2013年高考数学拿高分专项训练6 文

1 20132013 年高考数学文拿高分专项训练年高考数学文拿高分专项训练 6 6 1 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和Sk 35 求k的值 2 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后成为等比 数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 3 设 an 是公比为正数的等比数列 a1 2 a3 a2 4 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 an bn 的前n项和Sn 4 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项a1为a a R R 且 成等比数列 1 a1 1 a2 1 a4 1 求数列 an 的通项公式 2 对n N N 试比较 与的大小 1 a2 1 a22 1 a2n 1 a1 大题过程训练大题过程训练 1 本题满分 12 分 已知数列的通项公式为 12 nan 数列 n b 的前 n 项和为 n T n a 且满足 nn bT 1 I 求 n b 的通项公式 II 在中是否存在使得是 n b 中的项 若 n a 1 9 n a 存在 请写出满足题意的一项 不要求写出所有的项 若不存在 请说明理由 2 本小题满分 12 分 等差数列 2 4 n a 中 a 其前 n 项和 n S满足 2 n SnnR I 求实数 的值 并求数列 n a的通项公式 2 II 若数列 1 n n b S 是首项为 公比为2 的等比数列 求数列 n b的前 n 项和 n T 3 本题共 12 分 数列 中 是不为零的常数 n 1 2 3 n a 2 1 accnaa nn 1 且成等比数列 1 求的值 2 求 的通项公式 321 aaac n a 高考怎么考 高考怎么考 17 本小题满分 12 分 等比数列中 已知 n a 14 2 16aa 求数列的通项公式 n a 若分别为等差数列的第 3 项和第 5 项 试求数列的通项公式及前 35 a a n b n b 项和 n n S 17 本小题满分 12 分 数列 中 a1 前 n 项和满足 n n a 1 3 n S 1n S n S 1 1 3 n N I 求数列 的通项公式以及前 n 项和 n a n a n S II 若 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列 求实数 t 的值 数列通项公式的求法 一 定义法 直接利用等差或等比数列的定义求通项 特征 适应于已知数列类型的题目 特征 适应于已知数列类型的题目 例例 1 1 等差数列是递增数列 前 n 项和为 且成等比数列 求 n a n S 931 aaa 2 55 aS 3 数列的通项公式 n a 二 公式法 求数列的通项可用公式求解 n a n a 2 1 1 1 nSS nS a nn n 特征 已知数列的前特征 已知数列的前n项和项和与与的关系的关系 n S n a 例例 2 2 已知数列的前项和满足 求数列的通项公式 n an n S1 1 2 naS n nn n a 三 由递推式求数列通项法三 由递推式求数列通项法 类型类型 1 1 特征 递推公式为特征 递推公式为 1 nfaa nn 对策 对策 把原递推公式转化为 利用累加法累加法 逐差相加法逐差相加法 求解 1 nfaa nn 例例 3 3 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 类型类型 2 2 特征 递推公式为特征 递推公式为 nn anfa 1 对策 对策 把原递推公式转化为 利用累乘法累乘法 逐商相乘法逐商相乘法 求解 1 nf a a n n 例例 4 4 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 类型类型 3 3 特征 递推公式为特征 递推公式为 其中 p q 均为常数 qpaa nn 1 0 1 ppq 4 对策 对策 把原递推公式转化为 其中 再利用换元法换元法转化为 1 tapta nn p q t 1 等比数列求解 例例 5 5 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 类型类型 4 4 特征 递推公式为特征 递推公式为 其中 p q 均为常数 nnn qapaa 12 对策 对策 先把原递推公式转化为 其中 s t 满足 再 112nnnn saatsaa qst pts 应用前面类型 3 的方法求解 例例 6 6 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 类型类型 4 4 特征 双数列型特征 双数列型 对策 对策 根据所给两个数列递推公式的关系 灵活采用累加累加 累乘累乘 化归化归等方法求解 例例 7 7 已知数列中 数列中 当时 n a1 1 a n b0 1 b2 n 求 2 3 1 11 nnn baa 2 3 1 11 nnn bab n a n b 巩固 5 例例 8 8 数列 a 满足a 1 求数列 a 的通项公式 n1 073 1 nn aa n 例例 9 9 已知数列满足 且 求 n a1 1 a 1 32 nn