一元二次方程的整数整数解

1 竞赛辅导竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解一元二次方程的整数整数解 在数学课外活动中 在各类数学竞赛中 一元二次方程的整数解问题一直是个热点 它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合 涉及面广 解法灵活 综合性强 备受关注 解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有 从求根入手 求出根的有理表达式 利用整除求解 从判别式手 运用判别式求出参数或解的取值范围 或引入参数 设 通过穷 2 k 举 逼近求解 从韦达定理入手 从根与系数的关系式中消去参数 得到关于两根的不定方程 借助 因数分解 因式分解求解 从变更主元入人 当方程中参数次数较低时 可考虑以参数为主元求解 注 一元二次方程的整数根问题 既涉及方程的解法 判别式 韦达定理等与方程相关的 知识 又与整除 奇数 偶数 质数 合数等整数知识密切相关 例题求解例题求解 例 1 若关于的方程的解都是整数 则符合条件的x054 15117 9 6 2 xkxkk 整数是的值有 个 思路点拨思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式 因方程的类型未指明 故须按一次 方程 二次方程两种情形讨论 这样确定是的值才能全面而准确 注 系数含参数的方程问题 在没有指明是二次方程时 要注意有可能是一次方程 根据问题的题设条件 看是否要分类讨论 例 2 已知 为质数且是方程的根 那么的值是 ab013 2 cxx b a a b A B C D 22 127 22 125 22 123 22 121 思路点拨思路点拨 由韦达定理 的关系式 结合整数性质求出 的值 ababc 例 3 试确定一切有理数 使得关于的方程有根且只有整数rx01 2 2 rxrrx 根 思路点拨思路点拨 由于方程的类型未确定 所以应分类讨论 当时 由根与系数关系得0 r 到关于 r 的两个等式 消去 r 利用因式 数 分解先求出方程两整数根 例 4 当为整数时 关于的方程是否有有理根 如果有 mx01 12 12 2 xmxm 求出的值 如果没有 请说明理由 m 思路点拨思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数 设 为整数 解不定方程 讨论的 2222 4 12 544 12 4 12 nmmmmm nm 存在性 注 一元二次方程 a 0 而言 方程的根为整数必为有理数 而 0 2 cbxax 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件 acb4 2 2 例 5 若关于的方程至少有一个整数根 求非负整数的x0 13 3 2 2 axaaxa 值 思路点拨思路点拨 因根的表示式复杂 从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难 又aa 因的次数低于的次数 故可将原方程变形为关于的一次方程 axa 学历训练学历训练 1 已知关于的方程的根都是整数 那么符合条件的整数有 x012 1 2 axxaa 2 已知方程有两个质数解 则 m 01999 2 mxx 3 给出四个命题 整系数方程 a 0 中 若 为一个完全平方数 则方程0 2 cbxax 必有有理根 整系数方程 a 0 中 若方程有有理数根 则 为完全平0 2 cbxax 方数 无理数系数方程 a 0 的根只能是无理数 若 均为奇0 2 cbxaxabc 数 则方程没有有理数根 其中真命题是 0 2 cbxax 4 已知关于的一元二次方程0 12 22 axax 为整数 的两个实数根是 xa 1 x 2 x 则 21 xx 5 设 rn 为整数 且 4 m0 0 2 x 1 x 2 x 1 求证 0 0 0 0 2 求证 3 求 所有可能的值 1 x 2 x 1 x 2 x 11 bcbbc 13 如果直角三角形的两条直角边都是整