安徽省2013年高考数学第二轮复习 专题七概率与统计第3讲 随机变量及其分布列 理

1 专题七专题七 概率与统计第概率与统计第 3 3 讲讲 随机变量及其分布列随机变量及其分布列 真题试做 1 2012 课标全国高考 理 15 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成 元件 1 或元件 2 正常工作 且元件 3 正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单 位 小时 均服从正态分布N 1 000 502 且各个元件能否正常工作相互独立 那么该部件 的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 2 2012 山东高考 理 19 现有甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率 为 命中得 1 分 没有命中得 0 分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得 3 4 2 3 2 分 没有命中得 0 分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 1 求该射手恰好命中一次的概率 2 求该射手的总得分X的分布列及数学期望E X 3 2012 陕西高考 理 20 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的 时间互相独立 且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下 办理业务所需的时间 分 12345 频率 0 10 40 30 10 1 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率 2 X表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 求X的分布列及数学期望 4 2012 安徽高考 理 17 某单位招聘面试 每次从试题库中随机调用一道试题 若 调用的是A类型试题 则使用后该试题回库 并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库 此次调题工作结束 若调用的是B类型试题 则使用后该试题回库 此次调题工作结束 试 题库中现有n m道试题 其中有n道A类型试题和m道B类型试题 以X表示两次调题工 作完成后 试题库中A类型试题的数量 1 求X n 2 的概率 2 设m n 求X的分布列和均值 数学期望 考向分析 本讲是概率统计的重点 主要考查三方面的内容 相互独立事件及其概率 题型有选 择 填空 有时也出现在解答题中与其他知识交会命题 二项分布及其应用 准确把握独 立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键 一般以中档题为主 随机变量的分布列 期望和方差 以考生比较熟悉的实际应用题为背景 综合排列组合 概率公式 互斥事件及 独立事件等基础知识 考查对随机变量的识别及概率计算能力 解答时要注意分类与整合 转化与化归思想的运用 其中有选择题 也有填空题 但更多的是解答题 难度中档 热点例析 热点一 相互独立事件及其概率 例 1 乒乓球比赛规则规定 一局比赛 双方比分在 10 平前 一方连续发球 2 次后 对方再连续发球 2 次 依次轮换 每次发球 胜方得 1 分 负方得 0 分 设在甲 乙的比赛 中 每次发球 发球方得 1 分的概率为 0 6 各次发球的胜负结果相互独立 甲 乙的一局 比赛中 甲先发球 1 求开始第 4 次发球时 甲 乙的比分为 1 比 2 的概率 2 求开始第 5 次发球时 甲得分领先的概率 规律方法 1 求复杂事件的概率的一般步骤 列出题中涉及的各事件 并且用适当的符号表示 理清各事件之间的关系 列出关系式 即把随机事件分成几个互斥事件的和 每个小 2 事件再分为n个相互独立事件的乘积 根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算 2 直接计算符合条件的事件的概率较繁时 可先间接地计算对立事件的概率 再求出 符合条件的事件的概率 变式训练 1 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 一直 到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 乙每次投篮投 1 3 中的概率为 且各次投篮互不影响 1 2 1 求乙获胜的概率 2 求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率 热点二 二项分布及其应用 例 2 2012 安徽六安一中第十次月考 理 17 为备战运动会 射击队运动员们正在 积极备战 若某运动员每次射击成绩为 10 环的概率为 求该运动员在 5 次射击中 1 3 1 至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率 2 记 射击成绩为 10 环的次数 为 写出 的分布列并求E 结果用分数表示 规律方法事件服从二项分布的条件是 1 每次试验中 事件发生的概率是相同的 2 各次试验中的事件是相互独立的 3 每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发 生 4 随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数 变式训练 2 某射手每次射击击中目标的概率是 且各次射击的结果互不影响 2 3 1 假设这名射手射击 5 次 求恰有 2 次击中目标的概率 2 假设这名射手射击 5 次 求有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标的概率 3 假设这名射手射击 3 次 