中考数学十大解题思路之等积法

1 中考数学十大解题思路之中考数学十大解题思路之等积法等积法 等面积法是一种常用的 重要的数学解题思想方法 它是利用 同 一个图形的面积相等 分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积 同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等 等性质解决有关的数 学问题 在解题中 灵活运用等面积法解答相关问题 可以使解题思路 清晰 解题过程简捷 下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用 一 求三角形的高 例 1 如图 1 所示 在 ABC 中 AB 10 BC 6 AC 8 求 AB 边上的高 CD 的长 解 在 ABC 中 10010 10086 222222 ABACBC 222 ABACBC ABC 是直角三角形 利用三角形面积计算公式得 2 1 2 1 CDABBCAC 即8 4 10 68 AB BCAC CD 二 求图形的面积 例 2 2 如图 2 所示 O O 的半径 为 3 OA 6 AB 切 O O 于 B 弦 BC OA 连接 AC 则图中阴影部分的 面积是多少 分析 连接 OB OC 将图中不规 则的阴影部分的面积转化为扇形 0BC 的面积是解决此问题的切入点和关 键 解 连接 OB OC 由 BC OA 知 OCB 与 ACB 的边 CB 上的高相等 故由等积性质可知 CBACB SS 0 2 易知 BOC 60 所以 2 3 360 360 2 0 CB SS 扇形阴影 三 求三角形内切圆半径 例 3 如图 3 所示 已知 O O 是 ABC 的内切圆 C AC 4 BC 3 求 90 O O 的半径 解 设 O O 的半径为 r 连接 0A 0B OC OE OF OG O O 是 ABC 的内切圆 OG AB OE BC OF AC 且 OE OF OG r 在 Rt ABC 中 由勾股定理 得 5 43 2222 ACBCAB 于是由 得 ACOBCOABOABC SSSS 2 1 2 1 2 1 2 1 ACBCrACrBCrAB 即 ACBCrACBCAB 1 435 43 ACBCAB ACBC r 四 求函数的解析式 例 4 如图 4 所示 线段 AB 8 直线 m 与 o 相切于点 D 且 m AB P 是直线 m 上的一点 PB 交以 AB 为直径的圆于 C 连结 AC 设 PB x AC y 求 y 与 x 的函数关系式 分析 因为 AB 是 O O 的直径 所以 AC BP 又因为把直线 m 与 o 相切于点D 且 m AB 所以 DO AB BP 和 AC 看成三角形的底和高 于 是很自然地连接 AP OD 利用同一个三角形 的面积相等的性质 就可以得到 x 与 y 的关 系 解 连结 AP AB 是 O O 的直径 AC BP 又 直线 m 与 o 相切于点 D 且 3 m AB DO AB 即 ABP 的 AB 边上的高是 4 即 xy 8 4 4 2 1 2 1 ABACBP x 4 x y 32 五 在探究规律题中的应用 例 5 如图 5 所示 将一个边长为 1 的正方形平均分成两个面积是 矩形 又将一个面积为矩形平均分成两个面积是的矩形 再将一 2 1 2 1 4 1 个面积为的矩形平局分成两个面积是的矩形 如此进行分割下去 4 1 8 1 如果分割 n 次后 按图中揭示的规律计算 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5432 分析 分割图形后各部分面积之和等于原图 形的面积根 得 2 12 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 1 8 1 4 1 2 1 4 4 4432 于是利用这个规律就可以把问题解决 解 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5432 2 12 2 1 1 n n n 总之 等面积法是一种重要的数学解题思想方法