2012中考数学 压轴题精选精析（21-30例）

用心 爱心 专心1 20122012 中考数学压轴题精选精析 中考数学压轴题精选精析 21 3021 30 例 例 21 2011 湖南邵阳 如图 十一 所示 在平面直角坐标系Oxy中 已知点A 0 9 4 点C 0 3 点B是x轴上一点 位于点A的右侧 以AB为直径的圆恰好经过点C 1 求 ACB的度数 2 已知抛物线y ax2 bx 3 经过A B两点 求抛物线的解析式 3 线段BC上是否存在点D 使 BOD为等腰三角形 若存在 则求出所有符合条件的 点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 解题思路 1 以AB为直径的圆恰好经过点C ACB 0 90 2 AOC ABC A 0 点C 0 3 OBAOOC 2 9 4 4 9 AO B 4 0 把 A B C 三点坐标3 OCOB 4 9 32 4 OB 代入得 3 12 7 3 1 2 xxy 3 1 OD OB D 在 OB 的中垂线上 过 D 作 DH OB 垂足是 H 则 H 是 OB 中点 DH OC 2 1 D OBOH 2 1 2 3 2 2 BD BO 过 D 作 DG OB 垂足是 G OG OB CD CB DG OC 1 5 用心 爱心 专心2 OG 4 1 5 DG 3 1 5 OG DG D 5 4 5 3 5 4 5 3 点评 本题考察了相似 勾股定理 抛物线的解析式求解等知识 运用平行于三角形 一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式 求解点到坐标轴的距离 进而得出相应的坐标 难度中等 24 2011 湖北荆州 如图甲 分别以两个彼此相邻的正方形 OABC 与 CDEF 的边 OC OA 所在直线为 x 轴 y 轴建立平面直角坐标系 O C F 三点在 x 轴正半轴上 若 P 过 A B E 三点 圆心在 x 轴上 抛物线 y 14x2 bx c 经过 A C 两点 与 x 轴的另一交 点为 G M 是 FG 的中点 正方形 CDEF 的面积为 1 1 求 B 点坐标 2 求证 ME 是 P 的切线 3 设直线 AC 与抛物线对称轴交于 N Q 点是此轴称轴上不与 N 点重合的一动点 求 ACQ 周长的最小值 若 FQ t S ACQ S 直接写出 S 与 t 之间的函数关系式 考点 二次函数综合题 分析 1 如图甲 连接 PE PB 设 PC n 由正方形 CDEF 的面积为 1 可得 CD CF 1 根据圆和正方形的对称性知 OP PC n 由 PB PE 根据勾股定理即可求得 n 的值 继而求 得 B 的坐标 2 由 1 知 A 0 2 C 2 0 即可求得抛物线的解析式 然后求得 FM 的长 则可得 PEF EMF 则可证得 PEM 90 即 ME 是 P 的切线 3 如图乙 延长 AB 交抛物线于 A 连 CA 交对称轴 x 3 于 Q 连 AQ 则有 用心 爱心 专心3 AQ A Q ACQ 周长的最小值为 AC A C 的长 利用勾股定理即可求得 ACQ 周长的最小 值 分别当 Q 点在 F 点上方时 当 Q 点在线段 FN 上时 当 Q 点在 N 点下方时去分析即可求得 答案 解答 解 1 如图甲 连接 PE PB 设 PC n 正方形 CDEF 的面积为 1 CD CF 1 根据圆和正方形的对称性知 OP PC n BC 2PC 2n 而 PB PE PB2 BC2 PC2 4n2 n2 5n2 PE2 PF2 EF2 n 1 2 1 5n2 n 1 2 1 解得 n 1 或 n 12 舍去 BC OC 2 B 点坐标为 2 2 2 如图甲 由 1 知 A 0 2 C 2 0 A C 在抛物线上 c 214 4 2b c 0 解得 c 2b 32 抛物线的解析式为 y 14x2 32x 2 14 x 3 2 14 抛物线的对称轴为 x 3 即 EF 所在直线 C 与 G 关于直线 x 3 对称 CF FG 1 用心 爱心 专心4 MF 12FG 12 在 Rt PEF 与 Rt EMF 中 EFM EFP FMEF 121 12 EFPF 12 FMEF EFPF PEF EMF EPF FEM PEM PEF FEM PEF EPF 90 ME 是 P 的切线 3 如图乙 延长 AB 交抛物线于 A 连 CA 交对称轴 x 3 于 Q 连 AQ 则有 AQ A Q ACQ 周长的最小值为 AC A C 的长 A 与 