2013高考数学总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)基础巩固强化练习 新人教A版

1 10 910 9 随机变量的数字特征与正态分布随机变量的数字特征与正态分布 理理 基础巩固强化 1 2011 烟台模拟 设随机变量 服从正态分布N 0 1 若P 1 p 则 P 1 0 A p B p 1 2 1 2 C 1 2p D 1 p 答案 B 解析 N 0 1 P 1 p P 1 1 p 1 2 1 2 2 2012 浙江嘉兴模拟 甲 乙两人分别独立参加某高校自主招生考试 若甲 乙能 通过面试的概率都是 则面试结束后通过的人数X的数学期望是 2 3 A B 4 3 11 9 C 1 D 8 9 答案 A 解析 依题意 X的取值为 0 1 2 且P X 0 1 1 2 3 2 3 1 9 P X 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 4 9 P X 2 2 3 2 3 4 9 故X的数学期望E X 0 1 2 选 A 1 9 4 9 4 9 12 9 4 3 3 2011 盐城模拟 某人射击一次击中的概率为 经过 3 次射击 此人至少有两次击 3 5 中目标的概率为 A B 81 125 54 125 C D 36 125 27 125 答案 A 解析 该人 3 次射击 恰有两次击中目标的概率是 2 P1 C 2 2 3 3 5 2 5 三次全部击中目标的概率是P2 C 3 3 3 3 5 所以此人至少有两次击中目标的概率是 P P1 P2 C 2 C 3 2 3 3 5 2 53 3 3 5 81 125 4 2011 福州调研 已知某一随机变量 的概率分布列如下 且E 6 3 则a的 值为 4a9 P0 50 1b A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 解析 由 0 5 0 1 b 1 知 b 0 4 由E 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 知 a 7 故选 C 5 2012 杭州质检 体育课的排球发球项目考试的规则是 每位学生最多可发球 3 次 一旦发球成功 则停止发球 否则一直发到 3 次为止 设学生一次发球成功的概率为p p 0 发球次数为X 若X的数学期望E X 1 75 则p的取值范围是 A 0 B 1 7 12 7 12 C 0 D 1 1 2 1 2 答案 C 解析 由已知条件可得P X 1 p P X 2 1 p p P X 3 1 p 2p 1 p 3 1 p 2 则E X P X 1 2P X 2 3P X 3 p 2 1 p p 3 1 p 2 p2 3p 3 1 75 解得p 或p 5 2 1 2 又由p 0 1 可得p 0 故应选 C 1 2 6 已知随机变量 满足 2 1 且 B 10 p 若E 8 则D A 0 5 B 0 8 3 C 0 2 D 0 4 答案 D 解析 E 10p 8 p 0 8 D 10p 1 p 10 0 8 0 2 1 6 又 D D 2 1 4D D 0 4 7 2011 滨州模拟 有一批产品 其中有 12 件正品和 4 件次品 从中任取 3 件 若 表示取到次品的件数 则E 答案 3 4 解析 分布列如下 0123 P C 3 12 C 3 16 C1 4C 2 12 C 3 16 C2 4C 1 12 C 3 16 C3 4 C 3 16 E 0 1 2 3 C 3 12 C 3 16 C1 4C 2 12 C 3 16 C2 4C 1 12 C 3 16 C3 4 C 3 16 3 4 8 如果 B 100 当P k 取得最大值时 k 1 2 答案 50 解析 P k C k 100 k k100 1 2 1 2 C 100 由组合数的性质知 当k 50 时取到最大值 k100 1 2 9 2011 龙岩月考 袋中有 3 个黑球 1 个红球 从中任取 2 个 取到一个黑球得 0 分 取到一个红球得 2 分 则所得分数 的数学期望E 答案 1 解析 P 0 P 2 C2 3 C2 4 1 2 C1 3 C1 1 C2 4 1 2 E 0 2 1 1 2 1 2 10 2012 聊城市模拟 某学校数学兴趣小组有 10 名学生 其中有 4 名女学生 英语 兴趣小组有 5 名学生 其中有 3 名女学生 现采用分层抽样方法 从数学兴趣小组 英语兴 趣小组中共抽取 3 名学生参加科技节活动 1 求从数学兴趣小组 英语兴趣小组各抽取的人数 2 求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率 3 记 表示抽取的 3 名学生中男学生数 求 的分布列及数学期望 解析 1 因为数学兴趣小组人数 英语兴趣小组人数 10 5 2 1 从数学兴趣小组 4 和英语兴趣小组中抽取 3 人 则抽取数学小组的人数为 2 人 英语小组的人数为 1 人 2 从数学兴趣小组中抽取 2 人恰有一名女生的概率 P C1 6 C1 4 C 2 10 8 15 3 随机变量 的可能取值为 0 1 2 3 P 0 C2 4 C 2 10 3 5 2 25 P 1 C1 6 C1 4 C 2 10 3 5 C2 4 C 2 10 2 5 28 75 P 2 C2 6 C 2 10 3 5 C1 6 C1 4 C 2 10 2 5 31 75 P 3 C2 6 C 2 10 2 5 2 15 所以 的分布列为 0123 P 2 25 28 75 31 75 2 15 E 0 1 2 3 2 25 28 75 31 75 2 15 8 5 能力拓展提升 11 2011 温州十校联考 已知随机变量X N 3 22 若X 2 3 则D 等于 A 0 B 1 C 2 D 4 答案 B 解析 由X 2 3 得D X 4D 而D X 22 4 D 1 12 2011 广州模拟 一射手对靶射击 直到第一次命中为止 每次命中的概率为 0 6 现有 4 颗子弹 射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为 A 2 44 B 3 376 C 2 376 D 2 4 答案 C 解析 X的取值为 3 2 1 0 P X 3 0 6 P X 2 0 4 0 6 0 24 P X 1 0 42 0 6 0 096 P X 0 0 43 0 6 0 44 0 064 E X 3 0 6 2 0 24 1 0 096 0 0 064 2 376 13 2012 河北石家庄市模拟 有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙 