高等数学第六版(同济版)第九章复习资料

1 第九章 多元函数微分法及其应用 引入 在上册书中 我们学习了一元函数微积分学 所讨论的对象都只有一个自变量的函 数 而在实际应用中 研究的问题往往要涉及多方面的因素 反映在数量上就是一个变量 要依赖几个自变量 即数学上的多元函数 从这节课开始 我们进入多元函数微积分学的 学习阶段 先来学习多元函数微分学 由于从一元函数到二元函数 单与多的差异已能充分体现 我们由二元函数入手来研究 多元函数微分学 然后把相关概念及性质推广到三元 四元直至元函数上去 n 第一节 多元函数的基本概念 一 平面点集的相关概念 1 平面点集 具有性质 yxyxE P 2 RyRxyxRRRE 例如 其中点表示点 222 rOPPryxyxC P yx 2 邻域 2 000 RyxP 1 邻域 2 0 2 0 2 000 zzyyxxyxPPPPU 2 去心邻域 0 000 PUPPPPU oo 3 坐标面上的点与平面点集的关系 PE 22 RERP 1 内点 若 使 则称为的内点 0 EPU PE 2 外点 若 使 则称为的外点 0 EPU PE 3 边界点 若 且 则称为的边界点 0 EPU EPU PE 边界 的边界点的全体称为它的边界 记作 EE 4 聚点 若 则称为的聚点 0 EPU o PE 导集 的聚点的全体称为它的导集 E 注 1 若为的聚点 则可以属于 也可以不属于 PEPEE 2 内点一定是聚点 外点一定不是聚点 边界点也不总是聚点 如孤立的边界点 例如 21 22 1 yxyxE 0 0 21 22 2 yxyxE 4 一些常用的平面点集 1 开集 若点集的点都是其内点 则称为开集 EE 2 2 闭集 若点集的边界 则称为闭集 开集加边界 EEE E 3 连通集 若中任何两点都可用属于的折线连接 则称为连通集 EEE 4 开区域 连通的开集称为开区域 也称为区域 5 闭区域 开区域加上其边界称为闭区域 例如 为区域 为闭区域 21 22 1 yxyxE 21 22 2 yxyxE 6 有界集 若 使 则称为有界集 0 r rOUE E 7 无界集 若 使 则称为无界集 0 r rOUE E 二 维空间 对取定的自然数 称元数组的全体为维空间 记为 nnn 21n xxx n n R 注 前述的邻域 区域等相关概念可推广到 维空间 n 三 多元函数的概念 1 定义 或 其中 yxfz Pfz DyxP 因 映 自 变 变 量 射 量 定义域 D 值 域 RDyxyxfzzDf 注 可推广 元函数 n 21n xxxfu n n RDxxx 21 例 1 arcsin 22 yxz 1 22 yxyxD 2 ln yxz 0 yxyxD 2 几何表示 函数对应空间直角坐标系中的一张曲面 yxfz 0 yxfzzyxF 四 二元函数的极限 1 定义 设函数的定义域为 点为的聚点 若 yxfD 000 yxPDRA 0 满足 则称为当0 0 PUDyxP o AyxfA yxf 时的极限 记作 称之为的二重极限 000 yxPyxP Ayxf yxyx lim 00 yxf 例 1 设 求证 22 22 1 sin yx yxyxf 0 lim 0 0 yxf yx 证明 要使不等式0 3 22 22 22 22 22 1 sin 0 1 sin yx yx yx yx yx 成立 只须取 于是 总有 即0 0 o UDyxP 0 1 sin 22 22 yx yx 0 lim 0 0 yxf yx 例 2 证明不存在 其中 lim 0 0 yxf yx 0 0 0 22 22 22 yx yx yx xy yxf 证明 当沿直线趋于时 总有 yxP 0 kkxy 0 0 O 2222 2 0 0 0 1 lim lim k k xkx kx yxf x kxy yx 随着的不同而趋于不同的值 故极限不存在 yxfk lim 0 0 yxf yx 例 3 求极限 x xy yx sin lim 2 0 解 221lim sin lim sin lim sin lim 20 2 0 2 0 y xy xy y xy xy x xy yxyyxyx 五 二元函数的连续性 1 二元函数的连续性 设函数的定义域为 点为的聚点 且 yxfD 000 yxPDDP 0 若 则称在点连续 lim 00 00 yxfyxf yxyx yxfz 000 yxP 2 二元函数的间断点 设函数的定义域为 点为的聚点 若 yxfD 000 yxPD 在点不连续 则称为的间断点 yxf 000 yxP 000 yxP yxf 注 间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点 3 性质 设为有界闭区域 D 1 有界性 0 M 有 Dyx Myxf 2 最值性 使得 