2013-2014学年高中数学 基础知识篇 第10章不等式本章练测 湘教版必修4

1 第第 1010 章章 不等式不等式 数学湘教版必修 数学湘教版必修 4 4 建议用时实际用时满分实际得分 90 分钟150 分 一 选择题一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 不等式 x 3 2 2 B x x 4 C x 4 xs B t s C t s D t s 3 不等式组所表示的平面区域的面积 0 34 34 x xy xy 等于 A B C D 3 2 2 3 4 3 3 4 4 已知函数 f x log2 x 1 且 a b c 0 则 的大小关系是 f a a f b b f c c A f a a f b b f c c B f c c f b b f a a C f b b f a a f c c D f a a f c c f b b 5 已知不等式 x y 9 对任意正实数 x y 恒成 立 则正实数 a 的最小值为 A 2 B 4 C 6 D 8 6 满足不等式 y2 x2 0 的点 x y 的集合 用 阴影表示 是 7 已知函数 f x 则不等式 x 1 1 0 xx xx x 1 f x 1 1 的解集是 A x 1 x 1 2 B x x 1 C x x 1 2 D x 1 x 1 22 8 设 M 且 a b c 1 a b c R R 则 M 的取值 范围是 A B C 1 8 D 8 9 对于满足等式 x2 y 1 2 1 的一切实数 x y 不等式 x y c 0 恒成立 则实数 c 的取值 范围 是 A 0 B 2 C 1 2 D 1 2 10 如果正数 a b c d 满足 a b cd 4 那么 2 A ab c d 且等号成立时 a b c d 的取值唯 一 B ab c d 且等号成立时 a b c d 的取值唯 一 C ab c d 且等号成立时a b c d 的 取值不唯一 D ab c d 且等号成立时a b c d 的 取值不唯一 二 填空题二 填空题 本大题共 2 小题 每小题 5 分 共 10 分 把答案填在题中横线上 11 不等式 的解集为 2 24 2x x 1 2 12 函数 y a 0 a 1 的图像恒过定点 1 x a A 若点 A 在直线 mx ny 1 0 mn 0 上 则 1 m 的最小值为 1 n 三 解答题三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 共 90 分 13 15 分 如图 要设计一张矩形广告 该广告 含有大小相等的左右两个矩形栏目 即图中阴影 部分 这两栏目的面积之和为18 000 cm2 四周 空白的宽度为 10 cm 两栏之间的中缝空白的宽度 为 5 cm 怎样确定广告的高与宽的尺寸 单位 cm 能使矩形广告的面积最小 14 15 分 不等 式 m2 2m 3 x2 m 3 x 1 0 对一切 x R R 恒成立 求实数 m 的取 值范围 15 20 分 制定投资计划时 不仅要考虑可能获 得的盈利 而且要考虑可能出现的亏损 某投资人 打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙两 个项目可能的最大盈利率分别为 100 和 50 可 能的最大亏损率分别为 30 和 10 投资人计划投 资金额不超过 10 万元 要求确保可能的资金亏损 不超过 1 8 万元 则投资人对甲 乙两个项目各 投资多少万元才能使可能的盈利最大 3 16 24 分 已知二次函数 f x 满足 f 2 0 且 2x f x 对一切实数 x 都成立 2 4 2 x 1 求 f 2 的值 2 求 f x 的解析式 3 设 bn 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 求 1 f n 证 Sn 4 3 3 n n 4 17 16 分 某村计划建造一个室内面积为 72 m2 的矩形蔬菜温室 在温室内 沿左 右两侧与后侧 内墙各保留 1 m 宽的通道 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地 当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种 植面积最大 最大种植面积是多少 第第 1010 章章 不等式不等式 数学湘教版必修 数学湘教版必修 4 4 答题纸答题纸 得分 得分 一 选择题一 选择题 题号 12345678910 答案 二 填空题二 