广东省深圳市宝安区2026-2027学年第一学期教学质量检测高三数学试卷（含答案）

/广东省深圳市宝安区2026-2027学年第一学期教学质量检测高三数学试题一、单选题1、样本数据3，3，5，7，8，9，则该组数据的第40百分位数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【详解】6个数据由小到大顺序排列为3，3，5，7，8，9，因为i=6×0.4=2.4．故第3个数据52、已知向量，不共线，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由向量的平行性质求解．【详解】向量e1，e2不共线，由xe1+3、集合，，且为非空集合，则可以取（）A．B．C．D．【答案】A【详解】集合A=sinα,tanα，由选项可知当α=π3时，sinα所以集合A=32当α=π2时，tanα当α=π4时，sinα所以集合A=22当α=−π6时，sinα所以集合A=−1综上，α可以取π34、曲线在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线的点斜式方程求解即可.【详解】当x=0时，yy′=e所以切线方程为y−0=2(x−0)5、若椭圆：，与抛物线有相同焦点，则该椭圆与在第一象限的交点坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】求出抛物线的焦点(1,0)，求出椭圆焦点，利用两者相等求出a=2【详解】由题可得抛物线y2=4x所以椭圆的右焦点坐标是(1,0),所以c2=1,a所以椭圆方程是x2联立椭圆方程与抛物线方程x2把抛物线方程代入椭圆方程，去分母整理得3x解得x=23或x=−6，因为因为求第一象限的交点，代入抛物线方程解得y=所以交点坐标为236、已知函数的最小值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】对函数求导后分析单调性，结合a的取值范围求出函数最小值，结合已知最小值为2，即可求出a的值.【详解】由题可知函数定义域为R，对fx=a若a≤0，f'x<0恒成立，fx令f'x=0x<−lna时，f'x<0x>−lna时，f'x>0故x=−代入fx得：由题知最小值为2，即1+lna=2，解得lna=17、已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（）A．B．0C．D．【答案】A【详解】设等差数列an的公差为d由S3=18，得由T2=10得a1联立①②，3a1+3所以an则an则bnT=−3+158、一个袋子中装有大小形状相同的2个红色球、2个黄色球、2个白色球，1个黑球，从中一次性摸出3个球，记：摸出一个红色球记0分，摸出一个黄色球记1分，摸出一个白色球记2分，摸出黑色球记分，三个球总得分为，则（）A．当“”时，一定没有摸到黄球B．C．D．【答案】D【详解】对于A，当“X=2对于B，当“X=1故PX对于C，当“X≤0可能出现2红，1黑；2黄，1黑；1红，1黄，1黑；1红，1白，1黑；1黄，1白，1黑．故PX对于D，每摸出1个球得分期望为2×0+2×1+2×2+1×（−3）7=3二、多选题9、设，则（）A．B．C．D．是纯虚数【答案】ACD【详解】已知Z=1+2i，则Z+1=1+2i+1=2+2Z+i=1+2i+Z2Z+110、已知圆：，椭圆：，直线：，则（）A．若与相交于，，对于，，不可能是定值B．若与，都相切，则这样的直线有四条C．若与椭圆相切且与圆有两个交点，，则面积的最大值为D．若与圆相切且与椭圆有两个交点，则或【答案】BCD【分析】A选项：用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长分析弦长是否为定值；B选项：先由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，再联立直线与椭圆方程，令判别式Δ=0得到另一个k,m的关系式，联立求解k,m的解的个数；C选项：先由直线与椭圆相切得k,m的关系式，再用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合三角形面积公式，代入弦长公式后用代数方法求最值；D选项：先由直线与圆相切得【详解】圆C1圆心为(0,3)，半径r=1；椭圆C2选项A：直线l与C1相交的弦长公式为：∣若取m=3则d=0，此时对任意k弦长都是定值2，因此A错误；选项B：l与C2相切：将y整理得(1+4k令判别式Δ1=0，得l与C1相切：圆心到直线距离为1，即∣m−3∣联立两式消去k2，得3m2该二次方程判别式Δ=(−8)2−4×1×11=20>0两个不同m对应两个k，共4条直线，因此B正确；选项C：由l与C2相切得m所以d=整理得m2−8m所以△C1P由均值不等式d1−d2≤d代入d2=(m−3选项D：l与C1相切得(m−3)2则直线与椭圆联立的判别式Δ>0，代入k2=(m整理得3m2−24m+33>011、古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为，则曲线的离心率为．如图，圆锥的底面半径为4，母线长为，是圆锥的一个轴截面，为中点，过，两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆，则（）A．椭圆的长轴为B．椭圆的离心率为C．与的交点是椭圆的一个焦点D．内接于椭圆的矩形面积最大值为【答案】ABD【分析】先利用直角三角形的运算及二倍角公式得cos∠BSD=79，然后利用余弦定理求得截面椭圆的长轴长判断A；根据线面角的定义及余弦定理求得cosα，根据新定义即可求解离心率判断B；根据椭圆离心率求得c=3，利用直角三角形性质求得BE=4173，结合a+【详解】在Rt△SOA中，SA=12，OA所以cosβ=对于A，椭圆的长轴为BD的长，在△SBDSB=12，SD=6，所以根据余弦定理得BD所以BD=对于B，如图设SO与BD的交点为E，由线面角定义可知∠OEB由上可知BD=217，AD=6在△ABD中，cos在Rt△OBE中，由题设可知e=对于C，由上可知2a=217，a=17在Rt△OEB中，OBBE又a+c=3+对于D，如图：椭圆的标准方程为x2法一：设C17cosθ,2当θ=π4法二：不妨设C在第一象限，点坐标为Cx,y，∵而S=4三、填空题12、椭圆的离心率为______．【答案】6【详解】椭圆方程5x2+6∴椭圆焦点在x轴上，且a2=1∴c2=a∴离心率e=13、已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为__________．【答案】1120【分析】先根据项数得出n=8【详解】因为x+所以n=8则展开式中的常数项为C814、在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，，，，，表示把中每个1替换为两个连续元素0，0，每个0替换为一个元素1，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如，则.定义，若，则，，，，中1的总个数为__________.【答案】2【分析】根据给定有序数列的定义得到A2，A3，A4，A5，【详解】因为A1=0,1，所以A2=1,0,0，A3显然，A1，A3，A5中分别有2，4，8项，其中的12项为1，A2，A设An中总共有an项，其中有则an=2所以，A1，A2，A3，⋯，A四、解答题15、正方体，，，分别为，，的中点．(1)在线段上存在一点，使面，试确定点的位置；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)O为线段B1(2)33【分析】（1）根据题意，在正方体中构造正六边形，即可证明四边形BMNO为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到结果；（2）根据题意，由面面角的定义即可得到∠ELA为平面EFG与平面A【详解】（1）取BC,CC1,连接GH,EJ,FI，而GH,取EH,GJ的中点，记为M,N，取B1∵BM∥ON，BM=ON，∴∵MN⊂面EFG，BO⊄面EFG，∴BO∥面EFG（2）延长DA,GF相交于K，过A作AL⊥GK，交GK于∵EA⊥面A1ADD1，AL⊥设正方体边长为2，则EA=1，AL=2故cos∠ELA=13，∴平面EFG16、某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：）5457606366件数（单位：件）52146253(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；

