河北省宣化一中、张北一中2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题（含解析）

1 河北省宣化一中 张北一中河北省宣化一中 张北一中 2019 20202019 2020 学年高一数学上学期期中联学年高一数学上学期期中联 考试题 含解析 考试题 含解析 一 选择题 共一 选择题 共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 已知集合仅有两个子集 则实数的取值构成的集合为 2 20 ax mxxm m a b c d 1 1 1 0 1 0 1 答案 b 解析 分析 因为集合仅有两个子集 可知集合仅有一个元素 对分类讨论 即可求得的值 aamm 详解 由集合仅有两个子集 a 可知集合仅有一个元素 a 当时 可得方程的解为 此时集合 满足集合仅有两个子集 0m 0 x 0a a 当时 方程有两个相等的实数根 则 解得 0m 2 20mxxm 2 2 240m 或 代入可解得集合或 满足集合仅有两个子集 1m 1m 1a 1a a 综上可知 的取值构成的集合为 m 1 0 1 故选 b 点睛 本题考查了集合的元素的特征 子集个数的计算 属于基础题 2 已知函数的定义域为 则的定义域为 f x 1 5 1 f x a b c d 0 4 2 6 1 5 2 4 答案 a 解析 分析 根据抽象函数定义域的求法 即可求得的定义域 1 f x 详解 函数的定义域为 f x 1 5 2 即1 5x 所以的定义域满足 1 f x 115x 解得0 4x 即的定义域为 1 f x 0 4 故选 a 点睛 本题考查了抽象函数定义域的求法 定义域指的是自变量的取值范围 进而解不 x 等式即可求解 属于基础题 3 集合 则下列关系式正确的是 2 1 ay yx 2 1bx yx a b c d ab ab ba 1 ab 答案 d 解析 分析 先分别求得集合 a 与集合 b 进而即可得集合 a 与集合 b 的关系 详解 集合 2 1 ay yx 2 1bx yx 则 0 ay y 11 bx xx 或 对比四个选项可知 a b c 均错误 因为 0 11 1 aby yx xx 或 所以 d 正确 故选 d 点睛 本题考查了集合的交集运算 注意集合表示的元素属性和特征 属于基础题 4 下列各组函数中是同一个函数的有 与 与 3 2f xx 2g xxx f xx 2 g xx 与 与 2 f xx 4 g xx 2 21f xxx 2 21g ttt a b c d 3 答案 c 解析 分析 根据相同函数的判断方法 从定义域和解析式方面入手 即可判断两个函数是否为同一函数 详解 对于 定义域为 定义域为 3 22f xxxx 0 2g xxx 两个函数定义域相同 但解析式不同 所以 不是同一函数 0 对于 定义域为 r 定义域为 r 两个函数定义 f xx 2 0 0 x x g xxx x x 域相同 但解析式不同 所以 不是同一函数 对于 定义域为 r 定义域为 r 两个函数定义域相同 解析式 2 f xx 42 g xxx 相同 所以 为同一函数 对于 定义域为 r 定义域为 r 两个函数定义域相同 2 21f xxx 2 21g ttt 解析式相同 所以 为同一函数 综上可知 为同一函数 故选 c 点睛 本题考查了函数的定义 判断函数是否为同一函数的方法 属于基础题 5 幂函数的图象过点 则 f x 2 2 1 2 f a b 4c d 2 2 2 1 4 答案 c 解析 分析 设出幂函数解析式 代入所过点的坐标 求得解析式 即可求得的值 1 2 f 详解 因为为幂函数 f x 所以设 f xx 4 因为的图象过点 f x 2 2 代入可得 22 解得 1 2 所以 1 2 f xx 则 1 2 12 222 1 f 故选 c 点睛 本题考查了幂函数解析式的求法 求函数值 属于基础题 6 下列不等式正确的是 a b 30 2 3 log 0 20 23 0 23 3 log 0 230 2 c d 30 2 3 0 2log 0 23 0 23 3 3log 0 20 2 答案 a 解析 分析 根据指数函数 