2011高考数学萃取精华30套（22）

1 20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 2222 1 1 德阳二模德阳二模 20 本题满分14分 数列 n a中 1 1a 当2n 时 其前n项的和 n S满足 1 2 nnn SaS 证明 数列 1 n S 是等差数列 设 2 2 n n n S S logb 数列 n b的前n项和为 n T 求满足6 n T的最小正整数n 20 解 1 2 nnn SaS 2 1 1 2 nnnn SSSSn 11 nnnn S SSS 即 1 11 1 nn SS 1 n S 是 1 为首项 1 为公差的等差数列 7 分 由 知 2 12 log nn n Sb nn 22 1234562 loglog6 12342 n nnn T n 128 1 2 nn nN 10 n 所以满足6 n T的最小正整数为 10 14 分 21 本题满分15分 已知函数 axxxh xlnxxf 22 2 求函数 xf的极值 设函数 xhxfxk 若函数 xk在 31 上恰有两个不同零点 求实数 a的取值范围 2 21 解 x xxf 2 2 令 0 01fxxx 所以 xf的极小值为 1 无极大值 7 分 1 2 ln2 x xkaxxxhxfxk 若2 0 xxk两 当 1 2x 时 0fx 当 2 3x 时 0fx 故 k x在 1 2x 上递减 在 2 3x 上递增 10 分 1 0 1 2 0 22ln2 22ln232ln3 3 0 32ln3 ka kaa ka 所以实数 a的取值范围是 22ln2 32ln3 15 分 22 本题满分15分 已知曲线C上的动点 P x y满足到点 1 0F的距离比到直线 2l y 的距离小1 求曲线C的方程 动点E在直线l上 过点E分别作曲线C的切线 EA EB 切点为A B 求证 直线AB恒过一定点 并求出该定点的坐标 在直线l上是否存在一点E 使得ABM 为等边三角形 M点也在直线 l上 若存在 求出点E 坐标 若不存在 请说明理由 22 解 曲线C的方程 yx4 2 5 分 设 2 aE 4 4 2 2 2 2 1 1 x xB x xA xy x y 2 1 4 2 2 1 4 11 2 1 两两两两两两两两两两两两两两两两Exxx x yA x 1 0 1 1 xf 0 xf 减 1 增 3 2 1 4 2 11 2 1 xax x 整理得 082 1 2 1 axx 同理可得 2 22 280 xax 8 2082 2121 2 21 xxaxxaxxxx两两两两两两 2 4 2 a aAB两两两两两 又 22 12 1212 1212 44 42 AB xx yyxxa k xxxx 2 2 22 aa AByxa 直线的方程为 2 2 a yxAB 即过定点0 2 10 分 由 知AB中点 2 4 2 a aN 2 2 a AByx 直线的方程为 当0a 时 则AB的中垂线方程为 2 2 4 2 ax a a y AB 的中垂线与直线2 y的交点 3 12 2 4 aa M 32 2 22222 1241 2 8 4 4216 aaa MNaaa 8 4 4 4 1 22 21 2 21 2 aaxxxx a AB 若ABM 为等边三角形 则 3 2 MNAB 8 4 4 3 4 8 16 1 22222 aaaa 解得 2 4 2 aa此时 2 2 E 当0a 时 经检验不存在满足条件的点E 综上可得 满足条件的点E存在 坐标为 2 2 E 15 分 4 2 2 重庆八中一诊重庆八中一诊 19 本小题满分 12 分 已知函数 bx ax xf 2 在1 x处取得极值为 求函数 xf的解析式 若函数 xf在区间 21 mm 上为增函数 求实数的取值范围 若 00 P xy为 bx ax xf 2 图象上的任意一点 直线l与 bx ax xf 2 的图象 相切于点 求直线l的斜率的取值范围 19 解 已知函数 bx ax xf 2 22 2 2 bx xaxbxa xf 分 又函数 xf在1 x处取得极值 2 2 1 0 1 f f 分 即 1 4 2 1 02 1 b a b a aba 1 4 2 x x xf 4 分 22 2 22 2 1 44 1 2 4 1 4 x x x xxx xf 由0 xf 得 044 2 x 即11 x 所以 1 4 2 x x xf的单调增区间为 1 1 6 分 因函数 xf在 m 2m 1 上单调递增 则有 mm m m 12 112 1 分 解得01 m即 01 m时 函数 xf在 m 2m 1 上为增函数 分 22 2 2 1 2 4 1 4 1 4 x xxx xf x x xf 直线l的斜率 22 0 2 0 2 0 0 1 8 1 4 x xx xfk 分 即k 1 1 1 2 4 2 0 22 0 xx 令 10 1 1 2 0 tt x 分 则 