A 关于直线 x 3 对称 A 0 2 A 6 2 A C 6 2 2 22 2 5 而 AC 22 22 2 2 ACQ 周长的最小值为 2 2 2 5 当 Q 点在 F 点上方时 S t 1 当 Q 点在线段 FN 上时 S 1 t 当 Q 点在 N 点下方时 S t 1 点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式 圆的性质 相似三角形的判定与性质 以及勾股定理等知识 此题综合性很强 题目难度较大 解题的关键是方程思想 分类讨 论与数形结合思想的应用 用心 爱心 专心5 22 2011 襄阳 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 AB 在 x 轴上 AB 10 以 AB 为直径 的 O 与 y 轴正半轴交于点 C 连接 BC AC CD 是 O 的切线 AD 丄 CD 于点 D tan CAD 抛物线 y ax2 bx c 过 A B C 三点 1 2 1 求证 CAD CAB 2 求抛物线的解析式 判断抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上 并说明理由 3 在抛物线上是否存在一点 P 使四边形 PBCA 是直角梯形 若存在 直接写出点 P 的 坐标 不写求解过程 若不存在 请说明理由 考点 二次函数综合题 分析 1 连接 O C 由 CD 是 O 的切线 可得 O C CD 则可证得 O C AD 又由 O A O C 则可证得 CAD CAB 2 首先证得 CAO BCO 根据相似三角形的对应边成比例 可得 OC2 OA OB 又由 tan CAO tan CAD 则可求得 CO AO BO 的长 然后利用待定系数法即可求得二次函 1 2 数的解析式 首先证得 FO C FAD 由相似三角形的对应边成比例 即可得到 F 的坐标 求得直 线 DC 的解析式 然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案 3 根据题意分别从 PA BC 与 PB AC 去分析求解即可求得答案 小心不要漏解 解答 1 证明 连接 O C CD 是 O 的切线 O C CD AD CD 用心 爱心 专心6 O C AD O CA CAD O A O C CAB O CA CAD CAB 2 AB 是 O 的直径 ACB 90 OC AB CAB OCB CAO BCO 即 OC2 OA OB tan CAO tan CAD 1 2 AO 2CO 又 AB 10 OC2 2CO 10 2CO CO 0 CO 4 AO 8 BO 2 A 8 0 B 2 0 C 0 4 抛物线 y ax2 bx c 过点 A B C 三点 c 4 由题意得 4 2 4 0 64 8 4 0 解得 1 4 3 2 用心 爱心 专心7 抛物线的解析式为 y x2 x 4 1 4 3 2 设直线 DC 交 x 轴于点 F AOC ADC AD AO 8 O C AD FO C FAD 8 BF 5 5 BF 10 BF F 0 10 3 16 3 设直线 DC 的解析式为 y kx m 则 4 16 3 0 解得 3 4 4 直线 DC 的解析式为 y x 4 3 4 由 y x2 x 4 x 3 2 得顶点 E 的坐标为 3 1 4 3 2 1 4 25 4 25 4 将 E 3 代入直线 DC 的解析式 y x 4 中 25 4 3 4 右边 3 4 左边 3 4 25 4 抛物线顶点 E 在直线 CD 上 3 存在 P1 10 6 P2 10 36 用心 爱心 专心8 点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式 相似三角形的判定与性质 点与函数的关 系 直角梯形等知识 此题综合性很强 难度较大 解题的关键是注意数形结合与方程思 想的应用 23 2011 江汉区 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx 3 与 x 轴的两个交点分别为 A 3 0 B 1 0 过顶点 C 作 CH x 轴于点 H 1 直接填写 a 1 b 2 顶点 C 的坐标为 1 4 2 在 y 轴上是否存在点 D 使得 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形 若存在 求出点 D 的坐标 若不存在 说明理由 