2019-2020学年九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用教案 （新版）新人教版

2828 2 2 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 1 理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形 2 会利用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 3 了解仰角 俯角 方位角 坡度 坡角等有关概念 知道坡度与坡角之间的关系 4 经历对实际问题的探究 会利用解直角三角形的知识解决实际问题 5 在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题 并综合运用数学知识解决简单实际问 题 1 综合运用所学知识解直角三角形 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 培养学生 思维能力的灵活性 2 通过学习 发展分析 归纳 抽象 概括的能力 培养学生从已有的知识 特殊图形中 去感知 迁移 3 通过画示意图 将实际问题转化为数学问题 发展学生的抽象概括能力 提高应用数学知 识解决实际问题的能力 4 经历从实际问题中建立数学模型的过程 增强应用意识 体会数形结合思想的应用 1 在探索解直角三角形的过程中 渗透数形结合思想 培养学生综合运用知识的能力和良 好的学习习惯 2 在探究活动中 培养学生的合作交流意识 让学生在学习中感受成功的喜悦 增强学习数 学的信心 3 通过根据实际问题画示意图的过程 培养学生的动手能力 激发学生对数学的好奇心和 求知欲 4 通过将实际问题转化为数学问题 培养建模思想 提高分析问题 解决问题的能力 5 调动学生学习数学的积极性和主动性 培养学生认真思考等学习习惯 形成实事求是的 科学态度 重点 1 理解解直角三角形的概念 掌握解直角三角形的方法 2 用三角函数有关知识解决仰角 俯角 方位角 坡度 坡角等有关问题 3 能根据题意画出示意图 将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系 难点 理解并掌握解直角三角形的方法 正确理解题意 将实际问题转化为数学模型 28 2 1 解直角三角形 1 理解直角三角形中五个元素之间的关系及什么是解直角三角形 2 会利用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 1 综合运用所学知识解直角三角形 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 2 通过学习 发展分析 归纳 抽象 概括的能力 培养学生从已有的知识 特殊图形中 去感知 迁移 1 在探索解直角三角形的过程中 渗透数形结合思想 培养学生综合运用知识的能力和良 好的学习习惯 2 在探究活动中 培养学生的合作交流意识 让学生在学习中感受成功的喜悦 增强学习数 学的信心 重点 理解解直角三角形的概念 掌握解直角三角形的方法 难点 理解并掌握解直角三角形的方法 教师准备 多媒体课件 学生准备 复习 记忆特殊三角函数值 导入一 复习提问 1 在 rt abc中 c 90 a b c所对的边分别为a b c 则a b c a b这五 个元素之间有哪些等量关系呢 学生活动 学生独立思考后 小组合作交流 小组代表回答问题 教师点拨 并归纳五 个元素之间的关系 课件展示 1 三边之间关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 两锐角之间关系 a b 90 3 边角之间关系 sina cosa tana a c b c a b 2 回忆 30 45 60 角的正弦 余弦 正切值 导入二 在本章引言中我们曾经描述过比萨斜塔倾斜程度的问题 把 1972 年的情形抽象为数学问 题为 设塔顶中心点为b 塔身中心线与垂直中心线的夹角为 a 过点b向垂直中心线引垂 线 垂足为c 如图 在 rt abc中 c 90 bc 5 2m ab 54 5m 求 a的度数 师生活动 学生独立思考后回答 教师点评 sina 0 0954 bc ab 5 2 54 5 利用计算器可得 a 5 28 追问 在 rt abc中 你还能求出其他的边和角吗 师生活动 学生思考后回答解题思路 教师把问题一般化 引出本节课课题 过渡语 一般地 在直角三角形中 除直角外 共有五个元素 即三条边和两个锐角 在 直角三角形中 已知三角形的一些边角元素 我们可以求解直角三角形中的其他元素 什么情 况能求解 如何求解就是我们这节课要学习的主要内容 设计意图 通过回顾直角三角形中边与角 边与边 角与角之间的数量关系 为本节课 的学习做好铺垫 以实际问题导入新课 体会数学来源于生活 激发学生学习兴趣 同时通过 已知直角三角形的一些元素求出直角三角形的其他元素 很自然地过渡到本节课的课题 一 共同探究 思路一 探究 1 在 rt abc中 a 60 ab 30 你能求出这个直角三角形的其他元素吗 2 在上图中 若ac bc 你能求出这个直角三角形的其他元素吗 26 3 在上图中 若 a 60 b 30 你能求出这个直角三角形的其他元素吗 4 在直角三角形中 知道几个元素就可以求出其他元素 师生活动 小组合作交流解题思路 注意在解题过程中方法的多样性 教师根据学生 的回答进行汇总归纳 课件展示 1 在直角三角形的六个元素中 除直角外的五个元素 只要知道两个元素 其中至少有一 