填空题 11 12 三 计算题三 计算题 13 14 15 5 16 17 第第 1010 章章 不等式不等式 数学湘教版必修 数学湘教版必修 4 4 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 C 解析 解析 原不等式可化为 x2 6x 8 0 解得 4 x 2 2 D 解析 解析 t s a 2b a b2 1 b 1 2 0 t s 3 C 解析 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 由得交点 A 的坐标为 1 1 34 34 xy xy 又 B C 两点的坐标分别为 0 4 故 S ABC 1 1 2 4 3 4 B 解析 解析 特殊值法 令 a 7 b 3 c 1 满足 a b c 0 2 log 1 1 1 2 log 3 1 3 2 log 7 1 7 5 B 解析 解析 不等式 x y 9 对任意正实数 x y 恒成立 则 1 a a 2 1 9 2 或 4 舍去 yax xy aaa 正实数 a 的最小值为 4 6 B 解析 解析 取测试点 0 1 可知 C D 错 再取测试点 0 1 可知 A 错 故选 B 7 C 解析 解析 依题意得 10 10 1 1 1 1 xx xxxxxx 或 所以x 1 或 1 x 1x 1 选 C 1 1 2121 x x x x R 或22 8 D 解析 解析 M 8 bc a ac b ab c 8 abbcac abc 6 9 C 解析 解析 令 x cos y 1 sin 则 x y sin cos 1 sin 1 2 x y max 1 2 x y c 0 恒成立 c x y max 1 故选 C 2 10 A 解析 解析 因为 a b cd 4 由基本不等式得 a b 2 故 ab 4 ab 又 cd 故 c d 4 所以 ab c d 2 4 cd 当且仅当 a b c d 2 时 等号成立 故应选 A 11 x 3 x 1 解析 解析 依题意 x2 2x 4 1 x 3 x 1 0 x 3 1 12 4 解析 解析 由题意知 A 1 1 m n 1 0 m n 1 m n 2 2 2 4 1 m 1 n n m m n nm mn 13 解 解 设矩形栏目的高为 a cm 宽为 b cm 则 ab 9 000 广告的高为 a 20 宽为 2b 25 其中 a 0 b 0 广告的面积 S a 20 2b 25 2ab 40b 25a 500 18 500 25a 40b 18 500 2 18 500 2540ab 2 24 500 当且仅当 25a 40b 时等号成立 此时 b a 代入 式得 a 120 从而 b 75 即当1000ab 5 8 a 120 b 75 时 S 取得最小值 24 500 故广告的高为 140 cm 宽为 175 cm 时 可使广告的面积最小 14 解 解 若 m2 2m 3 0 则 m 1 或 m 3 当 m 1 时 不合题意 当 m 3 时 符合题意 若 m2 2m 3 0 设 f x m2 2m 3 x2 m 3 x 1 则由题意 得 2 2 230 230 mm mmm 解得 m 3 1 5 综合以上讨论 得 m 3 1 5 15 解 解 设投资人分别用 x y 万元投资甲 乙两个项目 由题意 得目标函数为 z x 0 5y 10 0 30 11 8 0 0 xy xy x y 上述不等式组表示的平面区域如图所示 阴影部分 含边界 即 7 为可行域 作直线 l0 x 0 5y 0 并作平行于直线 l0的一组直线 x 0 5y z z R R 与可行域相交 其中有 一条直线经过可行域上的点 M 此时 z 最大 这里点 M 是直线 x y 10 与直线 0 3x 0 1y 1 8 的交点 解方程组得此时 z 4 0 5 6 7 万元 10 0 30 11 8 xy xy 4 6 x y 当 x 4 y 6 时 z 取得最大值 答 投资人用 4 万元投资甲项目 6 万元投资乙项目 才能使可能的盈利最大 16 1 解 解 2x f x 对一切实数都成立 2 4 2 x 4 f 2 4 f 2 4 2 解 解 设 f x ax2 bx c a 0 f 2 0 f 2 4 424 1 42024 abcb abcca ax2 bx c 2x 即 ax2 x 2 4a 0 1 4a 2 4a 0 4a 1 2 0 a c 2 4a 1 故 f x x 1 1 4 2 4 x 3 证明 证明 bn 4 1 f n 2 4 2 n 4 2 3 nn Sn b1