aa n a 例例 1010 已知数列满足 求 n a1 1 a 1 23 n n n aa 2 n n a 例例 11 11 已知数列满足 n a 1221 1 3 32 nnn aaaaa nN I 证明 数列是等比数列 II 求数列的通项公式 1nn aa n a 例例 12 12 数列满足 0 求数列 a 的通项公式 n a23 5 2 1221 nn aaaa n a n 例例 1313 已知数列满足 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 6 20132013 年高考数学文拿高分专项训练年高考数学文拿高分专项训练 6 6 答案答案 1 解答 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3 可得 1 2d 3 解得d 2 从而 an 1 n 1 2 3 2n 2 由 1 可知an 3 2n 所以Sn 2n n2 n 1 3 2n 2 进而由Sk 35 可得 2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7 或k 5 又k N N 故k 7 为所求 2 解答 1 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为 7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得d 2 或d 13 舍去 故 bn 的第 3 项为 5 公比为 2 由b3 b1 22 即 5 b1 22 解得b1 5 4 所以 bn 是以 为首项 2 为公比的等比数列 其通项公式为bn 2n 1 5 2n 3 5 4 5 4 3 1 由q 3 S3 得 解得a1 所以an 3n 1 3n 2 13 3 a1 1 33 1 3 13 3 1 3 1 3 2 由 1 可知an 3n 2 所以a3 3 因为函数f x 的最大值为 3 所以A 3 因为 当x 时f x 取得最大值 所以 sin 1 又 0 故 6 2 6 6 所以函数f x 的解析式为f x 3sin 2x 6 4 解答 1 设q为等比数列 an 的公比 则由a1 2 a3 a2 4 得 2q2 2q 4 即 q2 q 2 0 解得q 2 或q 1 舍去 因此q 2 所以 an 的通项为an 2 2n 1 2n n N N 2 Sn n 1 2 2 1 2n 1 2 n n 1 2 2n 1 n2 2 5 解答 设等差数列 an 的公差为d 由题意可知 2 即 a1 d 1 a2 1 a1 1 a4 2 a1 a1 3d 从而a1d d2 因为d 0 所以d a1 a 故通项公式an na 2 记Tn 因为a2n 2na 1 a2 1 a22 1 a2n 所以Tn 1 a 1 2 1 22 1 2n 1 a 1 2 1 1 2 n 1 1 2 1 a 1 1 2 n 从而 当a 0 时 Tn 当a 0 时 Tn 1 a1 1 a1 大题过程训练大题过程训练 1 解 I 当1 n时 2 1 1 1111 bbTb 2 分 7 当2 n时 11 11 nnnn bTbT 两式相减得 nnn bbb 1 即 1 2 1 nn bb 6 分 故 n b 为首项和公比均为 2 1 的等比数列 n n b 2 1 8 分 II 设中第 m 项满足题意 即 即 n a m a 11 92 n m a 21 92nm 所以 3 42Nnnm n 其它形如 3 42Nnnm n 的数均可 12 分 4 7a 2 本题考查数列通项 数列求和等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查 方程与函数 数形结合 化归与转化等数学思想方法 满分 12 分 解 221 4213aSS 1 分 34 1 2 分 11 2aS 21 2daa 4 分 2 n an 6 分 由已知 1 11 1 1 22 nn n n b S 8 分 11 111 22 11 nn n b n nnn 9 分 121 11111 1222 1 2231 n n T nn 1 21 1 1 21 n n 1 211 1 n n 21 2 1 n n n 12 分 3 解 1 依题意 又cnaa nn 1 2 1 a 22 12 ccaaccaa322 23 8 分 成等比数列 故 3 分 321 aaa 31 2 2 aaa 即 解得 5 分 23 2 2 2 cc20 cc或 又 C 是不为零的常数 所以 6 分2 c 2 由 1 知 naa nn 2 1 当时 7 分2 n 1 2 1 naa nn 2 2 21 naa nn 9 分22 23 aa12 12 aa 将以上各式累加得 1 1 21 2 1 nnnaan 11 分 2 2 2 nnnan 检验得也满足上式 故综上可知 12 分 1 a2 2 nnan 高考怎么考 高考怎么考 17 解 设的公比为 由已知得 解得 n aq 3 162q 2q 由 I 得 则 2 8a 5 32a 3 8b 5 32b 设的公差为 则有解得 n bd 1 1 28 432 bd bd 1 16 12 b d 从而16 12 1 1228 n bnn 所以数列的前项和 n bn 2 16 1228 622 2 n nn Snn 9 第二次课第二次课 例例 1 1 等差数列是递增数列 前 n 项和为 且成等比数列 求 n a n S 