有 DPP 21 DP DPPfPf DPPfPf min max 2 1 21 PfPfPf 3 介值性 使得 21 PfPfC DyxP Cyxf 4 二元连续函数的运算性质 4 1 和 差 积仍连续 2 商 分母不为零 连续 3 复合函数连续 5 二元初等函数及其连续性 1 二元初等函数 由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构 成的 并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数 2 二元初等函数在其定义区域内连续 例 4 求 xy yx yx 2 1 lim 解 令 则 xy yx yxf 2 3 2 1 lim 2 1 f xy yx yx 例 5 求 xy xy yx 11 lim 0 0 解 分子有理化 xy xy yx 11 lim 0 0 2 1 11 1 lim 11 11 lim 0 0 0 0 xyxyxy xy yxyx 5 第二节 偏导数 引入 在一元函数微分学中 我们研究了一元函数的变化率 导数 并利用导数研究了函 数的性态 对于多元函数 我们也要讨论它的变化率 但由于多元函数的自变量不止一个 所以多元函数的变化率要比一元函数的变化率复杂得多 我们还是以二元函数为例来研究多 元函数的变化率 先把二元函数中某一自变量暂时固定 再讨论二元函数关于另一个自变 量的变化率 这就是数学上的偏导数 一 偏导数的相关概念 1 偏导数 设函数在点的某邻域内有定义 把暂时固定在 而 yxfz 000 yxPy 0 y 在处有增量时 相应地有增量 若极限x 0 xx z 0000 y x fy xx f 存在 则称此极限值为函数在点处对的 x y x fy xx f x lim 0000 0 yxfz 000 yxPx 偏导数 记为 或 0 0 yy xxx z 0 0 yy xxx f 0 0 yy xxx z 00 yxfx 注 1 0 lim 0 0000 0 00 xx x x yxf xd d x yxfyxxf yxf 2 0 lim 0 0000 0 00yy y y yxf yd d y yxfyyxf yxf 2 偏导函数 若函数在区域 D 内每一点处对或偏导数存在 则该偏导 yxfz yxxy 数称为偏导函数 也简称为偏导数 记为或 或 x z x f x z yxfx y z y f y z yxfy 6 注 可推广 三元函数在点处对的偏导数定义为 zyxfu zyxx x zyxfzyxxf zyxf x x lim 0 例 1 求在处的偏导数 22 3yxyxz 2 1 解 先求偏导函数 yx x z 32 yx y z 23 再求偏导数 8 2 1 y xx z 7 2 1 y xy z 例 2 求的偏导数 yxz2sin 2 解 yx x z 2sin2 yx y z 2cos2 2 例 3 求的偏导数 222 zyxr 解 由轮换对称性可知 r x zyx x x r 222 2 2 r y y r r z z r 3 偏导数的几何意义 1 偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率 00 yxfx 0 yy yxfz 00000 yxfyxMx 2 偏导数是曲线在点处的切线关于轴的斜率 00 yxfy 0 xx yxfz 00000 yxfyxMy 4 函数偏导数存在与函数连续的关系 函数偏导数存在与函数连续之间无必然的蕴含关系 1 函数在点处偏导数存在 但它在点却未必连续 yxfz 000 yxP 000 yxP 例如 函数在点的两个偏导数都存在 即 0 0 0 22 22 22 yx yx yx xy yxfz 0 0 00lim 0 0 0 0 lim 0 0 00 xx x x fxf f 00lim 0 0 0 0 lim 0 0 00 yy y y fyf f 但二重极限不存在 故在点不连续 lim 0 0 yxf yx yxfz 0 0 2 函数在点连续 但它在点处却未必存在偏导数 yxfz 000 yxP 000 yxP 7 例如 函数在点连续 但它在点对及的偏导数都不存在 22 yxyxfz 0 0 0 0 xy 这是因为 0 1 0 1 lim 0 0 0 0 lim 00 x x x x x fxf xx 0 1 0 1 lim 0 0 0 0 lim 00 y y y y y fyf xy 即在点对及的偏导数都不存在 yxfz 0 0 xy 二 高阶导数 1 二阶偏导数 若函数对及的偏导数及对及的偏导数也 yxfz xy yxfx yxfyxy 存在 则称它们是函数的二阶偏导数 yxfz 记作 二阶纯偏导数 2 2 yxf x z x z x xx 2 2 yxf