广东省佛山市顺德区2020届高三数学上学期统一调研测验试题（一）文（含解析）

1 广东省佛山市顺德区广东省佛山市顺德区 20202020 届高三数学上学期统一调研测验试题 一 届高三数学上学期统一调研测验试题 一 文 含解析 文 含解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 若集合 a x 0 x 6 b x x2 x 2 0 则a b a x 1 x 6 b x x 2 或x 0 c x 2 x 6 d x x 2 或x 1 答案 b 解析 分析 可以求出集合b 然后进行并集的运算即可 详解 b x x 2 或x 1 a x 0 x 6 a b x x 2 或x 0 故选 b 点睛 本题考查描述法的定义 一元二次不等式的解法 以及并集的运算 是基础题 2 若 则 2 1 i z i zz a b 1c d 3 1 3 答案 b 解析 分析 复数的共轭复数是 复数除法运算是将分母实数化 zabi a br i zab a b r 即 22 cdiabiacbdadbc icdi a b c dr abiabiabiab 详解 2113 222 ii zi 1zz 点睛 本题考查复数的四则运算 考查运算求解能力 2 3 的大小关系为 0 5 0 4 0 4 0 50 5 log0 4 a b 0 50 4 0 5 0 40 5log0 4 0 40 5 0 5 0 50 4log0 4 c d 0 50 4 0 5 log0 40 40 5 0 40 5 0 5 log0 40 50 4 答案 a 解析 分析 由题意利用对数函数的单调性和特殊点 指数函数的单调性 判断 0 40 5 0 50 4 log0 50 4 的大小关系 详解 log0 50 4 log0 50 5 1 0 50 4 0 50 5 0 1 1 2 0 40 5 0 1 2 0 4 5 而 12 25 log0 50 4 0 50 4 0 40 5 故选 a 点睛 本题考查利用指数函数 对数函数 幂函数的单调性比较大小 考查逻辑推理的核 心素养 4 若曲线关于点对称 则 sin 402yx 0 12 a 或b 或c 或d 或 2 3 5 3 3 4 3 5 6 11 6 6 7 6 答案 a 解析 分析 正弦函数的对称中心是 由 五点法 作图得 将代入 sinyx 0kkz 12 x 3 详解 因为曲线关于点对称 sin 402yx 0 12 所以 又 所以时 时 4 12 kkz 02 1k 2 3 2k 5 3 点睛 本题考查三角函数的图象及其性质 考查运算求解能力 5 如图 是圆的一条直径 是半圆弧的两个三等分点 则 abocdab uu u r a b c d acad 22acad adac 22adac 答案 d 解析 分析 本题是用当基底向量 来表示 所以先在 中根据向量减法的三角形 ac ad ab acd 法则 用表示 再探究 的线性关系即可 ac ad cd cd ab 详解 因为 是半圆弧的两个三等分点 c d 所以 且 所以 cdab2abcd 2222abcdadacadac 点睛 本题考查平面向量的线性运算 考查运算求解能力与数形结合的数学方法 6 17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过 几何学里有两件宝 一个是勾股定理 另一个是黄金分割 如果把勾股定理比作黄金矿的话 那么可以把黄金分割比作钻石矿 黄 金三角形有两种 其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形 它是 一个顶角为的等腰三角形 另一种是顶角为的等腰三角形 例如 五角星由五个 36 108 4 黄金三角形与一个正五边形组成 如图所示 在其中一个黄金中 根 abc 51 2 bc ac 据这些信息 可得 sin234 a b c d 12 5 4 35 8 51 4 45 8 答案 c 解析 分析 要求的值 需将角用已知角表示出来 从而考虑用三角恒等变换公式解题 已 sin234 234 知角有 正五边形内角 已知三角函数值有 36 108 72acb 所以 从 1 51 2 cos72 4 bc ac 234 2 72 90 144 90 而 sin234 cos144 详解 由题可知 且 72acb 1 51 2 cos72 4 bc ac 2 51 cos1442cos 721 4 则 51 sin234sin 14490cos144 4 点睛 本题考查三角恒等变换 考查解读信息与应用信息的能力 5 7 三人同时参加一场活动 活动前 三人都把手机存放在了的包里 abcabca 活动结束后 两人去拿手机 发现三人手机外观看上去都一样 于是这两人每人随机拿 bc 出一部 则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是 a b c d 1 2 1 3 2 3 1 6 答案 b 解析 分析 根据古典概型结合列举法代入公式即可 详解 设 三人的手机分别为 abc a b c 则 两人拿到的手机的可能情况为 bc ba cb ba cc 共六种 bb ca bb cc bc ca bc cb 这两人中只有一人拿到自己手机的情况有 共两种 ba cc bb ca 故所求概率为 21 63 故选 b 点睛 本题考查古典概型 考查应用意识以及枚举法的运用 8 如图 圆的部分圆弧在如图所示的网格纸上 小正方形的边长为 1 图中直线与圆弧相 c 切于一个小正方形的顶点 若圆经过点 则圆的半径为 