931 aaa 2 55 aS 数列的通项公式 n a 解 设数列公差为 n a 0 dd 成等比数列 即 931 aaa 91 2 3 aaa 8 2 11 2 1 daada dad 1 2 0 dda 1 2 55 aS 2 11 4 2 45 5dada 由 得 5 3 1 a 5 3 dnnan 5 3 5 3 1 5 3 例例 2 2 已知数列的前项和满足 求数列的通项公式 n an n S1 1 2 naS n nn n a 解 由112 1111 aaSa 当 2 n 时 有 1 2 2 11 n nnnnn aaSSa 1 1 22 1 n nn aa 1 22 2 21 n nn aa 2 2 12 aa 11221 1 22 1 2 1 2 1 nnnn n aa 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 12 1 1 211 nn n nn nnnn 经验证也满足上式 所以 1 1 a 1 2 3 2 12 nn n a 例例 3 3 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 10 解 由条件知 1 11 1 11 2 1 nnnnnn aa nn 分别令 代入上式得个等式累加之 1 3 2 1 nn 1 n 即 1342312 nn aaaaaaaa 所以 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn n aan 1 1 1 2 1 1 a nn an 1 2 31 1 2 1 例例 4 4 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 解 由条件知 分别令 代入上式得个等式累乘 1 1 n n a a n n 1 3 2 1 nn 1 n 之 即 13 4 2 3 1 2 n n a a a a a a a a n n1 4 3 3 2 2 1 na an1 1 又 3 2 1 a n an 3 2 例例 5 5 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 解 设递推公式可以转化为即 32 1 nn aa 2 1 tata nn 32 1 ttaa nn 故递推公式为 令 则 且 3 23 1 nn aa3 nn ab43 11 ab 所以是以为首项 2 为公比的等比数列 则2 3 3 11 n n n n a a b b n b4 1 b 所以 11 224 nn n b32 1 n n a 例例 6 6 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 解 由可转化为 nnn aaa 3 1 3 2 12 112nnnn saatsaa 即或 nnn staatsa 12 3 1 3 2 st ts 3 1 1 t s 1 3 1 t s 这里不妨选用 当然也可选用 大家可以试一试 则 3 1 1 t s 1 3 1 t s 11 是以首项为 公比为的等比数 3 1 112nnnn aaaa nn aa 1 1 12 aa 3 1 列 所以 应用类型 1 的方法 分别令 代入上式 1 1 3 1 n nn aa 1 3 2 1 nn 得个等式累加之 1 n 即 210 1 3 1 3 1 3 1 n n aa 3 1 1 3 1 1 1 n 又 所以 1 1 a 1 3 1 4 3 4 7 n n a 例例 7 7 已知数列中 数列中 当时 n a1 1 a n b0 1 b2 n 求 2 3 1 11 nnn baa 2 3 1 11 nnn bab n a n b 解 因 nn ba 2 3 1 11nn ba 2 3 1 11 nn ba 11 nn ba 所以 nn ba 11 nn ba1 112222 bababa nn 即 1 1 nn ba 又因为 nn ba 2 3 1 11nn ba 2 3 1 11 nn ba 3 1 11 nn ba 所以 nn ba 3 1 11 nn ba 3 1 22 2 nn ba 3 1 11 1 ba n 即 2 1 3 1 n nn ba 1 3 1 n 由 1 2 得 3 1 1 2 1 1 n n a 3 1 1 2 1 1 n n b 巩固 例例 8 8 数列 a 满足a 1 求数列 a 的通项公式 n1 073 1 nn aa n 解 由得073 1 nn aa 3 7 3 1 1 nn aa 设a 比较系数得解得 3 1 1 kak nn 3 7 3 k k 4 7 k 是以为公比 以为首项的等比数列 4 7 n a 3 1 4 3 4 7 1 4 7 1 a 1 3 1 4 3 4 7 n n a 1 3 1 4 3 4 7 n n a 例例 9 9 已知数列满足 且 求 n a1 1 a 1 32 nn aa n a 解 设 则 3 1 tata nn 123 1 ttaa nn 是以为首项 以 3 为公比的等比数列 1 31 1nn aa 1 n a 1 1 a 12 11 1 323 1 1 nn n aa132 1 n n a 例例 1010 已知数列满足 求 n a1 1 a 1 23 n n n aa 2 n n a 解 将两边同除 得 1 23 n n n aa n 3 n n n n aa 3 2 1 3 1 1 1 33 2 1 3 n n