y z y z y yy 二阶混合偏导数 2 yxf yx z x z y xy 2 yxf xy z y z x yx 二阶纯偏导数 注 1 一般地 二元函数的阶偏导数的偏导数称为它的阶偏导数 yxfz 1 nn 2 二阶以及二阶以上的偏导数统称为高阶导数 3 二元函数的阶偏导数至多有个 yxfz n n 2 例 4 设 求它的二阶偏导数 13 323 xyxyyxz 解 yyyx x z 322 33xxyyx y z 23 92 2 2 2 6xy x z xyx y z 182 3 2 2 196 22 2 yyx yx z 196 22 2 yyx xy z 总结 从这一例题 我们看到 即两个二阶混合偏导数相等 与求导顺序 xy z yx z 22 无关 那是不是每个二元函数都有这样的相等的二阶混合偏导数呢 我们说不是的 例如 在点 0 0 0 22 22 22 22 yx yx yx yx xy yxfz 0 0 8 有 事实上 0 0 0 0 yxxy ff y fyf f xx y xy 0 0 0 0 lim 0 0 0 x fxf f yy x yx 0 0 0 0 lim 0 0 0 而 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 x fxf f x x 0 0 0 0 0 lim 0 0 0 y fyf f y y y x yx yx yx x yfyxf yf xx x 22 22 00 lim 0 0 lim 0 x y yx yx xy y xfyxf xf yy y 22 22 00 lim 0 0 lim 0 于是 1lim 0 0 0 0 lim 0 0 00 y y y fyf f y xx y xy 1lim 0 0 0 0 lim 0 0 00 x x x fxf f x yy x yx 即 0 0 0 0 yxxy ff 那么满足什么条件得二元函数的两个二阶混合偏导数与求导顺序无关呢 有下面的定理 2 二阶混合偏导数的性质 定理 若函数的两个二阶混合偏导数与在区域内连续 则它 yxfz yxfxy yxfyxD 们在内必相等 即 D yxfyxf yxxy 注 1 可推广 高阶混合偏导数在连续的条件下与求导顺序无关 2 一般地 若二元函数的高阶混合偏导数都连续 则的阶偏导 yxfz yxfz n 数只有个 1 n 第三节 全微分 9 一 全微分的相关概念 1 偏增量 称为函数对的偏增量 yxfyxxfz x yxfz x 称为函数对的偏增量 yxfyyxfz y yxfz y 2 偏微分 称与为对及的偏微分 xyxfx yyxfy yxfz xy 注 xyxfyxfyxxf x yyxfyxfyyxf y 但在实际应用中 往往要知道函数的全面的变化情况 即当自变量有微小增量 x 时 相应的函数增量与自变量的增量 之间的依赖关系 这涉及到函数的全增y z x y 量 3 全增量 称为函数在点对应于自变量增 yxfyyxxfz yxfz yxP 量 的全增量 x y 一般来讲 计算全增量是比较困难的 我们总希望像一元函数那样 利用 的z x y 线性函数来近似代替函数的全增量 为此 引入了全微分 z 4 全微分 若函数在点的某领域内有定义 且在的全增量 yxfz yxP yxP 可表示为 其中 不依赖于 yxfyyxxfz oyBxAz ABx 而仅与 有关 则称在点可微分 而称y xy 22 yx yxfz yxP yBxA 为在点的全微分 记作 即 yxfz yxPdzyBxAdz 若在区域内每一点都可微分 则称在内可微分 yxfz D yxfz D 注 ozdz 我们知道 当一元函数在点的微分存在时 那么 当二 xfy xxAdy xfA 元函数在点的全微分存在时 又为何值呢 下面讨 yxfz yxPyBxAdz AB 论二元函数可微分与连续 可微分与偏导数存在的关系 从中得到 的值 AB 二 二元函数可微分与偏导数存在 可微分与连续的关系 1 函数可微分的必要条件 定理 1 若函数在点可微分 则它在点的两个偏导数及 yxfz yxP yxP yxfx 必定存在 且在点的全微分 yxfy yxfz yxPdyyxfdxyxfdz yx 10 证明 由于在点可微分 则有 其中 yxfz yxP oyBxAz 当时 有 从而 22 yx 0 y xoxAyxfyxxfz x A x xoxA x yxfyxxf xx lim lim 00 即 同理可得 于是 yxfA x yxfB y yyxfxyxfdz yx 特殊地 令 有 从而有 同理令 xyxf 1 yxfx0 yxfyxdx yyxf 有 从而有 于是有 也称之为0 yxfx1 yxfyydy dyyxfdxyxfdz yx 二元函数微分学的叠加原理 注 定理说明 