(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.

（i）求抽取的零件为废品的概率；

（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量，则.【答案】(1)x=60，(2)（i）0.015；（ii）0.8【分析】（1）先求出x，再利用正态曲线的对称性求解；（2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用条件概率公式求解．【详解】（1）由题意可知x=则X~所以P=≈1（2）（i）设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，事件B1事件B2则P(B1)=34，所以PA（ii）因为PA所以PA所以PB17、已知，，分别为三个内角，，的对边，点在边上，是角的内角平分线，，，．

(1)求；

(2)在的延长线上，连接，，在直线上是否存在一点，使．若存在，求的长，若不存在，说明理由．【答案】(1)2(2)存在，33−12【分析】（1）由倍角公式得出cosA2，再由余弦定理求出（2）由平行性质得出H应在CA的延长线上，由三角恒等变换得出sin∠ABH，sin∠AHB，进而由正弦定理【详解】（1）由题∵cosA=−7解得：cos2A2=1在△ABD中，B∵AB2=A（2）由题∵cosB=223>cos∵AD是角A的内角平分线，AB2∴∠ABC∵cos∠ABC=2∵∠ABH∴sin∵∠AHB=π在△ABH中，AB∴AH18、已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于．

(1)若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程；

(2)在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直；

(3)若与交于，且，证明：【答案】(1)x2(2)由（1）可知a=2，b=1，则设Ax1,y1，B由y=x24，求导数得，y′=x其方程为y=联立方程y=m2x−此时Δ1=m由于直线l与椭圆C：x2a2+y所以x1,xy1所以D点坐标为m3因此，直线OD的方程为y=−再联立方程y=−12mxy=−12(3)当a=2b时，直线y=−2b延长PQ交抛物线的准线y=−1于H再联立方程y=m2x−此时Δ2=−m显然x1,xy1所以D点坐标为m3因此，直线OD的方程为y=−再联立方程y=−12mxy=−12则H点的坐标为m,−1；F点的坐标为0,1则直线HF的斜率为kHF=−2m，又直线因为kHF⋅k由抛物线的定义，△PFH为等腰三角形，且得直线l平分∠而PF=PH=由角平分线性质可知S△因为0<m2<所以1<S【分析】（1）利用抛物线与椭圆的基本性质即可求解；（2）利用导数法来写出抛物线在某点处的切线，然后借助方程组思想和韦达定理来求出中点D的坐标，再通过直线与直线相交求解出Q的横坐标x=（3）利用（2）的解法同理可求出Q的横坐标x=m，再利用抛物线的定义可求出H点的坐标为m,−1，然后通过斜率可判断l【详解】（1）由题意可知抛物线E的焦点为0,1，故b=1，则a因为椭圆C的离心率为e=ca所以联立方程组可解得：a=2c=（2）略（3）略19、设函数．

(1)时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性；

(3)若有两个极值点且，证明：．【答案】(1)y(2)当0<a≤2时，f(当a>2时，f(x)在(0,e(3)证明如下：由（2）知a>2，因为lnx1,lnx2fx1x其中l