条边 就可以求出其余的三个未知元素 2 定义 由直角三角形中的已知元素 求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形 3 解直角三角形 只有两种 已知两条边 已知一条边和一个锐角 思路二 思考 如图 在 rt abc中 c 90 已知直角三角形的几个元素可以求出其他元素 1 已知直角三角形中的一个元素 能求其他元素吗 2 已知直角三角形中的两个元素 有几种可能的情况 一边和一角 两边 两角 3 举例说明已知直角三角形的两个元素 怎样求其他元素 4 你能归纳解直角三角形有几种基本类型吗 具体解法步骤是什么 师生活动 学生在教师提出的问题的引导下 小组合作交流 回答解题思路 教师根据 学生的回答进行汇总归纳 学生回答问题过程中注意解题方法的多样性 课件展示 1 在直角三角形的六个元素中 除直角外的五个元素 只要知道两个元素 其中至少有一 条边 就可以求出其余的三个未知元素 2 定义 由直角三角形中的已知元素 求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形 3 解直角三角形 只有两种 已知两条边 已知一条边和一个锐角 4 解直角三角形的步骤 图形已知类型已知条件解法步骤 斜边 一直角边 如 c a 1 b c2 a2 2 由 sin a 求 a a c 3 b 90 a 两边 两直角边 a b 1 c a2 b2 2 由 tan a 求 a a b 3 b 90 a 一边一角 斜边 一锐角 如 c a 1 b 90 a 2 由 sin a 得 a c a c sin a 3 由 cos a 得 b c b c cos a 一直角边 一锐角 如 a a 1 b 90 a 2 由 tan a 得b a b a tana 3 由 sin a 得c a c a sina 设计意图 学生在教师问题的引导下思考分析 合作交流并归纳结论 学生经历概念的 形成过程 理解掌握解直角三角形的概念 提高学生分析问题的能力 培养学生的发散思维能 力 二 例题讲解 如图 在 rt abc中 c 90 ac bc 解这个直角三角形 26 教师引导分析 1 已知线段ac bc是 a的邻边和对边 用哪个三角函数可以表示它们之间的等量关系 2 已知 a的三角函数值可以求 a的度数吗 3 已知 a的度数怎样求 b的度数 4 你有几种方法可以求斜边ab的长 学生活动 思考后独立完成 小组内交流答案 小组代表板书过程 课件展示 解 tana bc ac 6 23 a 60 b 90 a 90 60 30 ab 2ac 2 2 如图 在 rt abc中 c 90 b 35 b 20 解这个直角三角形 结果保留小数 点后一位 教师引导分析 由 b 35 可得 a 由 b 35 及它的对边 b 20 根据 可得a 由 b 35 及它的对边b 20 根据 可得c 追问 你还有其他方法求c的值吗 学生活动 在教师提出的问题的引导下 独立完成解答过程 小组内交流答案 组长指 出组内成员的错误 并帮助改正 教师对学生的板书进行点评 强调规范性 并鼓励学生用多 种方法求解 课件展示 解 a 90 b 90 35 55 tanb a 28 6 b a b tanb 20 tan35 sinb c 34 9 b c b sinb 20 sin35 设计意图 通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法 进一步训练学生学会灵活 运用直角三角形的有关知识解直角三角形 并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解 同 时提高学生分析问题和解决问题的能力 通过规范书写过程 培养学生严谨的学习态度 知识拓展 1 直角三角形中一共有六个元素 即三条边和三个角 除直角外 另外的五 个元素中 只要已知一条边和一个角或两条边 就可以求出其余的所有未知元素 2 运用关系式解直角三角形时 常用到下列变形 锐角之间的关系 a 90 b b 90 a 三边之间的常用变形 a b c c2 b2c2 a2a2 b2 3 边角之间的常用变形 a c sina b c cosa a b tana a c cosb b c sinb b a tanb 4 虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种 但为了计算方便 最好遵循 先求角后求 边 和 宁乘不除 的原则 5 选择关系式时要尽量利用原始数据 以防 累积误差 6 遇到不是直角三角形的图形时 要适当添加辅助线 将其转化为直角三角形求解 1 解直角三角形的概念 2 直角三角形中五个元素之间的关系 1 三边之间关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 两锐角之间关系 a b 90 3 边角之间关系 sina cosa tana a c b c a b 3 解直角三角形的基本类型及解法步骤 参考前面表格 1 由直角三角形中已知的元素 求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形 已知一个直 角三角形中 1 两条边的长度 2 两个锐角的度数 3 一个锐角的度数和一条边的长度 利用上述条件中的一个 能解这个直角三角形的是 a 1 2 b 1 3 c 2 3 d 1 2 3 2 在 abc中 a b c分别是 a b c的对边 如果a2 b2 c2 那么下列结论正确的是 a csina a b bcosb c c atana b d