函数可微分 一定可偏导 且全微分可用偏导数表示 yxfz yxfz 但反之未必 即偏导数存在 函数未必可微分 yxfz 例如 在点处两个偏导数都存在 且 0 0 0 22 22 22 yx yx yx xy yxfz 0 0 但在点却不可微分 0 0 0 0 yx ff yxfz 0 0 事实上 假设在点可微分 则 又 yxfz 0 0 yyxfxyxfdz yx 从而0 dzz 当时 odzz 0 而 有 22 0 0 0 0 0 yx yx fyxfdzz 不存在 更谈不上等于 0 从而假设 222 0 0 0 lim lim yx yx x yxfyxxf yxx 不成立 即在点不可微分 yxfz 0 0 2 函数可微分的必要条件 定理 2 若函数在点可微分 则它在点连续 yxfz yxP yxP 证明 由于在点可微分 有 其中 yxfz yxP oyBxAz 于是有 又的全增量为 22 yx 0lim 0 z yxfz 从而 yxfyyxxfz 11 即 这说明0 lim 0 0 yxfyyxxf yx lim 0 0 yxfyyxxf yx 在点连续 yxfz yxP 注 函数连续 未必可微分 例如 函数在点连续 但由于偏导数不存在 从而不可微分 22 yxyxfz 0 0 3 函数可微分的充分条件 定理 3 若函数的偏导数与在点都连续 则在点 yxfz yxfx yxfy yx yxfz 可微分 yx 注 反之未必 例如 在点可微分 但与 0 0 0 1 sin 22 22 22 22 yx yx yx yx yxfz 0 0 yxfx 在点都不连续 yxfy 0 0 1 先说明在点可微分 yxfz 0 0 设 0 0 0 0 0 yfxfyx yx 因为 0 1 sin lim 0 0 0 lim 0 0 2 2 00 x x x x fxf f xx x 0 1 sin lim 0 0 0 lim 0 0 2 2 00 y y y y fyf f yy y 令 22 22 1 sin 0 0 0 0 yx yxfyxfu 由于 其中 于是0 1 sin lim lim 2 2 00 yxu 22 yx 由全微分的定义知在 0 0 0 0 oyfxfoyxu yx yxfz 可微分 0 0 2 再说明偏导数及在点不连续 yxfx yxfy 0 0 易知 0 1 cos 21 sin2 22 222222 yx yxyx x yx xyxfx 12 由于不存在 从而在点 22 00 0 0 2 1 cos 1 2 1 sin2lim lim lim xxx xxxfyxf x x x x xy yx yxfx 不连续 0 0 同理可知在点也不连续 0 1 cos 21 sin2 22 222222 yx yxyx y yx yyxfy 0 0 例 1 计算函数的全微分 22 yyxz 解 dyyxxydxdy y z dx x z dz 2 2 2 例 2 计算函数在点处的全微分 xy ez 1 2 解 由于 有 所以 xyxy xe y z ye x z 2 1 2 2 1 2 2 e y z e x z y x y x dyedxedz y x 22 1 2 2 例 3 计算的全微分 yz e y xu 2 sin 解 dzyedyze y dxdz z u dy y u dx x u du yzyz 2 cos 2 1 第四节 多元复合函数的求导法则 一 一元函数与多元函数复合的情形 定理 1 若函数及在点 都可导 函数在对应点具有连续偏导 tu tv t vufz vu 数 则复合函数在点 可导 且 全导数公式 ttfz t dt dv v z dt du u z dt dz 注 可推广 vufz tu 13 复合而成的函数在点 可导 且 tv t tttfz t dt dz dt dv v z dt du u z dt dz 二 多元函数与多元函数复合的情形 定理 2 若函数及在点具有对及的偏导数 函数在 yxu yxv yxxy vufz 对应点具有连续偏导数 则复合函数在点的两个偏导数都 vu yxyxfz yx 存在 且 x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 注 可推广 由 复合而成的函数 vufz yxu yxv yx 在点两个偏导数都存在 且 yxyxyxfz yx x z x v v z x u u z x z y z y v v z y u u z y z 三 其它情形 1 函数在点对及的偏导数都存在 函数及在点 可导 yxu yxxy yv t 在点具有连续偏导数 则复合函数在点的两个偏导数 vufz vu yyxfz yx 都存在 且 x u u z v z x u u z dx dv v z x u u z x z 0 dy