对数函数的图像与性质 结合中间值法即可比较大小 详解 对于 由对数函数的图像与性质可知 3 log 0 2 33 log 0 2log 10 对于 由指数函数的图像与性质可知 3 0 2 3 00 21 对于 由指数函数的图像与性质可知 0 2 3 0 20 331 综上可知 30 2 3 log 0 20 23 故选 a 点睛 本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用 函数值的大小比较 属于基 础题 7 在同一直角坐标系中 函数的图像可能是 0 log a a f xxxg xx 5 a b c d 答案 d 解析 分析 通过分析幂函数和对数函数的特征可得解 详解 函数 与 0 a yxx log0 a yx x 答案 a 没有幂函数图像 答案 b 中 中 不符合 0 a yxx 1a log0 a yx x 01a 答案 c中 中 不符合 0 a yxx 01a log0 a yx x 1a 答案 d中 中 符合 故选 d 0 a yxx 01a log0 a yx x 01a 点睛 本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征 属于基础题 8 设 其中为常数 若 则 53 7f xaxbxcx a b c 717f 7f a 31b 17c 24d 31 答案 a 解析 令 则 为奇函数 53 g xaxbxcx g x 7 7 7 7 24fgg 6 故选 a 7 7 724 731fg 9 已知函数 且 的图象恒过定点 若点也在函数 log31 a yx 0a 1a aa 的图象上 则 3xf xb 9 log 4f a b c d 8 9 7 9 5 9 2 9 答案 a 解析 分析 先求得函数所过的定点 将定点坐标代入可求得 将化简 再代入 结合对数 f x b9 log 4 的运算即可求解 详解 函数 且 的图象恒过定点 log31 a yx 0a 1a a 可得 2 1a 因为也在函数的图象上 a 3xf xb 代入可得 解得 2 13b 10 9 b 所以 10 9 3xf x 因为 3 3 3 9 log 4 log 4log 2 lo9g 则 3 log 9 2 3 10 2log 4log3 9 ff 108 2 99 故选 a 点睛 本题考查了对数函数过定点 指数型函数解析式的求法 根据对数的运算进行化简 求值 属于基础题 10 已知函数是偶函数 当时 函数单调递减 设 1 f x 1 x f x 0 af 7 则的大小关系是 5 2 bf 3 cf a b c a b c d abc bac cba cab 答案 a 解析 分析 根据函数是偶函数 可知函数图像关于成轴对称 结合当时 函 1 f x f x 1x 1 x 数单调递减 即可比较大小 f x 详解 因为函数是偶函数 1 f x 则函数图像关于成轴对称 f x 1x 且当时 函数单调递减 1 x f x 所以当时 函数单调递增 1 x f x 0 af 5 2 bf 3 cf 由在时 函数单调递增可得 1 x f x abc 故选 a 点睛 本题考查了抽象函数对称性与单调性的综合应用 由函数单调性比较函数值大小 属于基础题 11 已知 则下列结论正确的是 2 4f xx 2g xx a 是偶函数 h xf xg x b 是奇函数 h xf x g x c 是偶函数 2 f x g x h x x d 是奇函数 2 f x h x g x 8 答案 d 解析 详解 试题分析 的定义域关于原点对称 又 f x 所以为偶函数 而为非奇非偶函数 22 4 4 f xxxfx f x g x 故选项 a b 错误 选项 c 中函数定义域不关于原点对称 所以为非奇非偶函数 故 h x 选项 c 错误 因 故 故 应选 d 2 f x h x g x 考点 函数的奇偶性及判定 12 高斯是德国著名的数学家 近代数学奠基者之一 享有 数学王子 的称号 他和阿基 米德 牛顿并列为世界三大数学家 用其名字命名的 高斯函数 为 设 用表 x r x 示不超过的最大整数 则称为高斯函数 例如 已知函 x yx 3 54 2 