ctanb b 3 在 rt abc中 c 90 b 30 bc 6 则ab的长为 4 根据下列条件解直角三角形 1 在 rt abc中 c 90 b 4 c 8 2 在 rt abc中 c 90 a 60 a 12 答案与解析 1 b 解析 能解的直角三角形有两种 已知两边 已知一边和一锐角 故选 b 2 a 解析 由a2 b2 c2 得 c 90 sin a cos b tan a tan b csin a a a c a c a b b a ccos b a btan a a atan b b 故选 a 3 4 解析 cos b bc 6 ab 4 3 bc ab 3 2 bc cosb3 4 解 1 c 90 b 4 c 8 a 4 c2 b282 423 cos b b 30 a c 3 2 a 180 90 30 60 2 c 90 a 60 b 180 90 60 30 tan a tan 60 a 12 a b3 b 4 c 2b 8 33 28 2 1 解直角三角形 1 共同探究 3 例题讲解 例 1 例 2 一 教材作业 二 课后作业 基础巩固 1 在 rt abc中 c 90 sina 则 b等于 1 2 a 30 b 45 c 60 d 90 2 在 rt abc中 c 90 b 35 ab 7 则bc的长为 a 7sin35 b c 7cos35 d 7tan35 7 cos35 3 在 rt abc中 c 90 ac 1 bc 2 则下列结论正确的是 a sinb b cosb c tanb 2 d ab 5 5 2 53 4 在 rt acb中 c 90 ab 10 sina 则bc的长为 3 5 a 6 b 7 5 c 8 d 12 5 5 如果等腰三角形的底角为 30 腰长为 6cm 那么这个三角形的面积为 a 4 5cm2 b 9cm2c 18cm2 d 36cm2 33 6 在 rt abc中 c 90 b 10 a 30 则a 7 在 rt abc中 c 90 ac 5 ab 5 则 a bc 2 8 如图 在 rt abc中 斜边bc上的高ad 4 cosb 则ac 4 5 9 根据下列条件解直角三角形 1 在 rt abc中 c 90 ab 10 bc 5 2 在 rt abc中 c 90 a 60 bc 3 10 如图 已知在 abc中 ad是bc边上的高 e为边ac的中点 bc 14 ad 12 sinb 求 4 5 1 线段dc的长 2 tan edc的值 能力提升 11 如图 在 rt abc中 acb 90 若ab 4 sina 则斜边ab上的高cd为 3 5 12 如图 在 abc中 ab 2 ac 以点a为圆心 1 为半径的圆与边bc相切于点d 则 2 bac的度数是 13 如图 在 abc中 a 30 b 45 ac 2 则ab的长为 3 14 如图 在菱形abcd中 de ab于点e cosa be 4 求 tan dbe的值 3 5 拓展探究 15 如图 在 rt abc中 acb 90 cd是斜边ab上的中线 过点a作ae cd ae分别与 cd cb相交于点h e ah 2ch 1 求 sinb的值 2 如果cd 求be的长 5 答案与解析 1 c 解析 由 sina 得 a 30 则 b 90 a 60 故选 c 1 2 2 c 解析 cosb bc 7cosb 7cos35 故选 c bc ab bc 7 3 a 解析 在 rt abc中 c 90 ac 1 bc 2 ab sinb cosb tanb 故选 5 5 5 25 5 1 2 a 4 a 解析 c 90 ab 10 sina bc 10 6 故选 a bc ab 3 5 3 5 5 b 解析 如图 作底边上的高ad 若 b 30 ab 6cm 则ad absinb 6 3 cm 1 2 bd abcosb 6 3 cm bc 2bd 6cm ad bc 3 6 9 cm2 3 233 s abc 1 2 1 233 故选 b 6 解析 cosa b 10 c a c 103 3 b c 3 2 203 3 1 2 103 3 7 45 5 解析 cosa a 45 c 90 b a 45 bc ac 5 ac ab 2 2 8 5 解析 在 rt abc中 cosb sinb tanb 在 rt abd中 ad 4 4 5 3 5 sinb cosb 3 4 ab 在 rt abc中 tanb ac 5 ad sinb 4 3 5 20 3 ac ab 3 4 20 3 9 解 1 根据勾股定理可得ac 5 又 sina a 30 b 90 102 523 bc ab 1 2 a 60 2 在 rt abc中 c 90 b 90 a 30 又 sina ab 2 由勾股定理可得 bc ab 3 2 ac 1 22 3 2 10 解 1 ad是bc边上的高 abd和 acd都是直角三角形 在 rt abd中 sinb 又ad 12 ab 15 bd 9 又 bc 14 cd 5 4 5 ad ab 4 5 ab2 ad2 2 在 rt acd中 e为斜边ac的中点 ed ec ac c edc tan edc 1 2 tanc ad dc 12 5 11 解析 在 rt abc中 ab 4 sina bc absina 根据勾股定理得 48 25 3 5 12 5 ac ac bc ab cd cd ab2 bc2 16 5 s abc 1 2 1 2 ac bc ab 16 5 12 5 4 48 25 12 105 解析 如图 连接ad 则ad bc 在 rt abd中 ab 2 ad 1 则 sinb