c 2 15a c a b 8c d 10 7 28 2 答案 a 6 解析 分析 题中的网格 相当于给出了点的坐标 由此可求出直线的方程 切点的坐标 要求圆的半径 可考虑求出圆心坐标 这样圆心与点之间的距离即是半径 a 详解 由图可知 直线与圆切于点 即圆经过点 又圆经过点 c 2 1 c 2 1 c 2 15 所以圆的圆心在直线上 c 8y 又直线过点 所以直线的斜率 0 33 0 30 1 03 k 因为直线与圆切于点 所以圆心在直线 即上 c 2 1 1 12 1 yx 10 xy 联立得圆的圆心为 8 10 y xy c 9 8 则圆的半径为 c 22 928 17 2 点睛 本题考查直线与圆 考查数形结合的数学方法 圆心的性质 圆心在弦的垂直平分线上 圆心与切点的连线与切线垂直 12 1kk 9 为了配平化学方程式 某人设计了一个如图所示的程序框 22232 afesbocfe odso 图 则输出的a b c d满足的一个关系式为 a a b c d 2b a b c d 3c a b c d 4d a b c d 5 7 答案 d 解析 分析 由已知中的程序语句可知 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a b c d的值 模拟程序的运行过程 分析循环中各变量值的变化情况 可得答案 详解 模拟程序的运行 可得 c 1 a 2 d 4 b 11 2 不满足条件b n n 执行循环体 c 2 a 4 d 8 b 11 此时 满足条件b n n 退出循环 输出a的值为 4 b的值为 11 c的值为 2 d的值为 8 可得a b c d 4 11 2 8 5 故选 d 点睛 本题考查了程序框图的应用问题 解题时应模拟程序框图的运行过程 以便得出正 确的结论 是基础题 10 设 分别为内角 的对边 已知 且 abcabc5b 2c 则 sin2 coscos2 coscosaabaccab a a 1b 2c d 5 2 5 答案 d 解析 分析 由正弦定理 两角和的正弦函数公式 三角形内角和定理 诱导公式 同角三角函数基本关 系式化简已知可得 cosa的值 进而根据余弦定理可求a的值 详解 asina 2bcosacosc 2ccosacosb 由正弦定理可得 sin2a 2sinbcosacosc 2sinccosacosb 可得 sin2a 2cosa sinbcosc sinccosb 2cosasin b c 2cosasina a 0 sina 0 sina 2cosa 即 tana 2 cosa 2 15 15tan a 8 b c 2 5 由余弦定理可得a 22 5 2542525 5 bcbccosa 故选 d 点睛 本题主要考查了正弦定理 两角和的正弦函数公式 三角形内角和定理 诱导公式 同角三角函数基本关系式 余弦定理在解三角形中的应用 考查了计算能力和转化思想 属 于基础题 11 在正方体中 分别为 的中点 现有下 1111 abcdabc d efg 1 aa bc11 c d 面三个结论 为正三角形 异面直线与所成角为 平面 efg 1 ag 1 c f 60 ac 其中所有正确结论的编号是 efg a b c d 答案 d 解析 分析 计算出三边是否相等 平移与 使得它们的平行线交于一点 解三角形求角的 1 ag 1 c f 大小 探究平面内是否有与平行的直线 efgac 详解 易证的三边相等 所以它是正三角形 efg 平面截正方体所得截面为正六边形 且该截面与的交点为的中点 efg 1 cc 1 cc n 易证 从而平面 取的中点 连接 acen acefg11 ab h 1 c h fh 则 易知 11 agc h 11 c hc fhf 所以与所成角不可能是 从而异面直线与所成角不是 1 c h 1 c f 60 1 ag 1 c f 60 9 故 正确 点睛 本题考查点 线 面的位置关系 考查直观想象与数学运算的核心素养 12 已知函数 则的零点个数为 3 9f xxx 10g xff x g x a 6b 7c 8d 9 答案 b 解析 分析 利用复合函数的性质 转化为新的方程x3 9x 10 或 13 或 7 的解的问题 然后转化为交点 问题即可得答案 详解 根据题意得 若函数f x x3 9x 0 x x2 9 0 解得x 0 或 3 令g x f f x 10 0 f x 10 0 或 3 即x3 9x 10 或 13 或 7 f x x3 9x f x 3x2 9 3 x2 3 令f x 0 x 令f x 0 x或x 令f x 0 33 3 33x 且f f 3 6 3 36 3 画出函数f x 草图为 通过图象可以发现 x2 9x 10 或 13 或 7 共有 7 个解 故函数g x 有 7 个零点 故选 b 点睛 本题考查了函数的单调性 导数的应用 函数的零点 复合函数的应用 属于中档 题 10 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上 13 若函数则 22 1 21 1 x x f x xx 0ff 答案 5 解析 分析 根据分段函数f x 的解析式 求出f 0 以及f f 0 的值即可 详解 03 f 035fff 故答案为 5 点睛 本题考查了利用分段函数的解析式求函数值的应用问题 是基础题 14 已知 满足不等式组 则的最大值为 x y 20 20 0 xy xy x 2zyx 答案 6 解析 分析 利用约束条件得到可行域 可知当取最大值时 在轴截距最大 由 2zyx 1 22 z yx y 