广东省六校2010-2011学年高三数学下学期第三次模拟考试试卷 理

用心 爱心 专心 1 广东省六校广东省六校 2010 20112010 2011 学年高三下学期第三次模拟考试理科数学学年高三下学期第三次模拟考试理科数学 2011 05 242011 05 24 本试卷分选择题和非选择题两部分 共 4 页 满分为 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷 密封线内相应的位置上 用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答 答案必须写在答卷纸各题目 指定区域内的相应位置上 超出指定区域的答案无效 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁和平整 第一部分第一部分 选择题选择题 40 40 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 函数lg 1 yx 的定义域为 A 函数 1 3 x y 的值域为 B 则AB A 0 1 B 1 1 3 C D R 2 复数 3 1 i i 的模等于 A 1 2 B 2 2 C 2 D 3 若函数yf x 的图象和ysin x 4 的图象关于点P 0 4 对称则f x 的表达式是 A 4 cos x B 4 cos x C 4 cos xD 4 cos x 4 在实数数列 n a中 已知0 1 a 1 12 aa 1 23 aa 1 1 nn aa 则 4321 aaaa 的最大值为 A 0 B C 2 D 4 5 设随机变量X N 2 82 且P 2 x 4 0 3 则P x 0 A 0 8 B 0 2 C 0 5 D 0 4 用心 爱心 专心 2 1 0is 开始 1ii 2 ssi 7i 否 输出 s C 结束 侧10侧 1 侧侧侧 侧侧侧 侧侧侧 1 5 4 1 1 6 已知关于x的不等式 2 3xxm 的解集为非空集合 则实数m的取值范围是 A 1m B 1m C 1m D 1m 7 已知 1 F 2 F是椭圆 C1 2 2 2 2 b y a x 的左右焦点 P是C上一点 2 21 4 3bPFPF 则C的离心率的取值范围是 A 2 1 0 B 2 3 0 C 1 2 3 D 1 2 1 8 以下三个命题 关于x的不等式1 1 x 的解为 1 曲线2sin2yx 与直线0 x 3 4 x 及x轴围成的图形面积为 1 s 曲线 2 1 4yx 与直线0 x 2x 及x轴围成的图形面积为 2 s 则 12 2ss 直线03 yx总在函数xyln 图像的上方 其中真命题的个数是 A 0 B C 2 D 3 第二部分第二部分 非选择题非选择题 共共 110110 分分 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 如右图程序框图 输出 s 用数值作答 10 一个几何体的三视图如右图所示 这个几何体的体积为 11 把函数sinyx xR 的图象上所有点向左平行移动 12 个单位长度 再把所得图 用心 爱心 专心 3 O O N M Q P B A 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到的图象所表示的函数是 12 153 1 x x 二项展开式中 第 项是常数项 13 已知函数 6 3 3 6 x 6 x a xx f x a n af n nN n a是递增数列 则实数 a的取值范围是 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲 选做题 如图 O和 O都经过点 A 和点 B PQ 切 O于点 P 交 O于 Q M 交 AB 的延长线于 N 1NM 3MQ 则PN 15 坐标系与参数方程 选做题 极坐标系下 圆2cos 2 上的点与直线sin 2 4 上的点的最大距离是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知向量 cos sin a cos sin b 且 2 5 5 ab I 求cos 的值 II 若 2 0 2 且 5 sin 13 求sin 的值 17 本小题满分 12 分 现有一游戏装置如图 小球从最上方入口处投入 每次 遇到黑色障碍物 等可能地向左 右两边落下 游戏规则为 若小球最终落入 A 槽 得 10 张奖票 若落 入 B 槽 得 5 张奖票 若落入 C 槽 得重投一次的机会 但 投球的总次数不超过 3 次 1 求投球一次 小球落入 B 槽的概率 2 设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量 求 的分布列及数学期望 18 本小题满分 14 分 ABC 用心 爱心 专心 4 如图所示 在矩形ABCD中 4 2 ABADECD 是的中点 O 为 AE 的中点 以 AE 为折痕将 ADE 向上折起 使 D 到 P 点位置 且PCPB 求证 POABCE 面 求二面角 E AP B 的余弦值 19 本小题满分 14 分 某旅游用品商店经销某种深圳大运会记念品 每件产品的成本为 3 元 并且每件产品需 向税务部门上交a元 36a 的税收 预计当每件产品的售价为x元 1116x 时 一年的销售量为 2 18 x 万件 求该商店一年的利润 L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 当每件产品的售价为多少元时 该商店一年的利润 L 最大 并求出 L 的最大值 aQ 20 本小题满分 14 分 如图 弧ADB为半圆 AB 为半圆直径 O 为半圆圆心 且ODAB Q 为线段 OD 的中点 已知 AB 4 曲线 C 过 Q 点 动点 P 在曲线 C 上运动且保持 PA PB 的值不变 建立适当的平面直角坐标系 求曲线 C 的方程 过点 