ad ab 1 2 b 30 bad 60 同理 在 rt acd中 得到 cad 45 因而 bac的度数是 105 13 3 解析 如图 过c作cd ab于d adc bdc 90 b 45 bcd 3 b 45 cd bd a 30 ac 2 cd bd cd 由勾股定理得ad 333 3 ab ad bd 3 ac2 cd23 14 解 四边形abcd是菱形 ad ab cosa be 4 de ab 设ad ab 5x ae 3x 则 3 5 5x 3x 4 x 2 即ad 10 ae 6 在 rt ade中 由勾股定理得de 8 在 rt bde 102 62 中 tan dbe 2 de be 8 4 15 解 1 ae cd acb 90 ahc acb 90 cd是ab上的中线 cd ad bd ab dac dca b dcb b cah ah 2ch ch ah ac 1 2 sinb 1 25 sin cah ch ac 5 5 2 由 1 可知 ac bc ab 1 2 ce ac ae 1 2 cd ab 2 ac 2 bc 4 ce 1 5555 be bc ce 4 1 3 在教学设计中 通过回顾复习直角三角形中边与边 角与角 边与角之间的关系 为下一 步解直角三角形打下基础 再通过解决比萨斜塔问题引入解直角三角形知识的必要性 激发 学生学习本节课的学习兴趣 同时解决章前导入问题 做到首尾呼应 通过解含有特殊角的直 角三角形的探究活动 归纳出解直角三角形的概念及基本形式和方法步骤 由浅入深地引导 探究 学生更易于掌握本节课的重点和难点 同时培养了学生的归纳总结能力 通过例题学会 灵活运用直角三角形知识解决问题 加深对解直角三角形的认识 培养学生分析问题 解决 问题的能力及严谨地求学精神 本节课的重点是解直角三角形 教学设计中追求新理念在课堂中的应用 重视学生参与课 堂 所以教学设计中以问题为引领 小组合作交流为主要教学活动形式 预期学生课堂气氛活 跃 人人参与课堂 让每个学生体验成功的快乐 但在授课过程中过于追求形式 课堂中的讨 论交流只是流于形式 所以在以后的教学活动中多关注学生小组交流时的效率 复习直角三角形三边之间的关系 角之间的关系及边角之间的关系 为本节课的学习打下 基础 同时以生活实际问题导入新课 激发学生学习兴趣 调动学生学习的积极性 通过探究 已知直角三角形的两个元素求其他元素的过程 很自然地引出解直角三角形的概念 学生经 历概念的形成过程 更利于理解与掌握 例题的分析讲解 让学生体会解直角三角形的方法 提高学生学习能力 培养良好的思维习惯 更新教学理念 提高课堂效率 1 新课程改革要求 让学生通过交流 合作 讨论的方式 积极探索 改进学习方法 提高 学习质量 逐步形成正确地数学价值观 以这一理念为前提 在教学设计中以解决章前比萨斜 塔问题导入新课 让学生体会数学与生活之间的联系 激发学生的学习兴趣 在各个环节的教 学设计中 始终以学生活动为主 教师只是课堂的引导者 通过动手操作 动脑思考 小组合 作 共同归纳等数学活动 让学生参与课堂活动 注重学生对待学习的态度是否积极主动 注 重以问题形式引导学生从数学的角度去思考问题 同时利用尝试教学 让学生暴露思维过程 通过学生之间的质疑解决问题 在课堂上留给学生足够的空间思考和展示自己 让学生在充 满情感的 和谐的课堂氛围中体验成功的快乐 从而提高了学生在课堂上的学习效率 2 本节课是 解直角三角形 的第一课时 在本章内容中起着承上启下的作用 通过前边 学过的三角函数知识 结合勾股定理和直角三角形中的有关性质 求出直角三角形中的未知 元素是本节课的重点 它是下节课解决实际问题的基础 要注重培养学生数学能力和数学思 维的提高 如图 在 rt abc中 c 90 点o在ab上 以o为圆心 oa长为半径的圆与 ac ab分别交于点d e 且 cbd a 若ad ao 8 5 bc 2 求bd的长 解 连接de ae是 o的直径 ade 90 ad ao 8 5 cosa ad ae 4 5 c 90 cbd a cos cbd bc bd 4 5 bc 2 bd 5 2 如图 ac是矩形abcd的对角线 ab 2 bc 2 点e f分别是线段ab ad上的点 3 连接ce cf 当 bce acf 且ce cf时 ae af 解析 如图 作fg ac于g 易证 bce gcf be gf bc cg 在 rt abc中 4 3 3 tan acb acb 30 ac 2ab 4 dac acb 30 fg ac af 2gf ab bc 2 23 3 3 ae af ae 2be ab be 设be x 在 rt afg中 ag gf x ac ag cg x 2 4 3333 解得x 2 ae af ab be 2 2 4 3 3 4 3 3 4 3 3 28 2 2 应用举例 1 了解仰角 俯角 方位角 坡度 坡角等有关概念 知道坡度与坡角之间的关系 2 经历对实际问题的探究 会利用解直角三角形的知识解决实际问题 3 在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题 并综合运用数学知识解决简单实际问 题 1 通过画示意图 将实际问题转化为数学问题 发展学生的抽象概括能力 提高应用数学知 识解决实际问题的能力 2 经历从实际问题中建立数学模型的过程 增强应用意识 体会数形结合思想的应用 3 通过探究将实际问题转化为数学问题的过程 培养学生分析问题和解决问题的能力 培 养学生思维能力的灵活性 1 通过根据实际问题画示意图的过程 培养学生的动手能力 激发学生对数学的好奇心和 求知欲 2 