每次射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 在 3 次 射击中 若有 2 次连续击中 而另外 1 次未击中 则额外加 1 分 若 3 次全击中 则额外加 3 分 记 为射手射击 3 次后的总得分数 求 的分布列 热点三 离散型随机变量的分布列 均值与方差 例 3 2012 天津高考 理 16 现有 4 个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个 游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去 参加哪个游戏 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 1 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 2 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 3 用X Y分别表示这 4 个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 X Y 求随机变量 的分布列与数学期望E 规律方法求离散型随机变量的分布列 关键是计算各个概率值 一方面要弄清楚相应的 概型 古典概型 相互独立事件的概率 独立重复试验等 以便套用相关的计算公式计算 另一方面要注意运用分布列的性质检验所求概率值是否正确 变式训练 3 2012 安徽江南十校联考 理 18 低碳经济 是促进社会可持续发展的推 进器 某企业现有 100 万元资金可用于投资 如果投资 传统型 经济项目 一年后可能获 利 20 可能损失 10 也可能不赔不赚 这三种情况发生的概率分别为 如果投资 3 5 1 5 1 5 低碳型 经济项目 一年后可能获利 30 也可能损失 20 这两种情况发生的概率分别 为a和b 其中a b 1 1 如果把 100 万元投资 传统型 经济项目 用 表示投资收益 投资收益 回收资 金 投资资金 求 的概率分布及均值 数学期望 E 2 如果把 100 万元投资 低碳型 经济项目 预测其投资收益均值会不低于投资 传 统型 经济项目的投资收益均值 求a的取值范围 思想渗透 转化与化归思想 期望与概率的实际应用 解题中要善于透过问题的实际背景 发现其中的数学规律 以便使用我们掌握的离散型 3 随机变量及其分布列的知识来解决实际问题 典型例题 某产品按行业生产标准分成 8 个等级 等级系数X依次为 1 2 8 其 中X 5 为标准A X 3 为标准B 已知甲厂执行标准A生产该产品 产品的零售价为 6 元 件 乙厂执行标准B生产该产品 产品的零售价为 4 元 件 假设甲 乙两厂的产品都符合 相应的执行标准 1 已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示 X15678 P0 4ab0 1 且X1的数学期望E X1 6 求a b的值 2 为分析乙厂产品的等级系数X2 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件 相应的等级系 数组成一个样本 数据如下 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数X2的数学期望 3 在 1 2 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具可购买 性 说明理由 注 1 产品的 性价比 产品的等级系数的数学期望 产品的零售价 2 性价比 大的产品更具可购买性 解 1 因为E X1 6 所以 5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即 6a 7b 3 2 又由X1的 概率分布列得 0 4 a b 0 1 1 即a b 0 5 由Error 解得Error 2 由已知得 样本的频率分布表如下 X2345678 f0 30 20 20 10 10 1 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数X2的概率分布列 如下 X2345678 P0 30 20 20 10 10 1 所以E X2 3 0 3 4 0 2 5 0 2 6 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于 4 8 3 乙厂的产品更具可购买性 理由如下 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6 价格为 6 元 件 所以其 性价比 为 1 6 6 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4 8 价格为 4 元 件 所以其 性价比 为 1 2 所以乙厂的产品更具可购买性 4 8 4 1 设随机变量 服从正态分布N 3 2 若P m a 则P 6 m 等于 A a B 1 2aC 2a D 1 a 2 设一随机试验的结果只有A和 且P A m 令随机变量 Error 则 的方差 A D 等于 A m B 2m 1 m C m m 1 D m 1 m 3 一个袋中有 6 个同样大小的黑球 编号为 1 2 3 4 5 6 现从中随机取出 3 个球 以 Z表示取出球的最大号码 令a P Z 6 则函数y x2 2ax的单调递增区间是 1 2 4 A B C 1 D 1 1 2 1 2 4 箱中装有标号为 1 2 3 4 5 6 且大小相同的 6 个球 从箱中一次摸出两个球 记下 号码并放回 如果两球号码之积是 4 的倍数 则获奖 现有 4 人参与摸奖 恰好有 3 人获奖 的概率是 A B C D 16 625 96 625 624 625 4 625 5 2012 浙江五校联考 理 16 甲 乙两个篮球队进行比赛 比赛采用 5 局 3 胜制 即 先胜 3 局者获胜 若甲 乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为 