12 数 则函数的值域是 1 12 x x e f x e yf x a b c d 0 1 1 1 0 1 1 0 答案 d 解析 分析 利用分离常数法可得 求得的值域 由表示不 1 1111 1221 x xx e f x ee f x x 超过的最大整数 即可求得函数的值域 x yf x 详解 由于 1 1111 1221 x xx e f x ee 11 x e 1111 2212 x e 的值域为 f x 1 1 2 2 9 根据表示不超过的最大整数 x x 函数的值域是 yf x 1 0 故选 d 点睛 本题主要考查新定义函数的理解和运用 考查分离常数法求函数的值域 考查化归 与转化的数学思想方法 解题关键是在解答时要先充分理解的含义 x 二 填空题 共二 填空题 共 4 4 小题 每题小题 每题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 若 则 2510 ab 11 ab 答案 1 解析 分析 将指数式化为对数式 再取倒数相加即得 详解 2a 5b 10 a log2 10 b log5 10 lg2 lg 5 1 a 1 b lg2 lg5 lg 2 5 1 11 ab 故答案为 1 点睛 本题考查了对数的运算性质 属基础题 14 关于的不等式的解集为 x 11 22 1 32 xx 答案 2 1 3 解析 分析 根据二次根式有意义的条件及不等式 即可求解 详解 因为的不等式 x 11 22 1 32 xx 化简可得 132xx 10 则解不等式组可得 10 320 132 x x xx 1 3 2 2 3 x x x 即 2 1 3 x 所以不等式的解集为 2 1 3 故答案为 2 1 3 点睛 本题考查了二次根式有意义的条件 解二次根式不等式 属于基础题 15 已知为上的奇函数 且当时 则当时 f x r0 x 2 2f xxx 0 x f x 答案 2 2xx 解析 分析 由函数为 r 上的奇函数 及时的解析式 即可求得时的解析式 f x 0 x 0 x f x 详解 当时 0 x 2 2f xxx 令 则 0 x 0 x 所以 2 2 22fxxxxx 因为为上的奇函数 f x r 所以 2 2 22f xfxxxxx 即当时 0 x 2 2f xxx 故答案为 2 2xx 点睛 本题考查了奇函数的性质及应用 根据部分解析式求另外一部分解析式的方法 属 11 于基础题 16 已知在区间上单调递减 则实数的取值范围是 2 1 3 log3f xxaxa 1 a 答案 1 2 2 解析 分析 根据复合函数单调性的判断方法 结合对数函数的定义域 即可求得的取值范围 a 详解 在区间上单调递减 2 1 3 log3f xxaxa 1 由对数部分为单调递减 且整个函数单调递减可知 在上单调递增 且满足 2 3xxagax 1 10g 所以 解不等式组可得 1 2 130 a aa 2 1 2 a a 即满足条件的的取值范围为 a 1 2 2 故答案为 1 2 2 点睛 本题考查了复合函数单调性的应用 二次函数的单调性 对数函数的性质 属于中档 题 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 小题 1717 题题 1010 分 分 18 2218 22 每题每题 1212 分 共分 共 7070 分 分 17 化简求值 1 2 0 52 3 0 1103 5222 2 16274 2 3 log 2 23 11 lg25lg2log 9 log 2 23 答案 1 2 0 1 2 解析 12 分析 1 根据指数幂的运算 化简即可 2 由对数的运算化简即可得解 详解 1 根据指数幂的运算 化简 2 0 52 3 0 1103 5222 2 16274 2 0 5 232 3 44 22 1 433 9 2 939 22 1 4416 999 220 41616 2 由对数的运算 化简 3 log 2 23 11 lg25lg2log 9 log 2 23 3 log 2 23 1g5 1g232 log 3 log 2 1 1g5 1g22 2 11 12 22 点睛 