七年级下册《因式分解》小结与复习学案湘教版

精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 1 / 5七年级下册因式分解小结与复习学案湘教版七年级下册因式分解小结与复习学案湘教版因式分解一、因式分解的概念例 1 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4c.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=（x+4） （x-4）分析：要充分理解因式分解的概念和具体要求.选项 A 属于整式乘法；B 只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而 D 左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.解：选 c.二、因式分解的方法例 2 因式分解：2(a-3)2-a+3=.分析：注意到-a+3 提出负号后可变成（a-3） ，所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.例 3 因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 2 / 5分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)=(2m)2+22m3(m+n)+3(m+n)2=2m+3(m+n)2=(5m+3n)2.注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用.例 4 因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化.解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三、因式分解相关的计算例 5 已知 x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2 的值.分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2 用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与 x，y 的关系，再将x=a+b，y=a-b 代入求解.解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x22y2=4x2y2=4(xy)2=4(a+b)(a-b)2=4a4-8a2b2+4b4.例 6 计算.分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 3 / 5解：=.四、因式分解相关的说明例 7 已知 a2+b2=1，x2+y2=1.试说明：(ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析：将所证式子的左边整理成用 a2+b2 和 x2+y2 表示，故考虑将左边因式分解.(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).因为 a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.五、因式分解的实际应用例 8 已知大正方形的周长和小正方形的周长相差 88cm，它们的面积相差 836cm2，求这两个正方形的边长.分析：设大正方形的边长为 xcm，小正方形的边长为 ycm，则根据它们的周长相差 88cm，可得 4(x-y)=88.又因为它们的面积相差 836cm2，所以 x2-y2=836，根据这两个方程可求出 x，y 的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将 x2-y2=836 用因式分解法变形，求解.解：设大正方形的边长为 xcm，小正方形的边长为 ycm，根精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 4 / 5据题意得方程组等价于将代入，得 x+y=38.和组成方程组得解得 x=30，y=8.所以大正方形的边长是 30cm，小正方形的边长是 8cm.误区点拨误区一因式对分解的概念理解不透彻例 1 下列从左到右的变形是分解因式的是()A.B.c.D.=错解：选 B、c、D.错因分析：B 中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，c 中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D 中的 a-1 实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.正解：选 A.误区二多项式分解不彻底例 2 因式分解 a4-2a2+1.错解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2.错因分析：括号内的 a2-1 还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2(a-1)2.精品文档2016 全新精品资料-全新公文范文 -全程指导写作 独家原创 5 / 5正解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.误区三利用公式出现偏差例 3 因式分解(x+y)2-4xy.错解：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).错因分析：4xy 不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.正解：(x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.误区四提公因式漏项例 4 分解因式 3a2bc3-12a