通过自主学习 合作交流 体验成功的快乐 增强学习数学的自信心 培养学生勇于探索 的创新精神 3 调动学生学习数学的积极性和主动性 培养学生认真思考等学习习惯 形成实事求是的 科学态度 重点 1 用三角函数有关知识解决仰角 俯角 方位角 坡度 坡角等有关问题 2 能根据题意画出示意图 将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系 难点 正确理解题意 将实际问题转化为数学问题 第课时 1 了解仰角 俯角等有关概念 经历对实际问题的探究 会利用解直角三角形的知识解决 实际问题 2 通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题 并综合运用数学知识解决简单实 际问题 1 经历将实际问题转化为数学问题的探究过程 提高应用数学知识解决实际问题的能力 2 通过探索用解直角三角形知识解决仰角 俯角等有关问题 让学生体会数学知识的发生 发展 应用过程 并发展学生的动手能力 3 经历从实际问题构建数学模型的过程 体会数学来源于生活又应用于生活 1 学生积极参与探索活动 并在探索过程中发表自己的见解 体会三角函数是解决实际问 题的有效工具 2 通过探索三角函数在实际问题中的应用 感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探 索的创新精神 3 让学生在自主探索 合作交流中获得成功的体验 建立自信心 让学生在解决问题的过 程中体会学数学 用数学的乐趣 重点 能根据题意画出示意图 将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系 难点 正确理解题意 将实际问题转化为数学模型的建模过程 导入一 复习提问 1 如图 在 rt abc中 c 90 a b c的对边分别为a b c 1 三边a b c有什么关系 2 a b有怎样的关系 3 边与角之间有怎样的关系 2 解直角三角形应具备怎样的条件 师生活动 学生回答问题 教师点评归纳 导入二 如图 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子ab的顶端 梯子与地面所成的角 一般 要满足 50 75 现有一架长 6m 的梯子 1 使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙 2 当梯子底端距离墙面 2 4m 时 等于多少度 此时人能否安全使用这架梯子 师生活动 学生小组内讨论解题思路 小组代表回答解题思路 教师巡视中帮助有困 难的学生 对学生的回答作出点评 然后导出新课 设计意图 通过复习解直角三角形的有关知识 为本节课的用解直角三角形解决实际问 题做好铺垫 以旧引新 帮助学生建立新旧知识间的联系 以解决生活实际问题引出新课 激 发学生的好奇心和求知欲 感受数学应用的意义 过渡语 刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题 在生活实际中还 有许多问题可以用解直角三角形的知识解决 让我们一起去探究吧 一 活动一 2012 年 6 月 18 日 神舟 九号载人航天飞船与 天宫 一号目标飞行器成功实 现交会对接 神舟 九号与 天宫 一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行 如 图 当组合体运行到地球表面p点的正上方时 从中能直接看到的地球表面最远的点在什么 位置 最远点与p点的距离是多少 地球半径约为 6400km 取 3 142 结果取整数 思路一 师生合作探究 1 从组合体上最远能直接看到的地球上的点 应该是视线与地球相切时的切点 2 根据题意画出平面图形 3 所要求的距离是图形中的哪条线段的长度 4 已知中有哪些条件 求弧长需要知道哪些条件 5 弧所对的圆心角在哪个三角形中 你能求出这个角的度数吗 如图 o表示地球 点f是组合体的位置 fq是 o的切线 切点q是从组合体中观测 地球时的最远点 弧pq的长就是地面上p q两点间的距离 为计算弧pq的长需先求出 poq 即 的度数 师生活动 教师通过提出的问题引导学生分析思考 指导学生画出平面图形 分析已 知条件和所求的结论 师生共同分析题意及解题思路后 学生独立完成并板书解题过程 课件展示 解 设 poq 在图 中 fq是 o的切线 foq是直角三角形 cos 0 9491 oq of 6400 6400 343 18 36 弧pq的长为 6400 6400 2051 km 18 36 180 18 36 3 142 180 由此可知 当组合体在p点正上方时 从中观测地球表面时的最远点距离p点约 2051km 思路二 教师引导思考 1 要解决实际问题 首先要做什么 将实际问题抽象成数学问题 2 如何根据题意画出平面图形 地球平面图形是圆 组合体近似看作点 3 从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置 过点作圆的切线 切点即为所求 学生操作 画出平面示意图 4 最远点与p点的距离在示意图中指的是什么的长 5 如何求这段距离 和圆有什么关系 6 如何将所需数据转化为解直角三角形的知识 师生活动 学生尝试根据图形写出解题思路 教师巡视过程中及时帮助有困难的学生 课 件展示解题过程 规范解题格式 课件展示 解答同思路一 设计意图 引导学生画出示意图 把实际问题转化为数学问题 分析实际问题中的数量 关系 利用解直角三角形的知识解决实际问题 让学生经历作图 分析过程 体会数形结合思 想在数学中的应用 提高学生分析问题 