3 若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点 点 P 与顶点 C 不重合 PQ AC 于点 Q 当 PCQ 与 ACH 相似时 求点 P 的坐标 考点 二次函数综合题 分析 1 将 A 3 0 B 1 0 代入 y ax2 bx 3 求出即可 再利用平方法求出 顶点坐标即可 2 首先证明 CED DOA 得出 y 轴上存在点 D 0 3 或 0 1 即可得出 ACD 用心 爱心 专心9 是以 AC 为斜边的直角三角形 3 首先求出直线 CM 的解析式为 y k1x b1 再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标 再利用若点 P 在对称轴左侧 如图 只能是 PCQ ACH 得 PCQ ACH 得出答案 即可 解答 解 1 a 1 b 2 顶点 C 的坐标为 1 4 2 假设在 y 轴上存在满足条件的点 D 过点 C 作 CE y 轴于点 E 由 CDA 90 得 1 2 90 又 2 3 90 3 1 又 CED DOA 90 CED DOA 设 D 0 c 则 变形得 c2 4c 3 0 解之得 c1 3 c2 1 1 4 3 综合上述 在 y 轴上存在点 D 0 3 或 0 1 使 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形 3 若点 P 在对称轴右侧 如图 只能是 PCQ CAH 得 QCP CAH 延长 CP 交 x 轴于 M AM CM AM2 CM2 设 M m 0 则 m 3 2 42 m 1 2 m 2 即 M 2 0 设直线 CM 的解析式为 y k1x b1 则 解之得 1 1 4 2 1 1 0 1 4 3 1 8 3 直线 CM 的解析式 4 3 8 3 用心 爱心 专心10 联立 解之得或 舍去 4 3 8 3 2 2 3 1 3 20 9 1 4 1 3 20 9 若点 P 在对称轴左侧 如图 只能是 PCQ ACH 得 PCQ ACH 过 A 作 CA 的垂线交 PC 于点 F 作 FN x 轴于点 N 由 CFA CAH 得 2 由 FNA AHC 得 1 2 AN 2 FN 1 点 F 坐标为 5 1 设直线 CF 的解析式为 y k2x b2 则 2 2 4 5 2 2 1 解之得 2 3 4 2 19 4 直线 CF 的解析式 3 4 19 4 联立 解之得或 舍去 3 4 19 4 2 2 3 7 4 55 16 1 4 7 4 55 16 满足条件的点 P 坐标为或 1 3 20 9 7 4 55 16 用心 爱心 专心11 点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用 二次函数的综合应用 是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点 掌握 24 2011 湖北黄冈鄂州 24 14 分 如图所示 过点 F 0 1 的直线 y kx b 与抛 物线交于 M x1 y1 和 N x2 y2 两点 其中 x1 0 x2 0 2 1 4 yx 求 b 的值 求 x1 x2的值 分别过 M N 作直线 l y 1 的垂线 垂足分别是 M1 N1 判断 M1FN1的形状 并 证明你的结论 对于过点 F 的任意直线 MN 是否存在一条定直线 m 使 m 与以 MN 为直径的圆相 切 如果有 请法度出这条直线 m 的解析式 如果没有 请说明理由 F M N N1M1F1 O y x l 第 24 题 图 解题思路 第 1 问 将 F 0 1 代入 y kx b 即可得 b 值 要将坐标转化为方程组的解 将方程组变形得关于 x 的一元二次方程 2 1 1 4 ykx yx 用心 爱心 专心12 再利用根与系数的关系得 4 12 xx 3 要结合条件并利用 2 中的结论得到 F1M1 F1N1 x1 x2 4 结合 1 中的结论得 F F1 2 再把两个结论结合得到 F1M1 F1N1 F1F2 判定直角三角形相似 再利用直角三角形的相似性质 就可得到 M1FN1 M1FF1 F1FN1 FN1F1 F1FN1 90 所以 M1FN1是直角三角形 4 表示线段长利用坐标所在的函数关系 将函数式相加减表示距离 运用梯形中位线的性质 来证明 答案 解 b 1 显然和是方程组的两组解 解方程组消元得 1 1 xx yy 2 2 xx yy 2 1 1 4 ykx