已知从城 5 市甲到城市乙只有两条公路 且通过这两条公路所用的时间互不影响 据调查统计 通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽车所用时间的频数分布如下 表 所用的时间 天数 10111213 通过公路 1 的频数 20402020 通过公路 2 的频数 10404010 假设汽车A只能在约定日期 某月某日 的前 11 天出发 汽车B只能在约定日期的前 12 天出发 1 为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙 估计汽车A和汽车B应如 何选择各自的路径 2 若通过公路 1 公路 2 的 一次性费用 分别为 3 2 万元 1 6 万元 其他费用忽略 不计 此项费用由生产商承担 如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到 则销售商一 次性支付给生产商 40 万元 若在约定日期前送到 每提前一天销售商将多支付给生产商 2 万元 若在约定日期后送到 每迟到一天 销售商将少支付给生产商 2 万元 如果汽车 A B长期按 1 中所选路径运输货物 试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大 注 毛利润 销售商支付给生产商的费用 一次性费用 解析 1 频率分布表 如下 所用的时间 天数 10111213 通过公路 1 的频率 0 20 40 20 2 通过公路 2 的频率 0 10 40 40 1 设A1 A2分别表示汽车A在前 11 天出发选择公路 1 2 将货物运往城市乙 B1 B2分别 表示汽车B在前 12 天出发选择公路 1 2 将货物运往城市乙 P A1 0 2 0 4 0 6 P A2 0 1 0 4 0 5 汽车A应选择公路 1 P B1 0 2 0 4 0 2 0 8 P B2 0 1 0 4 0 4 0 9 汽车B应选择公路 2 2 设X表示汽车A选择公路 1 时 销售商付给生产商的费用 则X 42 40 38 36 X的分布列如下 X42403836 P0 20 40 20 2 E X 42 0 2 40 0 4 38 0 2 36 0 2 39 2 汽车A选择公路 1 时的毛利润为 39 2 3 2 36 0 万元 6 设Y表示汽车B选择公路 2 时的毛利润 Y 42 4 40 4 38 4 36 4 则分布列如下 Y42 440 438 436 4 P0 10 40 40 1 E Y 42 4 0 1 40 4 0 4 38 4 0 4 36 4 0 1 39 4 汽车B选择公路 2 时的毛利润为 39 4 万元 36 02 0 5 X 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1min 且第二个顾客办理业务所需的时间超 过 1min 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2min 7 所以P X 1 P Y 1 P Y 1 P Y 2 0 1 0 9 0 4 0 49 X 2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1min 所以P X 2 P Y 1 P Y 1 0 1 0 1 0 01 所以X的分布列为 X012 P0 50 490 01 E X 0 0 5 1 0 49 2 0 01 0 51 15 设两球队A B进行友谊比赛 在每局比赛中A队获胜的概率都是p 0 p 1 1 若比赛 6 局 且p 求其中A队至多获胜 4 局的概率是多少 2 3 2 若比赛 6 局 求A队恰好获胜 3 局的概率的最大值是多少 3 若采用 五局三胜 制 求A队获胜时的比赛局数 的分布列和数学期望 解析 1 设 比赛 6 局 A队至多获胜 4 局 为事件A 则P A 1 P6 5 P6 6 1 1 C5 6 2 3 5 1 2 3 C6 6 2 3 6 256 729 473 729 A队至多获胜 4 局的概率为 473 729 2 设 若比赛 6 局 A队恰好获胜 3 局 为事件B 则P B Cp3 1 p 3 3 6 当p 0 或p 1 时 显然有P B 0 当 0 p2 0 023 则P 2 2 A 0 477 B 0 628 C 0 954 D 0 977 答案 C 分析 若 N 2 则 为其均值 图象关于x 对称 为其标准差 解析 P 2 0 023 P 2 P 2 0 954 故选 C 点评 考查其对称性是考查正态分布的主要方式 3 某次国际象棋比赛规定 胜一局得 3 分 平一局得 1 分 负一局得 0 分 某参赛队 员比赛一局胜的概率为a 平局的概率为b 负的概率为c a b c 0 1 已知他比赛一 局得分的数学期望为 1 则ab的最大值为 A B 1 3 1 2 C D 1 12 1 6 答案 C 解析 由条件知 3a b 1 ab 3a b 2 等号在 3a b 1 3 1 3 3a b 2 1 12 1 2 即a b 时成立 1 6 1 2 9 4 2012 重庆理 17 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中 者获胜 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 1 3 乙每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响 1 2 1 求甲获胜的概率 2 求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与期望 分析 1 甲获胜 的含义是 第一次甲中 或者第一次甲 乙都不中 第二次甲 中 或者第一 二次甲 乙都不中 第三次甲中 2 甲投球次数 的取值为 1 2 3 1 表示第一次甲中 2 表示第一次甲 乙都未中 第二次甲中 3 表示第一 二次甲 乙都不中 第三次甲中 解析 设Ak Bk分别表示甲 乙在第k次投篮投中 则 P Ak P Bk k 1 2 3 1 3 1 2 1 记 甲获胜 为事件C 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概 率计算公式知 P C P A1 P 1 1A2 P 1 1 2 2A3 A BA B A B P A1 P 1 P 1 P A2 P 1 P 1 P 2 P 2 P A3 ABABAB 2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1