2017届高三广州一模(理数)

1 绝密 启用前 2017 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 理科数学 注意事项 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答卷前 考生务必将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填写在答题卡上 并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号 2 回答第 卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 干净后 再选涂其它答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 4 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 一 选择题 本小题共一 选择题 本小题共 12 题 每小题题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 复数的共轭复数是 22 1 i 1 i A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 2 若集合 则 1Mx x 2 1Ny yxx A B C D MN MN NM MN 3 已知等比数列的各项都为正数 且成等差数列 则的值是 n a 354 1 2 a a a 35 46 aa aa A B 51 2 51 2 C D 35 2 35 2 4 阅读如图的程序框图 若输入 则输出的值为 5n k A B C D 2345 5 已知双曲线的一条渐近线方程为 分别是双曲线的左 右焦点 C 22 2 1 4 xy a 230 xy 1 F 2 F C 点在双曲线上 且 则等于 PC 1 7PF 2 PF 2 A B C 或 D 或 113410113 6 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某几何体的 正视图 等腰直角三角形 和侧视图 且该几何体的体积为 8 3 则该几何体的俯视图可以是 7 五个人围坐在一张圆桌旁 每个人面前放着完全相同的硬币 所有人同时翻转自己的硬币 若硬币正面朝 上 则这个人站起来 若硬币正面朝下 则这个人继续坐着 那么 没有相邻的两个人站起来的概率为 A B C D 1 2 15 32 11 32 5 16 8 已知 分别是椭圆的左 右焦点 椭圆上存在点使为钝角 1 F 2 F C 22 22 10 xy ab ab CP12 FPF 则椭圆的离心率的取值范围是 C A B C D 2 1 2 1 1 2 2 0 2 1 0 2 9 已知成立 函数是减函数 则是的 0 1 x pxeax q 1 x fxa pq A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 10 九章算术 中 将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥为鳖臑 平面 PABCPAABC 三棱锥的四个顶点都在球的球面上 则球的表面积为 2PAAB 4AC PABCOO A B 8 12 C D 20 24 11 若直线与函数的图象相交于点 1y 2sin2f xx 11 P x y 22 Q xy 3 PC B A 且 则线段与函数的图象所围成的图形面积是 12 xx 2 3 PQ f x A B 2 3 3 3 3 C D 2 32 3 32 3 12 已知函数 则的值为 32 331 248 f xxxx 2016 1 2017 k k f A B C D 050410082016 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个考生都必须作答 第题为必考题 每个考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 题为选考题 考生根据要求作答 考生根据要求作答 二 填空题 本小题共二 填空题 本小题共 4 题 每小题题 每小题 5 分 分 13 已知 且 则向量与向量的夹角是 1 2 ab a ab ab 14 的展开式中各项系数和为 则的系数为 用数字填写答案 3 n x 64 3 x 15 已知函数 若 则实数的取值范围是 1 2 2 0 1 log 0 x x f x xx 2 f a a 16 设为数列的前项和 已知 对任意N 都有 n S n a n1 2a p q p qpq aaa 则N 的最小值为 60 1 n S f nn n 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 如图 在 中 点在边上 ABCPBC 60 2 4PACPCAPAC 求 ACP 若 的面积是 求 APB 3 3 2sin BAP 4 18 本小题满分 12 分 近年来 我国电子商务蓬勃发展 2016 年 618 期间 某网购平台的销售业绩高达 516 亿元人民币 与此 同时 相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统 从该评价系统中选出 200 次成功交 易 并对其评价进行统计 网购者对商品的满意率为 0 6 对服务的满意率为 0 75 其中对商品和服务都满意的 交易为 80 次 根据已知条件完成下面的列联表 并回答能否有 99 的把握认为 网购者对商品满意与对服务满意 2 2 之间有关系 对服务满意对服务不满意合计 对商品满意80 对商品不满意 合计200 若将频率视为概率 某人在该网购平台上进行的 3 次购物中 设对商品和服务都满意的次数为随机变 量 求的分布列和数学期望 XXEX 附 其中为样本容量 2 K 2 n adbc abcdacbd nabcd 2 P Kk 