B 的直线与曲线 C 交于 M N 两点 与 OD 所在直线交于 E 点 若 1212 EMMB ENNB 求证为定值 21 本小题满分 14 分 设数列 n a 满足 3 2 1 5 1 2 11 naaa nn 证明对所有的1 n 有 i i 14 1 nn aa iiii 3 1 31 1 31 1 31 1 21 n aaa 设数列 n a 满足 3 2 1 5 1 2 11 naaa nn 证明对所有的2011 n 有2011 2 2011 n n aa 用心 爱心 专心 5 广东省六校广东省六校 2010 20112010 2011 学年高三下学期第三次模拟考试学年高三下学期第三次模拟考试 理科数学答案理科数学答案 1 A 2 B 3 B 4 C 5 B 6 C 7 D 8 A 9 9191 10 9 9 11 1 sin 212 yx 12 7 7 13 15 3 7 14 2 2 15 3 2 1 2 16 解 I 2 5 5 ab 224 2 5 aa bb A 又 cos sin a cos sin b 22 1ab 3 分 4 12 coscossinsin 1 5 2 22cos 5 3 cos 5 6 分 II 0 22 0 又由 1 得 3 cos 5 4 sin 5 又 5 sin 13 0 2 12 cos 13 9 分 sinsin sin coscos sin 4 5 123533 1351365 12 分 17 解 1 由题意可知投一次小球 落入 B 槽的概率为 22 111 222 3 分 2 落入 A 槽的概率为 2 11 24 落入 B 槽的概率为 1 2 落入 C 槽的概率为 2 11 24 4 分 可取 0 5 10 5 分 3 11 0 464 p 6 分 2 11 11121 5 22 42432 p 8 分 2 11 11121 10 44 44464 p 10 分 0510 p 1 64 21 32 21 64 12121105 0510 64326416 E 12 分 用心 爱心 专心 6 18 解 1 PAPE OAOEPOAE 1 分 取 BC 的中点 F 连 OF PF OF AB OF BC 因为 PB PC BC PF 所以 BC 面 POF 3 分 从而 BC PO 5 分 又 BC 与 PO 相交 可得 PO 面 ABCE 7 分高考资源网 w w w k O OG OF OP A 1 1 0 B 1 3 0 C 1 3 0 P 0 0 2 2 4 0 1 1 2 0 4 0 ACAPAB 9 分 设平面 PAB 的法向量为1 nx y z 20 40 n APxyz n ABy 1 2 0 1 n 同理平面 PAE 的法向量为2 1 1 0 n 12 分 12 12 3 cos 3 nn EAPB nn 二面角 E AP B 的余弦值为 3 3 14 分 19 19 解 解 商店一年的利润 L 万元 与售价 x 的函数关系式为 2 3 18 Lxax 11 16 x 无定义域扣 1 分 4 分 2 3 18 Lxax 22 18 3 18 xxax 2 18 2 18 2 3 18 L xxxxax 18 2423 xax 令0 L得 2 8 3 xa 或18x 不合题意 舍去 6 分 36a 2 10812 3 a 在 2 8 3 xa 两侧 x L 的值由正变负 所以 1 当 2 10811 3 a 即 2 9 3 a时 max 11 49 8 49 8 LLaa 2 当 2 11812 3 a 即 9 6 2 a 时 23 max 2221 8 83 18 8 4 5 3333 LLaaaaa 用心 爱心 专心 7 所以 aQ 3 9 49 8 3 2 19 4 5 6 32 aa aa 13 分 答 若 2 9 3 a 则当每件售价为 11 元时 商店一年的利润 L 最大 最大值 49 8 Q aa 万元 若 9 6 2 a 则当每件售价为 2 8 3 a 元时 商店一年的利润 L 最大 最大值 3 1 4 5 3 Q aa 万元 14 分 20 解 以AB OD所在直线分别为x轴 y轴 O为原点 建立平面直角坐标系 动点P在曲线C上运动且保持 PA PB 的值不变 高考资源网 w w w k s 5 u 且点Q在曲线C上 PA PB QA QB 25212 22 AB 4 3 分 曲线C是为以原点为中心 A B为焦点的椭圆 设其长半轴为a 短半轴为b 半焦距为c 则 2a 25 a 5 c 2 b 1 曲线C的方程为 5 2 x y2 1 6 分 证明 设 M N E点的坐标分别为 11220 0 M x yN xyEy 又易知B点的坐标为 2 0 且点B在椭圆C内 故过点B的直线l必与椭圆C相交 1 EMMB 110111 2 x yyxy 1 1 1 1 2 x 1 0 1 1 y y 8 分 将M点坐标代入到椭圆方程中得 1 1 1 2 5 1 2 1 02 1 1 y 去分母整理 得05510 2 01 2 1 y 10 分 同理 由 2 ENNB 可得 05510 2 02 2 2 y 12 分 1 2 是方程05510 2 0 2 yxx的两个根 10 21 14 分 21 证明 由数学归纳法知 0 n a 用心 爱心 专心 8 12145 222 1 nnnn aaaa 14 1 nn aa 2 分 对对2 k 有 有 1 14 414145 21 2 1 2 1kkkkk aaaaa 3 14 1444 2 1 1 k kk k aa k k a4 1 31 1 5 分 对所有的1 n 有 n n a4 1 31 1 3 1 4 1 1 3 1 4 1 4 1 4 1 31 1 31 1 31 1 2 21 nn n aaa 3 1 31 1 31 1 31 1 21 n aaa 8 分 欲证 2011 2011 2 2011 naan n 只需证 2011 2 2011 naa nn 3 2 1 5 2 1 naa nn 5