解决问题的能力 二 活动二 思考 平时我们观察物体时 我们的视线相对于水平线来说可有几种情况 归纳 视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的角是仰角 视线在水平线下方 的角是俯角 热气球的探测器显示 从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30 看这栋楼底部的俯角为 60 热 气球与楼的水平距离为 120m 这栋楼有多高 结果取整数 教师引导分析 1 如何根据题意画出符合题意的几何图形 画出示意图如图 2 分析题意 已知条件有哪些 3 你能直接求出ab的长吗 4 如何求出bc的长 线段bd与线段cd的和 5 在 rt abd中 能否求线段bd的长 6 在 rt acd中 能否求线段cd的长 师生活动 教师引导学生思考问题 然后独立完成解题过程 教师巡视过程中及时发 现问题 并帮助有困难的学生解决问题 然后课件展示解题过程 规范解题格式 课件展示 解 如图 30 60 ad 120 tan tan bd ad cd ad bd ad tan 120 tan30 120 40 3 33 cd ad tan 120 tan60 120 120 33 bc bd cd 40 120 33 160 277 m 3 因此 这栋楼高约为 277m 设计意图 学生在教师设计的问题串的引导下思考 独立完成解题过程 进一步让学生 体会将实际问题转化为数学问题的建模过程 培养学生建模思想 灵活应用解直角三角形知 识解决有关线段的长的计算问题 提高学生的数学思维及解题能力 三 活动三 思考 你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗 师生活动 学生思考后小组合作交流 共同归纳解题过程 教师对学生的回答以鼓励 为主 将学生的回答补充完整 归纳 1 将实际问题抽象成数学问题 画出示意图 将其转化为解直角三角形的问题 2 根据问题中的条件 适当选用锐角三角函数解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 设计意图 通过例题的探究 归纳解决实际问题的一般步骤 培养学生归纳总结能力和 建模思想 知识拓展 仰角与俯角都是视线与水平线的夹角 用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程 1 将实际问题抽象成数学问题 画出示意图 将其转化为解直角三角形的问题 2 根据问题中的条件 适当选用锐角三角函数等解直角三角形 3 得到数学问题的答案 4 得到实际问题的答案 1 如图 由d点测塔顶a点和塔基b点的仰角分别为 60 和 30 已知塔基高出地平面 20 米 即bc长为 20 米 塔身ab的高为 a 60 米 b 40米 c 40 米 d 20 米 3 2 如图 一飞机从一地平面指挥台c正上方 2000 米d处经过 沿水平方向飞行 稍后到达 b点 这时从地平面指挥台看飞机的仰角为 45 1 分钟后 飞机到达a点 这时从地平面指 挥台看飞机的仰角为 30 则飞机从b到a的速度 精确到 1 米 是 a 1461 米 分 b 1462 米 分 c 1463 米 分 d 1464 米 分 3 如图 从山顶a处看地面c点的俯角为 45 看地面d点的俯角为 30 测得cd 100 米 求 山ab的高度 结果保留根号 答案与解析 1 c 解析 adc 60 bdc 30 adb 30 a 30 ab bd 在 rt bcd中 bc 20 bd 40 ab 40 米 塔身的高为 40 米 故选 c 20 sin 30 2 d 解析 由题意知在 rt adc中 ad 2000米 在 rt bdc中 bd cd 2000 米 则 3 ab 2000 2000 米 由此求得飞机的速度约为 1464 米 分 故选 d 3 3 解 设山ab的高度为x米 在 rt abd中 adb 30 bd x ab tan 30 3 在 rt abc中 acb 45 bc x cd db bc x x 100 3 x 50 50 3 答 山ab的高度为 50 50 米 3 第 1 课时 1 活动一 2 活动二 3 活动三 一 教材作业 二 课后作业 基础巩固 1 课外活动小组测量学校旗杆的高度 如图 当太阳光线与地面成 30 角时 测得旗杆ab在 地面上的影长bc为 24 米 那么旗杆ab的高度是 a 12 米 b 8米 c 24 米 d 24米 33 2 如图 为测量一棵与地面垂直的树oa的高度 在距离树的底端 30 米的b处 测得树顶a的 仰角 abo为 则树oa的高度为 a 米 b 30sin 米 c 30tan 米 d 30cos 米 30 tan 3 如图 小颖利用有一个锐角是 30 的三角板测量一棵树的高度 已知她与树之间的水平距 离be为 5m ab为 1 5m 即小颖的眼睛到地面的距离 那么这棵树高是 a m b mc m d 4m 53 3 3 2 5 3 3 2 53 3 4 一棵树因雪灾于a处折断 如图 测得树梢触地点b到树根c处的距离为 4 米 abc约 45 树干ac垂直于地面 那么此树在未折断之前的高度约为 米 答案保留根号 5 如图 两建筑物的水平距离bc为 18m 从a点测得d点的俯角 为 30 测得c点的俯角 为 60 则建筑物cd的高度为 m 6 如图 张华同学在学校某建筑物的c点处测得旗杆顶部a点的仰角为 30 旗杆底部b点 的俯角为 45 若旗杆底部b点到建筑物的水平距离be 9 米 旗杆台阶高 1 米 求旗杆顶点 a离地面的高度 结果保留根号 