10 2 4 2 tttk 4 2 1 k 即直线l的斜率 k 的取值范围是 4 2 1 1 分 20 本小题满分 12 分 已知CBA 均在椭圆 1 1 2 2 2 ay a x M上 直线AB AC 分别过椭圆的左右焦点 1 F 2 F 当 12 0AC FF 时 有 2 121 9AFAFAF 5 求椭圆M的方程 设是椭圆M上的任一点 EF为圆 12 2 2 yxN的任一条直径 求 PFPE 的最大值 20 解 因为 12 0AC FF 所以有 12 ACFF 所以 12 AFF 为直角三角形 1122 cosAFF AFAF 2 分 则有 22 2 121212211 99cos9AF AFAF AFF AFAFAFAF 所以 12 3AFAF 3 分 又aAFAF2 21 12 3 22 aa AFAF 4 分 在 12 AFF 中有 222 1212 AFAFFF 即 1 4 22 3 2 22 a aa 解得2 2 a 所求椭圆M方程为1 2 2 2 y x 6 分 NPNFNPNEPFPE 1 222 NPNFNPNPNFNPNF 从而将求PFPE 的最大值转化为求 2 NP的最大值 8 分 是椭圆M上的任一点 设 00 y xP 则有1 2 2 0 2 0 y x 即 2 0 2 0 22yx 又 2 0N 所以 2 22 2 000 2210NPxyy 10 分 而 1 1 0 y 所以当 0 1y 时 2 NP取最大值9 故PFPE 的最大值为8 12 分 21 本小题满分12分 已知函数 01 1 x f xx x 的反函数为 1 fx 数列 n a 和 n b 满足 1 1 2 a 1 1 nn afa 函数 1 yfx 的图象在点 1 nfnnN 处 的切线在轴上的截距为 n b 1 求数列 n a 的通项公式 2 若数列 2 n nn b aa 的项仅 5 2 55 b aa 最小 求的取值范围 3 令函数 2 1 2 1 1 x g xfxf x x 0 1x 数列 n x 满足 1 1 2 x 01 n x 且 1 nn xg x 其中n N 证明 222 32121 12231 5 16 nn nn xxxxxx x xx xx x 6 21 解析 1 令 1 x y x 解得 1 y x y 由0 1x 解得 0y 函数 f x 的反函数 1 0 1 x fxx x 则 1 1 1 n nn n a afa a 得 1 11 1 nn aa 1 n a 是以2为首项 l为公差的等差数列 故 1 1 n a n 3分 2 1 0 1 x fxx x 1 2 1 1 fx x 1 yfx 在点 1 n fn 处的切线方程为 2 1 1 1 n yxn nn 令 0 x 得 2 2 1 n n b n 2 22 2 1 24 n nn b nnn aa 仅当 5n 时取得最小值 4 55 5 2 解之9 11 的取值范围为 9 11 7分 3 2 1 2 1 1 x g xfxf x x 2 22 12 1111 xxxx xxxx 0 1 x 则 1 2 1 1 1 n nnnn n x xxxx x 因0 1 n x 则 1nn xx 显然 12 1 1 2 nn xxx 1 2 1111121 1 2 14482 22 12 1 n nnnn n n n x xxxx x x x 2 11 11 1111 1121 11 8 nnnn nnnn nnnnnnnn xxxx xxxx x xx xxxxx 222 23112 12231 nn nn xxxxxx x xx xx x 12231 21111111 8 nn xxxxxx 111 21 11211 2 88 nn xxx 11 1 2 nn xxx 1 1 1 2 n x 1 1 12 n x 1 1 021 n x 222 32121 122311 3 1 211215 2 2 88816 nn nnn xxxxxx x xx xx xx 12分 3 3 盐城一模盐城一模 7 18 本小题满分 16 分 已知在 ABC中 点A B的坐标分别为 0 2 和 0 2 点C在x轴上方 若点C的坐标为 3 2 求以A B为焦点且经过点C的椭圆的方程 若 45 ACB 求 ABC的外接圆的方程 若在给定直线yxt 上任取一点P 从点P向 中圆引一条切线 切点为 Q 问是否存在一个定点M 恒有PMPQ 请说明理由 19 本小题满分 16 分 设等比数列 n a的首项为 1 2a 公比为q q为正整数 且满足 3 3a是 1 8a与 5 a的 等差中项 数列 n b满足 2 3 2 0 2 nn ntb nb tR nN 求数列 n a的通项公式 试确定t的值 使得数列 n b为等差数列 当 n b为等差数列时 对每个正整数k 在 k a与 1k a 之间插入 k b个 2 得到 一个新数列 n c 设 n T是数列 n c 的前n项和 试求满足 1 2 mm Tc 的所