yx 依据 根与系数关系 得 4 2 1 10 4 xkx 12 xx F M N N1M1F1 O y x l 第 24 题解答用图 P Q M1FN1是直角三角形是直角三角形 理由如下 由题知 M1的横坐标为 x1 N1的横坐标为 x2 设 M1N1交 y 轴于 F1 则 F1M1 F1N1 x1 x2 4 而 F F1 2 所以 F1M1 F1N1 F1F2 另有 M1F1F FF1N1 90 易证 Rt M1FF1 Rt N1FF1 得 M1FF1 FN1F1 故 M1FN1 M1FF1 F1FN1 FN1F1 F1FN1 90 所以 M1FN1是直角三角形 存在 该直线为 y 1 理由如下 直线 y 1 即为直线 M1N1 用心 爱心 专心13 如图 设 N 点横坐标为 m 则 N 点纵坐标为 计算知 NN1 NF 2 1 4 m 2 1 1 4 m 得 NN1 NF 222 1 1 4 mm 2 1 1 4 m 同理 MM1 MF 那么 MN MM1 NN1 作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ 由中位线性质知 PQ MM1 NN1 1 2 MN 即圆心到直线 y 1 的距离等于圆的半径 所以 y 1 总与该圆相切 1 2 用心 爱心 专心 点评 此题第 1 问 很简单就是代入求值 确定函数的系数 2 结合问题将一次 二次函数组合转化为一元二次方程 利用 根与系数 的关系求解 3 直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用 4 用函数的加减来求距离 梯形中位线 此题综合性很强 考查学生数形结合的思想 综合了代数 几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决 难度较大 25 2011 宜昌 已知抛物线 y ax2 bx c 与直线 y mx n 相交于两点 这两点的坐标分别 是 0 和 m b m2 mb n 其中 a b c m n 为实数 且 a m 不为 0 1 2 1 求 c 的值 2 设抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的两个交点是 x1 0 和 x2 0 求 x1 x2的值 3 当 1 x 1 时 设抛物线 y ax2 bx c 上与 x 轴距离最大的点为 P x0 y0 求这 时 y0丨的最小值 考点 二次函数综合题 专题 综合题 分析 1 把点 0 代入抛物线可以求出 c 的值 1 2 2 把点 0 代入直线得 n 然后把点 m b m2 mb n 代入抛物线 整 1 2 1 2 用心 爱心 专心 理后可确定 a 的值 把 a c 的值代入抛物线 当 y 0 时可以求出 x1 x2的值 3 抛物线 y x2 bx 的顶点 当 b 0 时 x 1 时 y 的值大 当 1 2 2 1 2 2 4 b 0 时 x 1 时 y 的值大 然后比较 x 1 x 1 以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值 确定 y0 的最小值 解答 解 1 把点 0 代入抛物线 得 c 1 2 1 2 2 把点 0 代入直线得 n 1 2 1 2 把点 m b m2 mb n 代入抛物线 得 a m b 2 b m b c m2 mb n c n 1 2 a m b 2 b m b m2 mb am2 2abm ab2 bm b2 m2 mb 0 a 1 m2 a 1 2bm a 1 b2 0 a 1 m2 2bm b2 0 a 1 m b 2 0 a 1 当 m b 0 时 抛物线与直线的两个交点就是一个点 所以 m b 把 a 1 c 代入抛物线有 1 2 y x2 bx 1 2 当 y 0 时 x2 bx 0 1 2 x1 x2 1 2 用心 爱心 专心 3 y x2 bx 顶点 1 2 2 1 2 2 4 当 b 0 时 x 1 时 y b 1 2 比较 b 与 的大小 得到 1 2 1 2 2 4 4 b 0 时 b 1 2 1 2 2 4 所以当 b 0 时 y0 的最小值为 1 2 b 4 时 b 1 2 1 2 2 4 所以当 b 4 时 y0 的最小值为 9 2 当 b 0 时 x 1 时 y b 1 2 比较 b 与 的大小 得到 1 2 1 2 2 4 0 b 4 时 b 1 2 1 2 2 4 所以当 b 0 时 y0 的最小值为 1 2 b 