和 记需要比赛的场次 2 3 1 3 为 则E 6 2012 山东济南二模 20 一次考试共有 12 道选择题 每道选择题都有 4 个选项 其中有且只有一个是正确的 评分标准规定 每题只选一个选项 答对得 5 分 不答或答 错得 0 分 某考生已确定有 8 道题的答案是正确的 其余题中有两道题都可判断两个选项 是错误的 有一道题可以判断一个选项是错误的 还有一道题因不理解题意只好乱猜 请求 出该考生 1 得 60 分的概率 2 所得分数 的分布列和数学期望 参考答案参考答案 命题调研 明晰考向 真题试做 1 解析 设元件 1 2 3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为A B C 显然 3 8 P A P B P C 1 2 该部件的使用寿命超过 1 000 的事件为 A B AB C BA 该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为P Error Error 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 8 2 解 1 记 该射手恰好命中一次 为事件A 该射手射击甲靶命中 为事件 B 该射手第一次射击乙靶命中 为事件C 该射手第二次射击乙靶命中 为事件D 由题意知P B P C P D 3 4 2 3 由于A B C D C DB DB C 根据事件的独立性和互斥性得 P A P B C D C DB DB C P B P C P D C DB DB C P B P P P P C P P P P D CDBDBC 3 4 1 2 3 1 2 3 1 3 4 2 3 1 2 3 1 3 4 1 2 3 2 3 7 36 2 根据题意 X的所有可能取值为 0 1 2 3 4 5 根据事件的独立性和互斥性得 P X 0 P B C D 1 P B 1 P C 1 P D 1 3 4 1 2 3 1 2 3 1 36 P X 1 P B P B P P C DCD 3 4 1 2 3 1 2 3 5 1 12 P X 2 P C D P C P D B DB CB DB C 1 3 4 2 3 1 2 3 1 3 4 1 2 3 2 3 1 9 P X 3 P BC B D P BC P B D DCDC 3 4 2 3 1 2 3 3 4 1 2 3 2 3 1 3 P X 4 P CD B 1 3 4 2 3 2 3 1 9 P X 5 P BCD 3 4 2 3 2 3 1 3 故X的分布列为 X012345 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 所以EX 0 1 2 3 4 5 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 41 12 3 解 设Y表示顾客办理业务所需的时间 用频率估计概率 得Y的分布列如下 Y12345 P0 10 40 30 10 1 1 A表示事件 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 则事件A对应三种情形 第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分 钟 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分 钟 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以P A P Y 1 P Y 3 P Y 3 P Y 1 P Y 2 P Y 2 0 1 0 3 0 3 0 1 0 4 0 4 0 22 2 方法一 X所有可能的取值为 0 1 2 X 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 所以P X 0 P Y 2 0 5 X 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超 过 1 分钟 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟 所以P X 1 P Y 1 P Y 1 P Y 2 0 1 0 9 0 4 0 49 X 2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟 所以P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 所以X的分布列为 X012 P0 50 490 01 E X 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 方法二 X所有可能的取值为 0 1 2 X 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 所以P X 0 P Y 2 0 5 X 2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟 所以P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 P X 1 1 P X 0 P X 2 0 49 所以X的分布列为 X012 6 P0 50 490 01 E X 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 4 解 以Ai表示第i次调题调用到A类型试题 i 1 2 1 P X n 2 P A1A2 n m n n 1 m n 2 n n 1 m n m n 2 2 X的可能取值为n n 1 n 2 P X n P 1 2 AA n n n n n n 1 4 P X n 1 P A1 2 P 1A2 AA n n n n 1 n n 2 n n n n n n 1 2 P X n 2 P