直线平移可知过时截距最大 代入点坐标求得结果 1 2 yx aa 详解 由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示 11 当取最大值时 在轴截距最大 2zyx 1 22 z yx y 由直线平移可知 当过点时 截距最大 1 2 yx 1 22 z yx a 由得 20 20 xy xy 2 4a max 2 426z 本题正确结果 6 点睛 本题考查线性规划中的最值问题的求解 关键是能够将问题转化为直线在轴的截 y 距最值的求解问题 属于常考题型 15 在四棱锥中 平面 底面为正方形 且 pabcd pdac ab padabcd 若四棱锥的每个顶点都在球的球面上 则球的表面积的最 3cdpd pabcd oo 小值为 答案 6 解析 分析 由题得平面 则四棱锥可补形成一个长方体 球的球心为 pd abcdpabcd o 的中点 利用对角线为直径求解最值即可 pb 详解 平面 又 平面 则四 ab padabpd pdac pd abcd 棱锥可补形成一个长方体 球的球心为的中点 pabcd opb 设 则 03cdxx 3pdx 从而球的表面积为 o 2 2 22 2 3 43126 2 xxx x 故答案为6 点睛 本题考查球体的表面积 考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素养 12 16 已知函数f x 若f x 在 0 上单调递增 则实数a的取 2 1 21 2 1 x xax aax 值范围为 答案 1 a 2 解析 详解 因为f x 在 0 上单调递增 所以 y ax a递增 得 12 a 2 0 则a 2 1 2 又ax a是增函数 故a 1 所以a的取值范围为 1 a 2 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第第 17 2117 21 题为必考题 题为必考题 每道试题考生都必须作答 第每道试题考生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分分 17 在中 内角 的对边分别为 已知 且 abc a bcabc 22 2acb sincos3cossinacac 1 求的值 b 2 若 为的面积 求的最大值 4 b sabc s 答案 1 2 4b 42 7 解析 分析 1 利用正弦定理和余弦定理将已知等式化为 与联立可求得 222 22acb 22 2acb 2 利用余弦定理可求得 与联立可求得 的关系 b 22 216acac 22 2acb a c 代入可求得 利用三角形面积公式可求得 由于满足条件的三角形只有一 22 2acb 2 cs 个 可知所求的即为最大值 s 13 详解 1 由得 sincos3cossinacac 222222 3 22 abcbca ac abbc 整理可得 又 222 22acb 22 2acb 解得 2 4bb 4b 2 由余弦定理得 22222 2cos216bacacbacac 解得 22 22 216 8 acac ac 142 2 ac 解得 2 222 142 16 2 accc 2 124 7c 2 111422 sin42 7 2222 sacbc 只有一个三角形满足条件 max 42 7s 点睛 本题考查利用正余弦定理解三角形的问题 关键是能够通过正余弦定理化简已知等 式 将等式变为三边之间的关系 易错点是在求解面积最大值时 忽略满足题意的三角形有 且仅有一个 采用常规基本不等式的方式求解最值 造成求解错误 18 在中老年人群体中 肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的 联系 调查了 50 位中老年人每周运动的总时长 单位 小时 将数据分成 0 4 4 8 8 14 14 16 16 20 20 24 6 组进行统计 并绘制出如图所示的 柱形图 14 图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定 每周运动的总时长少于 14 小时为运动较 少 每周运动的总时长不少于 14 小时为运动较多 1 根据题意 完成下面的 2 2 列联表 有肠胃病无肠胃病总计 运动较多 运动较少 总计 2 能否有 99 9 的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关 附 k2 n a b c d 2 n adbc abcdacbd p k2 k 0 0 500 0100 001 k3 8416 63510 828 答案 1 列联表见解析 2 有 99 9 的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关 解析 分析 1 由柱形图计算得出对应数据 再填写列联表 2 根据表中数据计算k2 对照数表得 出结论 详解 1 由柱形图可知 有肠胃病的老年人中运动较少的人数为 12 10 8 30 运动较多的人数为 2 1 1 4 无肠胃病的老年人中运动较少的人数为 3 2 1 6 运动较多的人数为 2 4 4 10 故 2 2 列联表如下 有肠胃病无肠胃病总计 15 运动较多 41014 运动较少 30636 总计 341650 2 2 2 50 4 630 10 13 89210 828 34 16 14 36 k 故有 99 9 的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关 