4 时 b 1 2 1 2 2 4 所以当 b 4 时 y0 的最小值为 9 2 故 y0 的最小值为或 1 2 9 2 点评 本题考查的是二次函数的综合题 1 根据抛物线上的点确定 c 的值 2 结合 一元二次方程的解确定 x1 x2的值 3 在 x 的取值范围内确定 y0 的最小值 用心 爱心 专心 26 2011 滨州 如图 某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分 抛物线 的顶点 O 落在水平面上 对称轴是水平线 OC 点 A B 在抛物线造型上 且点 A 到水平面 的距离 AC 4 米 点 B 到水平面距离为 2 米 OC 8 米 1 请建立适当的直角坐标系 求抛物线的函数解析式 2 为了安全美观 现需在水平线 OC 上找一点 P 用质地 规格已确定的圆形钢管制作 两根支柱 PA PB 对抛物线造型进行支撑加固 那么怎样才能找到两根支柱用料最省 支柱 与地面 造型对接方式的用料多少问题暂不考虑 时的点 P 无需证明 3 为了施工方便 现需计算出点 O P 之间的距离 那么两根支柱用料最省时点 O P 之 间的距离是多少 请写出求解过程 考点 二次函数的应用 分析 1 以点 O 为原点 射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系 可设抛物线的函数 解析式为 y ax2 又由点 A 在抛物线上 即可求得此抛物线的函数解析式 2 延长 AC 交建筑物造型所在抛物线于点 D 连接 BD 交 OC 于点 P 则点 P 即为所求 3 首先根据题意求得点 B 与 D 的坐标 设直线 BD 的函数解析式为 y kx b 利用待定系 数法即可求得直线 BD 的函数解析式 把 x 0 代入 y x 4 即可求得点 P 的坐标 解答 解 1 以点 O 为原点 射线 OC 为 y 轴的正半轴建立直角坐标系 设抛物线的函数解析式为 y ax2 由题意知点 A 的坐标为 4 8 点 A 在抛物线上 8 a 42 解得 a 1 2 所求抛物线的函数解析式为 y x2 1 2 2 找法 用心 爱心 专心 延长 AC 交建筑物造型所在抛物线于点 D 则点 A D 关于 OC 对称 连接 BD 交 OC 于点 P 则点 P 即为所求 3 由题意知点 B 的横坐标为 2 点 B 在抛物线上 点 B 的坐标为 2 2 又 点 A 的坐标为 4 8 点 D 的坐标为 4 8 设直线 BD 的函数解析式为 y kx b 2 2 4 8 解得 k 1 b 4 直线 BD 的函数解析式为 y x 4 把 x 0 代入 y x 4 得点 P 的坐标为 0 4 两根支柱用料最省时 点 O P 之间的距离是 4 米 点评 此题考查了二次函数的实际应用问题 解此题的关键是根据题意构建二次函数模型 然后根据二次函数解题 23 2011 德州 在直角坐标系 xoy 中 已知点 P 是反比例函数 x 0 图象 2 3 上一个动点 以 P 为圆心的圆始终与 y 轴相切 设切点为 A 1 如图 1 P 运动到与 x 轴相切 设切点为 K 试判断四边形 OKPA 的形状 并说明理 由 2 如图 2 P 运动到与 x 轴相交 设交点为 B C 当四边形 ABCP 是菱形时 求出点 A B C 的坐标 在过 A B C 三点的抛物线上是否存在点 M 使 MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 若 1 2 存在 试求出所有满足条件的 M 点的坐标 若不存在 试说明理由 用心 爱心 专心 考点 二次函数综合题 分析 1 四边形 OKPA 是正方形 当 P 分别与两坐标轴相切时 PA y 轴 PK x 轴 x 轴 y 轴 且 PA PK 可判断结论 2 连接 PB 设点 P x 过点 P 作 PG BC 于 G 则半径 PB PC 由菱形的性 2 3 质得 PC BC 可知 PBC 为等边三角形 在 Rt PBG 中 PBG 60 PB PA x PG 利用 sin PBG 列方程求 x 即可 2 3 求直线 PB 的解析式 利用过 A 点或 C 点且平行于 PB 的直线解析式与抛物线解析式联立 列方程组求满足条件的 M 点坐标即可 解答 1 四边形 OKPA 是正方形 证明 P 分别与两坐标轴相切 PA OA PK OK PAO OKP 90 又 AOK 90 PAO OKP AOK 90 四边形 OKPA 是矩形 又 OA OK 四边形 OKPA 是正方形 2 分 用心 