1 y 1 的最小值为 3 22 讲评 对于最值问题求解方法较多 但用均值不等式求最值时 要注意三个条件 即 一正 二定 三相等 解答此题的关键是把两个分子中的 1 换成 2x y 或用下列方法 x 1 y 1 2x y x 1 y 1 3 x y y x2 或用下面三角换元法 令 x 2 cos2 y sin2 其中 0 2 x 1 y 1 2 cos 2 2 sin 1 2 22 cos cos sin2 2 22 sin sincos 3 2 2 cos si