点睛 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题 是基础题 19 如图 在五面体中 侧面是正方形 是等腰直角三角形 点 abcdfeabcdabe 是正方形对角线的交点 且 oabcdeaeb 26adef efad 1 证明 平面 of abe 2 若侧面与底面垂直 求五面体的体积 abcdabeabcdfe 答案 1 证明见解析 2 45 解析 分析 1 取的中点 连接 证明四边形为平行四边形 可得出 abmomemofem 再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面 of em of abe 2 取的中点 的中点 连接 将五面体分割 adgbchghfgfhabcdfe 为三棱柱和四棱锥 证明出底面和平面 abeghf fcdgh ad abeof abcd 然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积 相加可得出五面体 16 的体积 abcdfe 详解 1 取的中点 连接 abmomem 侧面为正方形 且 为的中点 abcd acbdo o ac 又为的中点 且 m ab om bc 1 2 ombc 且 所以 四边形为平行四边形 ef bcq 1 2 efbc om ef ofem of em 平面 平面 平面 of q abeem abe of abe 2 取的中点 的中点 连接 adgbchghfgfh 四边形为正方形 abcdadab 平面平面 平面平面 平面 abcd abe abcd abeab ad abcd 底面 ad abe 易知 3ef 3 2aebe 2 1 3 29 2 abe s 9 327 abe ghfabe vsef 为中点 m abeaeb emab 平面 平面 ad abeem abeemad 平面 平面 abada qi abad abcdem abcd 平面 且 of emqof abcd3ofem 因此 1 6 3 318 3 f cdgh v 271845 abcdfe v 五面体 17 点睛 本题考查直线与平面平行的证明 以及多面体体积的计算 在计算多面体体积时 一般有以下几种方法 1 直接法 2 等体积法 3 割补法 在计算几何体体积时 要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算 考查逻辑推理能力与计算能力 属于中等题 20 已知函数 2 0 xx f xeeaxa 1 求的单调区间 f x 2 若对恒成立 求的取值范围 3 65 4 8 af xa xa a a 答案 1 的单调递减区间为 单调递增区间为 2 f x 0 0 2 3ln2 解析 分析 1 先求导 根据导数和函数单调性的关系即可求出 2 由 1 先求出函数的最小值 可得f x min f a f a ea e a a3 则可得即 即可求出a的范 2 65 8 aa a ee 围 详解 1 2 xx fxeeax 因为 所以为增函数 0a fx 又 00 f 所以当时 当时 0 x 0fx 0 x 0fx 所以的单调递减区间为 单调递增区间为 f x 0 0 2 由 1 可知 在上单调递减 在上单调递增 f x 0a 0 a 所以 min 02f xf 又为偶函数 所以 f x 3 max aa f xf afaeea 18 因为对恒成立 3 65 4 8 af xa xa a 所以即 33 42 65 8 aa a eeaa 2 65 8 aa a ee 令 则 1 a et t 2 651 865808 88 aa eettt 因为 所以 1t 03ln2a 所以的取值范围为 a 2 3ln2 点睛 本题考查导数的运用 求单调性和最值 考查转化思想方法 以及构造函数法 考 查化简运算能力 推理能力 属于中档题 21 在中 内角 的对边长分别为 且为 abc a bcabc 3 sincoscbccb 1 求角的大小 b 2 若 求面积的最大值 2 3b abc 答案 1 2 3 b 3 3 解析 分析 1 利用正弦定理将边化角 结合辅助角公式可整理得 根据角所处的范 1 sin 62 b 围可求得 求得 2 利用余弦定理构造等式 结合基本不等式可求得的 66 b bac 最大值 代入三角形面积公式可求得结果 详解 1 由及正弦定理可得 3 sincoscbccb sin3sinsinsincoscbccb 19 即 0 c sin0c 3sincos1bb 1 sin 62 b 解得 0 b 5 666 b 66 b 3 b 2 由余弦定理得 22222 2cos12bacacbacac 当且仅当时取等号 22 122acacacacac ac 即面积的最大值为 11 sin12sin3 3 223 abc sacb abc 3 3 点睛 本题考查解三角形相关知识 涉及到利用正弦定理进行边角互化 利用余弦定理和 基本不等式求解三角形面积的最大值的问题 属于常考题型 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分分 请考生在第请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一如果多做 则按所做的第一 题计分题计分 22 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 以坐标原点 xoy c 2cos 22sin x y 为极点 轴的正半轴