爱心 专心 2 连接 PB 设点 P 的横坐标为 x 则其纵坐标 为 2 3 过点 P 作 PG BC 于 G 四边形 ABCP 为菱形 BC PA PB PC PBC 为等边三角形 在 Rt PBG 中 PBG 60 PB PA x PG 2 3 sin PBG 即 3 2 2 3 解之得 x 2 负值舍去 PG PA BC 2 4 分 3 易知四边形 OGPA 是矩形 PA OG 2 BG CG 1 OB OG BG 1 OC OG GC 3 A 0 B 1 0 C 3 0 6 分 3 设二次函数解析式为 y ax2 bx c 据题意得 0 9 3 0 3 解之得 a b c 3 3 4 3 33 用心 爱心 专心 二次函数关系式为 9 分 3 3 2 4 3 3 3 解法一 设直线 BP 的解析式为 y ux v 据题意得 0 2 3 解之得 u v 3 3 3 直线 BP 的解析式为 3 3 3 过点 A 作直线 AM PB 则可得直线 AM 的解析式为 3 3 解方程组 3 3 3 3 2 4 3 3 3 得 1 0 1 3 2 7 2 8 3 过点 C 作直线 CM PB 则可设直线 CM 的解析式为 3 0 3 3 3 3 直线 CM 的解析式为 3 3 3 解方程组 3 3 3 3 3 2 4 3 3 3 得 1 3 1 0 2 4 2 3 综上可知 满足条件的 M 的坐标有四个 分别为 0 3 0 4 7 12 分 338 3 解法二 1 2 A 0 C 3 0 显然满足条件 3 用心 爱心 专心 延长 AP 交抛物线于点 M 由抛物线与圆的轴对称性可知 PM PA 又 AM BC 1 2 点 M 的纵坐标为 3 又点 M 的横坐标为 AM PA PM 2 2 4 点 M 4 符合要求 3 点 7 的求法同解法一 8 3 综上可知 满足条件的 M 的坐标有四个 分别为 0 3 0 4 7 12 分 338 3 解法三 延长 AP 交抛物线于点 M 由抛物线与圆的轴对称性可知 PM PA 又 AM BC 1 2 点 M 的纵坐标为 3 即 3 3 2 4 3 3 3 3 解得 x1 0 舍 x2 4 点 M 的坐标为 4 3 点 7 的求法同解法一 8 3 综上可知 满足条件的 M 的坐标有四个 分别为 0 3 0 4 7 12 分 338 3 点评 本题考查了二次函数的综合运用 关键是由菱形 圆的性质 形数结合解题 27 2011 泰安 某商店经营一种小商品 进价为每件 20 元 据市场分析 在一个月内 售价定为 25 元时 可卖出 105 件 而售价每上涨 1 元 就少卖 5 件 1 当售价定为 30 元时 一个月可获利多少元 用心 爱心 专心 2 当售价定为每件多少元时 一个月的获利最大 最大利润是多少元 考点 二次函数的应用 专题 销售问题 分析 1 当售价定为 30 元时 可知每一件赚 10 元钱 再有售价定为 25 元时 可卖出 105 件 而售价每上涨 1 元 就少卖 5 件 可计算出一个月可获利多少元 2 设售价为每件 x 元时 一个月的获利为 y 元 得到 y 与 x 的二次函数关系式求出函数 的最大值即可 解答 解 1 获利 30 20 105 5 30 25 800 2 设售价为每件 x 元时 一个月的获利为 y 元 由题意 得 y x 20 105 5 x 25 5x2 330 x 4600 5 x 33 2 845 当 x 33 时 y 的最大值为 845 故当售价定为 33 元时 一个月的利润最大 最大利润是 845 元 点评 本题主要考查了二次函数的应用 能正确表示出月销售量是解题的关键 求二次函 数的最大 小 值有三种方法 第一种可由图象直接得出 第二种是配方法 第三种是公 式法 常用的是后两种方法 29 2011 泰安 已知 在 ABC 中 AC BC ACB 90 点 D 是 AB 的中点 点 E 是 AB 边上一点 1 直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F 交 CD 于点 G 如图 1 求证 AE CG 2 直线 AH 垂直于直线 CE 垂足为点 H 交 CD 的延长线于点 M 如图 2 找出图中与 BE 相等的线段 并证明 考点 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 专题 证明题 分析 1 首先根据点 D 是 AB 中点 ACB 90 可得出 ACD BCD 45 判断出 AEC CGB 即可得出 AE CG 