本题考查了分数指数幂的运算与化简 对数的运算性质的应用 属于基础题 18 已知函数 的定义域为 的定义域为 其中为 f x 3 1 log1x a g x xa ba 常数 1 若 求及 2a ab c ab r 2 若 求实数的取值范围 aba a 答案 1 2 24abxx c ab r 12 x xx 或1 a 解析 试题分析 1 先根据偶次根式非负得不等式 解不等式得 a b 再结合数轴求交 并 补 2 先根据得 再根据数轴得实数的取值范围 aba ab a 13 试题解析 1 若 则由已知有 2a 14 2 axxbxx 因此 24abxx c14ax xx r 或 所以 c ab r 12 x xx 或 2 aba ab 又 a 14 xxb xxa 1 a 19 函数是定义在上的奇函数 且 2 4 axb f x x 2 2 1 1 3 f 1 确定的解析式 f x 2 判断在上的单调性 并用定义证明 f x 2 2 3 解关于 的不等式 t 1 0f tf t 答案 1 2 增函数 证明见解析 3 2 4 x f x x 2 2 x 1 1 2 解析 分析 1 根据奇函数性质即可求得 由代入即可求得 即可得的解 0 0f b 1 1 3 f a f x 析式 2 根据定义 通过作差即可证明函数在上为单调递增函数 f x 2 2 3 根据奇函数的性质及 2 中函数的单调性 结合定义域解不等式即可求得 的取值范 t 围 详解 1 由函数是定义在上的奇函数知 2 4 axb f x x 2 2 0 0 4 b f 所以解得 0b 14 经检验 时是上的奇函数 满足题意 0b 2 4 ax f x x 2 2 又 2 1 1 4 13 a f 解得 1a 故 2 4 x f x x 2 2 x 2 在上为增函数 证明如下 f x 2 2 在任取且 2 2 12 x x 12 xx 则 2112 21 21 22 22 21 21 4 4444 xxx xxx f xf x xxxx 因为 21 0 xx 12 40 x x 2 1 40 x 2 2 40 x 所以 2112 21 21 22 22 21 21 4 0 4444 xxx xxx f xf x xxxx 即 21 f xf x 所以在上为增函数 f x 2 2 3 因为为奇函数所以 f x f xfx 不等式可化为 1 0f tf t 1 f tf t 即 1 f tft 又在上是增函数 f x 2 2 所以 1 212 22 tt t t 解得 1 1 2 t 所以关于 的不等式解集为t 1 1 2 点睛 本题考查了奇函数的性质及简单应用 利用定义证明函数的单调性 由函数的奇偶 15 性及单调性解不等式 属于中档题 20 某厂生产某种产品的月固定成本为 10 万元 每生产件 需另投入成本为 万 x c x 元 当月产量不足 30 件时 万元 当月产量不低于 30 件时 2 1 6 c xxx 万元 因设备问题 该厂月生产量不超过 50 件 现已知此商 800 550 20 c xx x 品每件售价为 5 万元 且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完 1 写出月利润 万元 关于月产量 件 的函数解析式 lx 2 当月产量为多少件时 该厂所获月利润最大 答案 1 2 当月产量为 12 件时 2 1 410 6 800 40 20 xx l x 0 30 30 50 xxn xxn 且 且 该厂所获月利润最大 解析 试题分析 根据已知条件通过的分段 列出函数的解析式即可 1 x 利用分段函数的解析式 分别求解函数的最大值 即可得到结论 2 解析 1 当且时 030 x xn 22 11 510510410 66 lxc xxxxxx 当且时 3050 x xn 800800 51055501040 2020 lxc xxx xx 所以 2 1 410 6 800 40 20 xx l x 0 30 30 50 xxn xxn 且 且 2 当且时 在上递增 在上递减 030 x xn l x 0 12 12 30 此时 max 1214ll 16 当且时 在上递增 此时 3050 x xn l x 30