A1A2 n n n n 1 n n 2 1 4 从而X的分布列是 Xn n 1n 2 P 1 4 1 2 1 4 E X n n 1 n 2 n 1 1 4 1 2 1 4 精要例析 聚焦热点 热点例析 例 1 解 记Ai表示事件 第 1 次和第 2 次这两次发球 甲共得i分 i 0 1 2 Bi表示事件 第 3 次和第 4 次这两次发球 甲共得i分 i 0 1 2 A表示事件 第 3 次发球 甲得 1 分 B表示事件 开始第 4 次发球时 甲 乙的比分为 1 比 2 C表示事件 开始第 5 次发球时 甲得分领先 1 B A0 A A1 A P A 0 4 P A0 0 42 0 16 P A1 2 0 6 0 4 0 48 P B P A0 A A1 A P A0 A P A1 A P A0 P A P A1 P A 0 16 0 4 0 48 1 0 4 0 352 2 P B0 0 62 0 36 P B1 2 0 4 0 6 0 48 P B2 0 42 0 16 P A2 0 62 0 36 C A1 B2 A2 B1 A2 B2 P C P A1 B2 A2 B1 A2 B2 P A1 B2 P A2 B1 P A2 B2 P A1 P B2 P A2 P B1 P A2 P B2 0 48 0 16 0 36 0 48 0 36 0 16 0 307 2 变式训练 1 解 设Ak Bk分别表示甲 乙在第k次投篮投中 则 P Ak P Bk k 1 2 3 1 3 1 2 1 记 乙获胜 为事件C 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概 率计算公式知 P C P 1B1 P 1 1 2B2 P 1 1 2 2 3B3 AA B AA B A B A P 1 P B1 P 1 P 1 P 2 P B2 P 1 P 1 P 2 P 2 P 3 P B3 AABAABABA 2 2 3 3 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 13 27 2 记 投篮结束时乙只投了 2 个球 为事件D 则由互斥事件有一个发生的概率与相互 独立事件同时发生的概率计算公式知P D P 1 1 2B2 P 1 1 2 2A3 P 1 P 1 P 2 A B AA B A BABA 7 P B2 P 1 P 1 P 2 P 2 P A3 22 22 ABAB 2 3 1 2 2 3 1 2 1 3 4 27 例 2 解 设随机变量X为射击成绩为 10 环的次数 则X B 1 在 5 次射击中 至少有 3 次射击成绩为 10 环的概率为 P X 3 P X 3 P X 4 P X 5 40 243 10 243 1 243 17 81 2 由题意知 的可能取值为 0 1 2 3 4 5 的分布列为 012345 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 因为 B 所以E 5 3 变式训练 2 解 1 设X为射手在 5 次射击中击中目标的次数 则X B 在 5 5 2 3 次射击中 恰有 2 次击中目标的概率 P X 2 C52 2 3 2 3 1 2 3 40 243 2 设 第i次射击击中目标 为事件Ai i 1 2 3 4 5 射手在 5 次射击中 有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标 为事件A 则P A P A1A2A3 4 5 P 1A2A3A4 5 AAAA P 1 2A3A4A5 3 2 3 2 3 AA 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 8 81 3 由题意可知 的所有可能取值为 0 1 2 3 6 P 0 P 1 2 3 3 AAA 1 3 1 27 P 1 P A1 2 3 P 1A2 3 P 1 2A3 AAAAAA 2 2 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 9 P 2 P A1 2A3 A 2 3 1 3 2 3 4 27 P 3 P A1A2 3 P 1A2A3 AA 2 2 2 3 1 3 1 3 2 3 8 27 P 6 P A1A2A3 3 2 3 8 27 所以 的分布列是 01236 P 1 27 2 9 4 27 8 27 8 27 例 3 解 依题意 这 4 个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 去参加乙游戏的 1 3 概率为 2 3 设 这 4 个人中恰有i人去参加甲游戏 为事件Ai i 0 1 2 3 4 则P Ai C4i i4 i 1 3 2 3 1 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P A2 C42 22 1 3 2 3 8 27 2 设 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 为事件B 则 8 B A3 A4 由于A3与A4互斥 故 P B P A3 P A4 C43 3 C44 4 1 3 2 3 1 3 1 9 所以 这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9 3 的所有可能取值为 0 2 4 由于A1与A3互斥 A0与A4互斥 故 P 0 P A2 8 27 P 2 P A1 P A3 40 81 P 4 P A0 P A4 17 81 所以 的分布列是 024 P 8 27 40 81 17 81 随机变量 的数学期望E 0 2 4 8 27 40 81 17 81 148 81 变式训练 3 解 1 依题意 的可能取值为 20 0 10 的分布列为 200 10 P 3 5 1 5 1 5 E 20 0 10 10 万元 3 5 1 5 1 5 2 设 表示 100 万元投资 低碳型 经济项目的收益 则 的分布列为 30