0 150 100 050 0250 010 k2 0722 7063 8415 0246 635 5 E D CB A E D C B A 19 本小题满分 12 分 如图 1 在直角梯形中 点是边的中点 将 ABCDADBCABBCBDDCEBC 沿折起 使平面 平面 连接 得到如图 2 所示的几何体 ABDBDABDBCDAEACDE 求证 平面 ABADC 若 二面角的平面角的正切值为 求二面角的余弦值 1AD CABD 6 BADE 图 1 图 2 20 本小题满分 12 分 过点作抛物线的两条切线 切点分别为 2P a 2 4C xy 11 A x y 22 B xy 6 证明 为定值 1212 x xy y 记 的外接圆的圆心为点 点是抛物线的焦点 对任意实数 试 PABMFCa 判断以为直径的圆是否恒过点 并说明理由 PMF 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln0 a f xxa x 若函数有零点 求实数的取值范围 fx a 证明 当 时 a 2 e1 b 1 ln fb b 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 直线 的参数方程为为参数 在以坐标原点为极点 xOy l 3 1 xt t yt 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 x 2 2cos 4 C 7 求直线 的普通方程和曲线的直角坐标方程 lC 求曲线上的点到直线 的距离的最大值 Cl 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 12 f xxaxa 若 求实数的取值范围 13 f a 若R 求证 1 ax 2 fx 2017 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要考查内容比照 评分参考制订相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度 可视影 响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的 错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题不给中间分 一 选择题一 选择题 1 B 2 C 3 A 4 B 5 D 6 D 7 C 8 A 9 B 10 C 11 A 12 B 二 填空题二 填空题 13 14 15 16 4 540 1 8 2 29 2 三 解答题三 解答题 17 解 解 8 PC B A DPC B A 在 中 因为 APC 60 2 4PACPCAPAC 由余弦定理得 1 分 222 2cosPCAPACAP ACPAC 所以 2 22 2424cos60APAPAPAP 整理得 2 分 2 440APAP 解得 3 分 2AP 所以 4 分 2AC 所以 是等边三角形 5 分 APC 所以 6 分 60 ACP 法 1 由于是 的外角 所以 7 分 APB APC120APB 因为 的面积是 所以 8 分 APB 3 3 2 13 3 sin 22 AP PBAPB 所以 9 分 3PB 在 中 APB 222 2cosABAPPBAP PBAPB 22 232 2 3 cos120 19 所以 10 分 19AB 在 中 由正弦定理得 11 分 APBsinsin ABPB APBBAP 所以 12 分 sin BAP 3sin120 19 3 57 38 法 2 作 垂足为 ADBC D 因为 是边长为的等边三角形 APC2 所以 7 分 1 3 30PDADPAD 因为 的面积是 所以 8 分 APB 3 3 2 13 3 22 AD PB 所以 9 分 3PB 所以 4BD 在 Rt 中 10 分 ADB 22 19ABBDAD 9 所以 4 sin 19 BD BAD AB 3 cos 19 AD BAD AB 所以 sinsin30BAPBAD 11 分 sincos30cossin30BADBAD 12 分 4331 221919 3 57 38 18 解 列联表 2 2 对服务满意对服务不满意合计 对商品满意8040120 对商品不满意701080 合计15050200 2 分 3 分 2 2 20080 1040 70 11 111 150 50 120 80 K 因为 11 1116 635 所以能有 99 的把握认为 网购者对商品满意与对服务满意之间有关系 4 分 每次购物时 对商品和服务都满意的概率为 且的取值可以是 0 1 2 3 2 5X 6 分 32 1 3 3272354 0 1 512555125 P XP XC 10 分 21 2 3 2336 2 55125 P XC 30 3 3 238 3 55125 P XC 的分布列为 X 11 分 所以 12 分 27543686 0123 1251251251255 EX X0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 10 z y x E D C B A 或者 或者 由于 则 12 分 2 3 5 XB 26 3 55 EX 19 解 因为平面 平面 平面平面 ABDBCDABD BCDBD 又 所以 平面 1 分 BDDCDCABD 因为平面 所以 2 分 AB ABDDCAB 又因为折叠前后均有 3 分 ADABDCADD 所以 平面 4 分 ABADC 由 知 平面 所以二面角的平面角为 5 分 ABADCCABD CAD 又 平面 平面 所以 DCABDAD ABDDCAD 依题意 6 分 6tan AD CD CAD 因为 所以 1AD 6 CD 设 则 0ABx x 1 2 xBD 依题意 所以 即 7 分 ABDBDC ABCD ADBD 1 6 1 2 x x 解得 故 8 分 2x 22 2 3 3ABBDBCBDCD 法 