用心 爱心 专心 2 根据垂直的定义得出 CMA MCH 90 BEC MCH 90 再根据 AC BC ACM CBE 45 得出 BCE CAM 进而证明出 BE CM 解答 解 1 证明 点 D 是 AB 中点 AC BC ACB 90 CD AB ACD BCD 45 CAD CBD 45 CAE BCG 又 BF CE CBG BCF 90 又 ACE BCF 90 ACE CBG AEC CGB AE CG 2 BE CM 证明 CH HM CD ED CMA MCH 90 BEC MCH 90 CMA BEC 又 AC BC ACM CBE 45 BCE CAM BE CM 点评 本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质 难度适 中 28 2011 临沂 如图 已知抛物线经过 A 2 0 B 3 3 及原点 O 顶点为 C 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 在抛物线上 点 E 在抛物线的对称轴上 且 A O D E 为顶点的四边形是平 行四边形 求点 D 的坐标 3 P 是抛物线上的第一象限内的动点 过点 P 作 PMx 轴 垂足为 M 是否存在点 P 使 得以 P M A 为顶点的三角形 BOC 相似 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明 理由 用心 爱心 专心 考点 二次函数综合题 专题 综合题 分析 1 由于抛物线经过 A 2 0 B 3 3 及原点 O 待定系数法即可求出抛 物线的解析式 2 根据平行四边形的性质 对边平行且相等以及对角线互相平方 可以求出点 D 的坐标 3 根据相似三角形对应边的比相等可以求出点 P 的坐标 解答 解 1 设抛物线的解析式为 y ax2 bx c a 0 且过 A 2 0 B 3 3 O 0 0 可得 4 2 0 9 3 3 0 解得 1 2 0 故抛物线的解析式为 y x2 2x 2 当 AE 为边时 A O D E 为顶点的四边形是平行四边形 DE AO 2 则 D 在 x 轴下方不可能 D 在 x 轴上方且 DE 2 用心 爱心 专心 则 D1 1 3 D2 3 3 当 AO 为对角线时 则 DE 与 AO 互相平方 因为点 E 在对称轴上 且线段 AO 的中点横坐标为 1 由对称性知 符合条件的点 D 只有一个 与点 C 重合 即 C 1 1 故符合条件的点 D 有三个 分别是 D1 1 3 D2 3 3 C 1 1 3 存在 如上图 B 3 3 C 1 1 根据勾股定理得 BO2 18 CO2 2 BC2 20 BO2 CO2 BC2 BOC 是直角三角形 假设存在点 P 使以 P M A 为顶点的 三角形与 BOC 相似 设 P x y 由题意知 x 0 y 0 且 y x2 2x 若 AMP BOC 则 即 x 2 3 x2 2x 得 x1 x2 2 舍去 1 3 当 x 时 y 即 P 1 3 7 9 1 3 7 9 若 PMA BOC 则 即 x2 2x 3 x 2 得 x1 3 x2 2 舍去 当 x 3 时 y 15 即 P 3 15 故符合条件的点 P 有两个 分别是 P 或 3 15 1 3 7 9 用心 爱心 专心 点评 本题考查的是二次函数的综合题 首先用待定系数法求出抛物线的解析式 然后利 用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点 D 和点 P 的坐标 29 2011 潍坊 如图 y 关于 x 的二次函数 y x m x 3m 图象的顶点为 3 3 M 图象交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴正半轴于 D 点 以 AB 为直径作圆 圆心为 C 定点 E 的坐标为 3 0 连接 ED m 0 1 写出 A B D 三点的坐标 2 当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上 判定此时直线与圆的位置关系 3 当 m 变化时 用 m 表示 AED 的面积 S 并在给出的直角坐标系中画出 S 关于 m 的函 数图象的示意图 考点 二次函数综合题 专题 压轴题 分类讨论 用心 爱心 专心 分析 1 根据 x 轴 y 轴上点的坐标特征代入即可求出 A B D 三点的坐标 2 待定系数法先求出直线 ED 的解析式 再根