能力提升 7 如图 小阳发现垂直于地面的电线杆ab的影子落在土坡的坡面cd和地面bc上 量得cd 8 米 bc 20 米 cd与地面成 30 角 且此时测得垂直于地面的 1 米杆的影长为 2 米 则电线 杆的高度为 a 9 米 b 28 米 c 7 米 d 14 2 米 33 8 如图 在建筑平台cd的顶部c处 测得大树ab的顶部a的仰角为 45 测得大树ab的底 部b的俯角为 30 已知平台cd的高度为 5m 则大树的高度为 m 结果保留根号 9 如图 为了知道空中一静止的广告气球a的高度 小宇在b处测得气球a的仰角为 18 他向前走了 20m 到达c处后 再次测得气球a的仰角为 45 已知小宇的眼睛距地面 1 6m 则此时气球a距地面的高度约为 结果精确到 1m 10 某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼 该居民楼的一楼是高 5 米的小区超市 超市以 上是居民住房 在该楼的前面 15 米处要盖一栋高 20 米的新楼 当冬季正午的阳光与水平线 的夹角为 32 时 1 超市以上的居民住房采光是否受影响 为什么 2 若要使超市以上的居民住房采光不受影响 两楼至少应相距多少米 结果保留整数 参考数据 sin32 cos32 tan32 53 100 106 125 5 8 拓展探究 11 如图 在电线杆上的c处引拉线ce cf固定电线杆 拉线ce和地面成 60 角 在离电线 杆 6 米的b处安置测角仪 在a处测得电线杆上c处的仰角为 30 已知测角仪ab高为 1 5 米 求拉线ce的长 结果保留根号 答案与解析 1 b 解析 在 rt abc中 bc 24 米 tan acb ab bc tan30 24 8 米 故选 ab bc 3 33 b 2 c 解析 由题意得ob 30 米 tan oa obtan 30tan 米 故选 c oa ob 3 a 解析 在 rt acd中 cad 30 ad be 5m cd adtan30 5 m 3 3 53 3 ce cd de cd ab m 故选 a 53 3 3 2 4 4 4 解析 在 acb中 c 90 abc 45 a 45 2 abc a ac bc bc 4 ac 4 由ac2 bc2 ab2 得ab 4 此树在 ac2 bc22 未折断之前的高度为 4 4 米 2 5 12解析 如图 过点d作de ab于点e 则四边形bcde是矩形 根据题意得 3 acb 60 ade 30 bc 18m de bc 18m cd be 在 rt abc中 ab bc tan acb 18 tan60 18 m 在 rt ade中 ae de tan ade 18 tan30 6 3 m 3 dc be ab ae 18 6 12 m 333 6 解 如图 作ch ab于h 在 rt ach中 ach 30 tan30 ah ch tan30 ah ch 9 3 米 在 rt chb中 hcb 45 tan45 bh ch tan45 9 米 旗 3 33 hb ch 杆顶点a离地面的高度为ah bh 1 10 3 米 3 7 d 解析 如图 延长ad交bc的延长线于f点 作de cf于e点 de 8sin30 4 ce 8cos30 4 测得 1 米杆的影长为 2 米 ef 2de 8 bf bc ce ef 20 4 8 28 4 33 电线杆ab的高度是 28 4 14 2 米 故选 d 3 1 233 8 5 5 解析 作ce ab于点e 在 rt bce中 be cd 5m ce 5m 在 rt ace 3 be tan30 3 中 ae ce tan45 5m ab be ae 5 5 m 33 9 11m 解析 如图 过点a作ad bc于点d 交fg于点e age 45 ae ge 在 rt afe中 设ae长是xm 则 tan afe 即 tan18 解得x 9 6 由题意知 ae ef x x 20 ed fb 1 6 ad 9 6 1 6 11 2 11 m 10 解 1 受影响 理由如下 如图 延长光线交cd于f 作fe ab于e 在 rt aef中 tan afe tan32 解得ae 9 故可得fc eb 20 9 10 5 即超市以上的居民 ae ef ae 15 5 8 75 8 3 8 3 8 5 8 住房采光要受影响 2 要使采光不受影响 则eb 5 米 ae 15 米 tan32 解得ef 24 米 即要使超市 15 ef 5 8 以上的居民住房采光不受影响 两楼应至少相距 24 米 11 解 如图 过点a作ah cd 垂足为h 由题意可知四边形abdh为矩形 cah 30 dh ab 1 5 ah bd 6 在 rt ach中 tan cah ch ah tan cah ch 6tan30 ch ah 6 2 dh 1 5 cd 2 1 5 在 rt cde中 ced 60 sin ced 3 333 cd ce ce 4 米 答 拉线ce的长为 4 米 cd sin60 23 1 5 3 2 33 本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题 教学的重 难点是建立数学模型 把 实际问题转化为数学问题 通过对知识点的梳理 分析例题的解题思路 例题变式练习及巩 固练习等教学设计 学生在教师的引导下 通过独立思考 自主学习 合作探究等数学活动 充分调动学生参与课堂的积极性 让学生敢于提出问题 分析问题 使不同层次的学生在数 学课堂上都得到发展 提高了解决问题的能力 课堂上绝大部分学生能很好地掌握了如何构 建模型的解决方法 