【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）4.5.3 利用坐标计算数量积精品导学案 湘教版必修2

1 4 5 34 5 3 利用坐标计算数量积利用坐标计算数量积 学习目标重点难点 1 能记住在坐标表示的条件下 数 量积的计算公式 模及夹角余弦的公 式 两向量垂直的条件 2 能够利用坐标运算解决各公式相 应的问题 重点 在坐标表示的条件下 数量积 模 夹角 垂直条件等各公式的应用 难点 坐标运算的综合问题 疑点 在坐标表示条件下两向量共线 与垂直的条件 设向量u u x1 y1 v v x2 y2 可得 1 坐标表示的数量积的计算公式 u vu v x1 y1 x2 y2 x1x2 y1y2 2 坐标计算向量的模的公式 u u x12 y12 3 坐标计算投影值的公式 u u v v v v不为 0 0 u u v v v v x1x2 y1y2 x22 y22 4 坐标计算夹角余弦的公式 cos u u v v u u v v都 u u v v u u v v x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22 不为 0 0 5 坐标表示的垂直条件 u u v v u vu v 0 x1x2 y1y2 0 预习交流预习交流 1 在坐 标表示条件下 两向量共线与两向量垂直的条件有何区别 提示 对于两个非零向量a a x1 y1 b b x2 y2 有 a a b b a a b b 0 x1x2 y1y2 0 a a b b a a b b a a b b x1y2 x2y1 0 预习交流预习交流 2 与向量a a x y 垂直的所有单位向量怎样表示 提示 y x 和 y x 1 x2 y2 1 x2 y2 在预习中 还有哪些问题需要你在听课时加以关注 请在下列表格中做个 备忘吧 我的学困点我的学疑点 一 数量积的坐标运算 已知a a 2 3 b b 1 1 c c 0 4 求 1 a a b b a a 2b b 2 a a 2b b 3 a a b b c c 思路分析 思路分析 按照平面向量数量积的运算法则进行计算 2 解 解 1 a a b b 2 3 1 1 1 4 a a 2b b 2 3 2 1 1 4 1 a a b b a a 2b b 1 4 4 1 8 2 a a 2b b 2 3 2 1 1 0 5 a a 2b b 5 02 52 3 a a b b c c 3 2 0 4 8 已知向量a a 1 2 b b 3 2 1 求a a a a b b 2 求 a a b b 2a a b b 3 若c c 2 1 求 a a b b c c a a b b c c 解 解 1 a a 1 2 b b 3 2 a a b b 4 0 a a a a b b 1 2 4 0 1 4 2 0 4 2 a a b b 1 2 3 2 2 4 2a a b b 2 1 2 3 2 2 4 3 2 5 2 a a b b 2a a b b 2 4 5 2 2 5 4 2 2 3 a a b b c c 1 2 3 2 2 1 1 3 2 2 2 1 2 1 a a b b c c 1 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 1 8 1 2 8 16 在进行数量积的坐标运算时 一方面要熟记运算的法则 计算要准确 另一方面还要注意运用运算律 以简化运算过程 二 向量的共线与垂直问题 已知向量a a 1 1 b b 2 3 1 若 a a 2b b与a a垂直 求 的值 2 若a a 2kb b与a a b b平行 求k的值 思路分析 思路分析 先求出 a a 2b b a a 2kb b a a b b的坐标 再根据两向量平行与垂直的条件建 立关于 k的方程求解 解 解 1 a a 1 1 b b 2 3 a a 2b b 4 6 4 6 a a 2b b a a a a 2b b a a 0 4 6 0 1 2 a a 2kb b 1 1 4k 6k 1 4k 1 6k a a b b 3 2 且 a a 2kb b a a b b 2 1 4k 3 1 6k k 1 2 在 ABC中 2 3 1 k 且 ABC的一个内角为直角 求k的值 AB AC 解 解 当A 90 时 0 AB AC 2 1 3 k 0 k 2 3 当B 90 时 0 1 2 k 3 1 k 3 AB BC BC AC AB 2 1 3 k 3 0 k 11 3 当C 90 时 0 1 k k 3 0 AC BC k k 或或 3 13 2 2 3 11 3 3 13 2 3 对两个非零向量a a b b a a x1 y1 b b x2 y2 a a b b x1x2 y1y2 0 a a b b x1y2 x2y1 0 这两个结论不能记混 三 向量夹角的范围问题 已知向量a a 2 1 b b m 2 它们的夹角为 当m分别取什么实数时 为 1 直 角 2 锐角 3 钝角 思路分析 思路分析 当a a与b b的夹角是锐角时 必有a a b b 0 但还应满足a a与b b不同向共线 当a a与b b夹角是钝角时 必有a a b b 0 且a a与b b不能反向共线 由此可建立关于m的不等 式求解 解 解 法一 由a a 2 1 b b m 2 得 a a b b a a b b 2m 2 5m2 4 1 为直角 2m 2 0 m 1 2 为锐角 Error m 1 且m 4 3 为钝角 Error m 1 故当m 1 时 为直角 当m 1 且m 4 时 为锐角 当m 1 时 为钝 角 法二 由于a a 2 1 b b m 2 所以a a b b 2m 2 1 当 为直角时 a a b b 0 即 2m 2 0 解得m 1 2 当 为锐角时 a a b b 0 即 2m 2 0 解得m 1 但当a a b b时 有 2 2 1 m 得m 4 且这时 a a b b 0 不合要求 故m的取值范围是m 1 且m 4 3 当 为钝角时 a a b b 0 即 2m 2 0 解得m 1 由 2 知当a a b b时 m 4 且a a与b b同向 不可能反向共线 故m的取值范围是m 1 已知a a x 2 b b 1 4 若a a与b b的夹角是钝角 则x的范围是 答案 答案 Error 解析 解析 因为a a与b b的夹角是钝角 所以a a b b 0 即x 8 0 所以x 8 又当a a b b时 4x 2 得x 且这时a a与b b反向共线 不合题意 1 2 所以x的取值范围是Error 1 已知两向量的数量积与模 可求两向量夹角的余弦值 2 由a ba b 0 或a ba b 0 解答a a与b b的夹角是锐角或钝角的问题时 要特别注意a a 与b b共线的情况 因为a a与b b同向时 a ba b 0 但夹角为 0 a a与b b反向时 a ba b 0 但夹角为 180 1 已知点A 1 2 B 2 3 C 2 5 则 等于 AB AC A 1 B 0 C 1 D 2 答案 答案 B 解析 解析 1 1 3 3 于是 0 AB AC AB AC 2 2011 广东中山模拟 已知向量a a 1 x b b 1 x 若a a与b b垂直 则 a a A 1 B 2 C 4 D 2 答案 答案 D 解析 解析 依题意有 1 1 x2 0 于是x 1 a a 1 x22 3 向量a a 2 4 与b b 1 2 的夹角的大小为 A 零角 B 直角 C 钝角 D 平角 答案 答案 D 解析 解析 显然有a a 2b b 所以a a与b b反向共线 夹角是平角 4 4 设向量a a 1 0 b b 则下列结论中正确的是 1 2 1 2 A a a b b B a a b b 2 2 C a a b b与b b垂直 D a a b b 答案 答案 C 解析 解析 a a 1 b b 12 02 1 2 2 1 2 2 2 2 a a b b 1 0 a a b b b b a a b b b b 2 0 故a a b b与b b垂直 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 已知a a 1 2 b b 2 1 则向量 2a a b b与a a 2b2b的夹角