1 如图所示 建立空间直角坐标系 则 Dxyz 0 0 0 D 0 0 3 B 0 6 0 C 所以 36 0 22 E 36 0 33 A 36 0 22 DE 36 0 33 DA 由 知平面的法向量 9 分 BAD 0 1 0 n 设平面的法向量 ADE zyxm 由得 0 0 m DE m DA 36 0 22 36 0 33 xy xz 11 G F E D C B A 令 得 6 x3 3yz 所以 10 分 3 3 6 m 所以 11 分 2 1 cos mn mn mn 由图可知二面角的平面角为锐角 BADE 所以二面角的余弦值为 12 分 BADE 1 2 法 2 因为 平面 DCABD 过点作 交于 EEFDCBDF 则 平面 EFABD 因为平面 AD ABD 所以 9 分 EFAD 过点作 于 连接 FFGADGGE 所以 平面 因此 ADEFGADGE 所以二面角的平面角为 10 分 BADE EGF 由平面几何知识求得 2 6 2 1 CDEF 2 2 2 1 ABFG 所以 22 2EGEFFG 所以 cos 11 分 EGF2 1 EG FG 所以二面角的余弦值为 12 分 BADE 1 2 20 解 法 1 由 得 所以 所以直线的斜率为 2 4xy 2 1 4 yx 1 2 yx PA 1 1 2 x 因为点和在抛物线上 所以 11 A x y 22 B xy C 2 11 1 4 yx 2 22 1 4 yx 所以直线的方程为 1 分 PA 2 111 11 42 yxxxx 12 因为点在直线上 2P a PA 所以 即 2 分 2 111 11 2 42 xx ax 2 11 280 xax 同理 3 分 2 22 280 xax 所以是方程的两个根 12 x x 2 280 xax 所以 4 分 12 8x x 又 5 分 2 22 121212 111 4 4416 y yxxx x 所以为定值 6 分 1212 4x xy y 法 2 设过点且与抛物线相切的切线方程为 1 分 2P a C 2yk xa 由消去得 2 2 4 yk xa xy y 2 4480 xkxka 由 化简得 2 分 2 164 480kak 2 20kak 所以 3 分 12 2k k 由 得 所以 2 4xy 2 1 4 yx 1 2 yx 所以直线的斜率为 直线的斜率为 PA 11 1 2 kx PB 22 1 2 kx 所以 即 4 分 12 1 2 4 x x 12 8x x 又 5 分 2 22 121212 111 4 4416 y yxxx x 所以为定值 6 分 1212 4x xy y 法 1 直线的垂直平分线方程为 7 分 PA 11 1 22 22 yxa yx x 由于 2 11 1 4 yx 2 11 82xax 13 所以直线的垂直平分线方程为 8 分 PA 11 1 2 42 axxa yx x 同理直线的垂直平分线方程为 9 分 PB 22 2 2 42 axxa yx x 由 解得 3 2 xa 2 1 2 a y 所以点 10 分 2 3 1 22 a Ma 抛物线的焦点为 则 C 0 1 F 2 3 3 22 a MFaPFa 由于 11 分 22 33 0 22 aa MF PF 所以 MFPF 所以以为直径的圆恒过点 12 分 PM F 另法另法 以为直径的圆的方程为 11 分 PM 2 3 210 22 a xaxayy 把点代入上方程 知点的坐标是方程的解 0 1F F 所以以为直径的圆恒过点 12 分 PM F 法 2 设点的坐标为 M m n 则 的外接圆方程为 PAB 2222 2xmynman 由于点在该圆上 1122 A x yB xy 则 2222 11 2xmynman 2222 22 2xmynman 两式相减得 7 分 12121212 220 xxxxmyyyyn 由 知 代入上式得 22 12121122 11 2 8 44 xxa x xyxyx 8 分 3 12 44420 xxamaaan 14 当时 得 12 xx 3 8420amaan 假设以为直径的圆恒过点 则即 PMF MFPF 1 30m na 得 9 分 310man 由 解得 10 分 2 31 1 22 ma na 所以点 11 分 2 31 1 22 Maa 当时 则 点 12 xx 0a 0 1M 所以以为直径的圆恒过点 12 分 PM F 21 解 法 1 函数的定义域为 ln a f xx x 0 由 得 1 分 ln a f xx x 22 1axa fx xxx 因为 则时 时 0a 0 xa 0fx xa 0fx 所以函数在上单调递减 在上单调递增 2 分 fx 0 a a 当时 3 分 xa min ln1f xa 当 即时 又 则函数有零点 4 分 ln10 a0 a 1 e 1ln10 faa fx 所以实数的取值范围为 5 分 a 1 0 e 法 2 函数的定义域为 ln a f xx x 0 由 得 1 分 ln0 a f xx x lnaxx 令 则 lng xxx ln1gxx 当时 当时 1 0 x e 0gx 1 x e 0gx 15 所以函数在上单调递增 在上单调递减 2 分 g x 1 0 e 1 e 故时 函数取得最大值 3 分 1 x e g x 1111 lng eeee 因而函数有零点 则 4 分 ln a f xx x 1 0a e 所以实数的取值范围为 5 分 a 1 0 e 令 则 lnh xxxa ln1h xx 当时 当时 1 0 x e 0fx 1 x e 0fx 所以函数在上单调递减 在上单调递增 h x 1 0 e 1 e 当时 6 分 1 x e min 1 h xa e 于是 当时 7 分 a 2 e 11 h xa ee 令 则 x xxe 1 xxx xexeex 当时 01x 0fx 当时 1x 0fx 所以函数在上单调递增 在上单调递减 x 0 1 1 当时 8 分 1x max 1 x e 于是 当时 9 分 0 x 1 x e 显然 不等式 中的等号不能同时成立 故当时 10