2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（山东卷含答案）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 山东卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 山东卷 含答案 第第 1 1 卷 共卷 共 6060 分 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 已知全集 集合 则R U 2 40Mx x UM 22xx pp 22xx C D 22x xx pf或 22x xx 或 2 已知 其中 为虚数单位 则 2ai bi i a bR iab A 1 B 1 C 2 D 3 3 13 log 2 x xf 的值域为 A B C D 0 0 1 1 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两个平面平行 5 设为定义在上的函数 当时 则 f xR0 x 22 x f xxb b 为常数 1 f A 3 B 1 C 1 D 3 6 在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均分值为和方差分别为 A 92 2 B 92 2 8 C 93 2 D 93 2 8 7 设是首项大于零的等比数列 则 是 数列是递增数列 的 n a 12 aap n a A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分而不必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知某生产厂家的年利润 单位 万元 与年产量 单位 万件 的函数关系式为yx 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 3 1 81234 3 yxx A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 2 9 已知抛物线 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于两点 若线段的中 2 2 0 ypx p f A BAB 点的纵坐标为 2 则该抛物线的标准方程为 A B 1x 1x C D 2x 2x 10 观察 由归纳推理可得 若定义在上的函数满 2 2xx 4 2 4xx cos sinxx R f x 足 记的导函数 则 fxf x g xf x为 gx A B C D f x f x g x g x 11 函数的图像大致是 2 2xyx 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 令 e am n bp q abmqmp e 下面说法错误的是 A 若共线 则ab与0ab e B abba ee C 对任意的 Raa ee有 b b D 22 22 aba bab e 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 执行右图所示流程框图 若输入 则输出的值为 4x y 14 已知 且满足 则的最大值 x yR 1 34 xy xy 为 3 15 在中 角所对的边分别为 ABC ABC a b c 若 2 2 ba 2cossin BB 则角的大小为A 16 已知圆过点 且圆心在轴的正半轴上 直C 1 0 x 线 1 xyl 被该圆所截得的弦长为 则圆的标准方2 2C 程为 三 解答题 本题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 已知函数的最小正周期为 2 sin coscos 0 f xxxx 求的值 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的2 1 纵坐标不变 得到函数 yf x 的图像 求函数在区间上的最小值 yg x g x0 16 18 本小题满分 12 分 已知等差数列满足 的前 项和为 n a 357 7 26aaa n an n S 求及 n a n S 令 求数列的前项和 2 1 1 n n bnN a n anTn 19 本小题满分 12 分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为 1 2 3 4 从袋中随机取出两个球 求取出的球的编号之和不大于的概率 4 先从袋中随机取一个球 该球的编号为 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的m 编号为 求的概率 n2nm 20 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形是正方形 分别为ABCDBCDAMA平面 PD MAEGF 4 的中点 且 MBPCPB 2MAPDAD 求证 平面 PDCEFG平面 求三棱锥 的体积之比与四棱锥ABCDPMABP 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 1 1 Ra x a axnxxf 当处的切线方程 在点 时 求曲线 2 2 1fxfya 当时 讨论的单调性 1 2 a f x 22 本小题满分 14 分 如图 已知椭圆过点 1 离心率为 左右焦点分别为 点1 2 2 2 2 b y a x ab0 2 2 2 2 12 FF 为直线 上且不在轴上的任意一点 直线和与椭圆的交点分别为和Pl2xy x 1 PF 2 PFAB 为坐标原点 CD O 求椭圆的标准方程 设直线 斜率分别为 1 PF 2 PF 1 k 2 k 证明 i 12 13 2 kk 问直线 上是否存在一点 使直线的斜率满足lPOAOBOCOD OAOBOCOD kkkk 若存在 求出所有满足条件的点的坐标 若不存在 说明理由 0 OAOBOCOD kkkk P 20102010 普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 文科数学试题参考答案及评分标准文科数学试题参考答案及评分标准 5 一 选择题 本题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分 60 分 1 C 2 B 3 A 4 D 5 A 6 B 2 12 222 0 1 00 00 1 1110 1 1 0 2 2 1 00 2 xg xfx axx a xxx f x a abc 时 此时单调递减 7 C 8 C 9 B 10 D 11 A 12 B 由 知 2 1 4 2sin 2 2 xxf 所以 2 1 4 4sin 2 2 2 xxfxg 当 6 0 x 时 24 4 4 x 所以 1 4 4sin 2 2 x 6 因此 12 1 2 g x 故 在区间内的最小值为 1 g x0 16 18 本小题主要考察等差数列的基本知识 考查逻辑推理 等价变形和运算能力 所以数列的前项和 n bn n T 4 1 n n 19 本小题主要考察古典概念 对立事件的概率计算 考察学生分析问题 解决问题的能力 满分 12 分 7 20 本小题主要考查空间中的线面关系 考查线面垂直 面面垂直的判定及几何体体积的计算 考查试 图能力和逻辑思维能力 满分 12 分 I 证明 由已知ABCD PDMA MA 平面 所以 PDABCD 平面 又 BCABCD 平面 所以 PDDC 因为 四边形为正方形 ABCD 所以 BCDC 又 PDDC D 因此 BCPDC 平面 在中 因为分别为的中点 PBCAGF PBPC 所以 GFPC 因此 GFPDC 平面 又 GFEFG 平面 所以 EFGPDC 平面平面 解 因为 四边形为正方形 不妨设 PDABCD 平面ABCDMA 1 8 则 PD AD 2 所以 P ABCDABCD 1 V S 3 正方形 8 PD 3 由于的距离 且DAMAB 面PDMA 所以即为点到平面的距离 DAPMAB 三棱锥 3 2 221 2 1 3 1 V MAB P 所以 4 1V V ABCD PMAB P 21 本小题主要考查导数的概念 导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力 考查分类讨论思想 数形结合思想和等价变换思想 满分 12 分 1 当时 0a 1g xx 0 x 所以 当时 此时 函数单调递减 0 1 x 0g x 0fx f x 当函数 0 1 0 0 xg xfx 时 此时 f x 单调递减 2 当时 由 0a 0fx 即 解得 2 10 axxa 12 1 1 1 2 xx 9 当时 恒成立 此时 函数f 在上单调递减 1 2 a 12 xx 0g x 0fx f x 0 当时 1 0 2 a 1 110 a 时 此时 函数单调递减 0 1 x 0g x 0fx f x 时 此时 函数单调递增 1 1 1 x a 0g x 0fx f x 时 此时 函数单调递减 1 1 x a 0g x 0fx f x 22 本小题主要考查椭圆的基本概念和性质 考查直线与椭圆的位置关系 考查数形结合思想 分类讨论 思想以及探求解决新问题的能力 解 因为椭圆过点 1 e 2 2 2 2 所以 22 11 1 2ab 2 2 c a 又 222 abc 所以211abc 10 故 所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y II 1 证明 方法二 1 1 P 0 0 2 0 0 100 x y k x y kyx则 设 因为点 P 不在 x 轴上 所以 0 0 y 又 2 00 yx 所以 2 22413131 0 0 0 0 0 0 0 0 21 y y y x y x y x kk 因此结论成立 解 设 AA A xy BB B xy CC C xy DD D xy 11 1 2 1 0 0 0 2 2 2 2 2 k k kkkxx ODOCDc 故 12 22 12 11 OAOBOCOD kk kkkk kk 22 121122 22 12 2 1 1 k kkk kk kk 1212 22 12 2 1 1 1 k kkk kk 若 须有 0 或 1 0 OAOBOCOD kkkk