很好地达到了本节课的教学目的 本节课是锐角三角函数的应用举例 学生对教材例 1 画出示意图 建立数学模型的理解 较难 给学生思考 交流时间较少 造成学生认为本节课的学习较难 失去了学习兴趣 在以 后对例 1 的教学中 教师多设计几个问题引导学生思考 给学生较长时间交流 计算 把理解 的难度通过问题降低 另外 对基础较差的学生 对该数学的应用不是那么得心应手 不会合 理找出边角关系 所以在以后教学中不宜多讲 多给学生时间思考与交流 本节课是解直角三角形的应用 难点是建立数学模型 把实际问题转化为数学问题 在教学 设计中 应该把注意力集中在学生的思维上 提高学生的思维品质 在课堂上 学生在教师提 出的问题的引导下 通过独立思考 自主学习 合作探究等数学活动 画出示意图 构建出数 学模型 然后独立完成解答 最后归纳解题思路和步骤 让课堂真正成为学生活动的场所 成 为展示自我的舞台 达到提高学生分析问题 解决问题的能力 提高学生数学思维的目的 培养数学建模思想 1 解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学 它是 把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题 对学生的分析问题能力要求较高 是学生 学习本章内容的难点 解决实际问题的过程是先把实际问题抽象出数学问题 通过解决数学 问题得到实际问题的答案 通过体验数学模型思想和数学建模过程 培养学生应用意识 发展 数学抽象能力 以及分析问题 解决问题的能力 同时这种处理方式符合学生的认知规律 有 利于调动学生学习的积极性 多种多样的实际问题能够激发学生学习数学的兴趣 2 课堂是学生活动的场所 是他们展示自我的舞台 在教学设计中 精心设计学生的数学 活动 让学生在教师的引导下 通过独立思考 自主学习 合作探究 归纳总结等数学活动 调动学生参与课堂的积极性 提高学生分析问题 解决问题的能力 提高学生的数学思维 使 不同层次的学生在数学课堂上都得到发展 第课时 1 了解方位角等有关概念 能准确把握所指的方位角是指哪一个角 2 了解坡度 坡角的有关概念 知道坡度与坡角之间的关系 3 经历对实际问题的探究 会利用解直角三角形的知识解决有关方位角 坡度 坡角的实 际问题 1 通过探究从实际问题中建立数学模型的过程 发展学生的抽象概括能力 提高应用数学 知识解决实际问题的能力 2 通过将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系 增强应用意识 体 会数形结合思想的应用 3 体验用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题的策略和方法 培养学生分析问题 和解决问题的能力 提高学生思维能力的灵活性 1 通过根据实际问题画示意图的过程 培养学生的动手能力 激发学生对数学的好奇心和 求知欲 2 在运用三角函数知识解决问题的过程中 认识数学具有抽象 严谨和应用广泛的特点 体会数学的应用价值 3 通过将实际问题转化为数学问题 培养建模思想 体会数形结合思想在数学中的应用 培 养学生良好的学习习惯 4 在合作交流的学习过程中 提高学生的合作意识及团队精神 重点 用三角函数有关知识解决方位角 坡度 坡角等有关问题 难点 准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 导入一 复习提问 1 在练习本上画出方向图 表示东南西北四个方向的 2 依次画出表示东南方向 西北方向 北偏东 65 度 南偏东 34 度方向的射线 师生活动 学生动手画图 小组内交流答案 教师巡视过程中发现学生易犯错误 作出 点评 导入二 如果你是修建三峡大坝的工程师 现在有这样一个问题请你解决 如图 水库大坝的横断面 是梯形 坝顶宽 6m 坝高 23m 斜坡ab的坡度i 1 3 斜坡cd的坡度i 1 2 5 求斜坡ab的 坡角 坝底宽ad和斜坡ab的长 师生活动 教师课件展示实际问题 学生审题 面对学生对没学过的概念的疑惑 教师 导出本节课课题 过渡语 在这个实际问题中 什么是坡度 坡角 如何解决这个实际问题 这就是我们 这节课要学习的内容 设计意图 通过复习有关方位角的概念 为本节课探究例题做好铺垫 以有关斜坡问题 的生活实例导入新课 让学生体会数学在生活中无处不在 同时激发学生的好奇心和求知欲 一 探究一 如图 一艘海轮位于灯塔p的北偏东 65 方向 距离灯塔 80nmile 的a处 它沿正南方向 航行一段时间后 到达位于灯塔p的南偏东 34 方向上的b处 这时 b处距离灯塔p有多远 结果取整数 思路一 教师引导分析 1 要求bp的长 常作的辅助线是什么 构造直角三角形 2 在 rt bpc中 要求bp的长 已知什么 需要求什么 3 题目中的已知条件是什么 在哪个直角三角形中 4 在 rt apc中 根据已知条件可以求出什么 5 结合 2 只要求出哪条线段的长即可 线段pc的长 6 根据以上分析 你能写出解答过程吗 师生活动 学生根据教师提出的问题思考后 独立完成解答过程 教师巡视过程中及 时辅导 鼓励学生用不同角度思考问题 最后展示学生的解答过程 学生点评与总结 解 在 rt apc中 pc pa cos 90 65 80 cos25 72 505 在 rt bpc中 b 34 sinb pc pb pb 130 nmile pc sinb 72 505 sin34 72 505 0 559 因此 当海轮到达位于灯塔p的南偏东 34 方向上的b处时 它距离灯塔p大约 130nmile 思路二 学生活动 1 根据题意 自己画出示意