dv v z y u u z y z 2 函数在点具有对及的偏导数 在点具有连续偏 yxu yxxy yxufz yxu 导数 则复合函数在点的两个偏导数都存在 且 yxyxfz yx 1 x f x u u f dx dy y f dx dx x f x u u f x z 1 y f y u u f dy dy y f dy dx x f y u u f y z 例 1 设 而 求及 vez u sin xyu yxv x z y z 解 cos sin 1cossinyxyxyeveyve x v v z x u u z x z xyuu 14 cos sin 1cossinyxyxxevexve y v v z y u u z y z xyuu 例 2 设 而 求及 222 zyx ezyxfu yxzsin 2 x u y u 解 x z z f dx dy y f dx dx x f x u yxyxzyxzyx eyxxyxzexe 2422222222 sin22 sin21 2sin222 y z z f dy dx x f dx dy y f y u yxyxzyxzyx eyyxyyxzeye 2422222222 sin42 cossin 2cos22 例 3 设 而 求求导数 tuvzsin t eu tvcos dt dz 解 ttuve dt dt t z dt dv v z dt du u z dt dz t cossin tttettete ttt cos sin coscossincos 四 全微分形式不变性 若函数具有连续偏导数 则有全微分 vufz dv v z du u z dt dz 若函数及也具有连续偏导数 则复合函数的全微 yxu yxv yxyxfz 分为 有 称此性质为全微分形式不变dy y z dx x z dt dz dy y z dx x z dv v z du u z dt dz 性 事实上 dy y z dx x z dt dz dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z dy y v dx x u v z dy y u dx x u u z dv v z du u z 例 4 利用全微分形式不变性求与 其中 x u y u vez u sin xyu yxv 解 由于 vdvevdueveddz uuu cossin sin 而 xdyydxxyddu dydxyxddv 于是 即dyvexvedxveyvedz uuuu cossin cossin 15 dyyxyxxedxyxyxyedy y z dx x z xyxy cos sin cos sin 比较两端 的系数得 dxdy cos sin yxyxye x z xy cos sin yxyxxe x z xy 第五节 隐函数的求导公式 一 隐函数 称对应关系不明显 而是隐含在方程 方程组 中的函数 函数组 为由方程 方 程组 确定的隐函数 隐函数组 注 并不是每一个方程都能确定一个隐函数 例如 01 242 zyx 二 隐函数存在定理 1 由一个方程确定的隐函数 定理 1 若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数 且 yxF 00 yxP0 00 yxF 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续可导的0 00 yxFy0 yxF 00 yxP 函数 满足 且 xfy 00 xfy y x F F dx dy 注 若的二阶偏导数也连续 则有 yxF dx dy F F ydx dx F F xdx yd y x y x 2 2 16 y x y xyyyxy y xyxyxx F F F FFFF F FFFF 22 3 22 2 y xyyyxxyyxx F FFFFFFF 定理 2 若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数 且 zyxF 000 zyxP0 000 zyxF 则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续0 000 zyxFz0 zyxF 000 zyxP 且具有连续偏导数的函数 满足 且 yxfz 000 yxfz z x F F x z z y F F y z 例 1 设 求及 01 22 yx dx dy 2 2 dx yd 解 令 则 从而 1 22 yxyxFxFx2 yFy2 y x F F dx dy y x 33 22 22 2 1 yy xy y xyy y x dx d dx yd 例 2 设 求 04 222 zzyx 2 2 x z 解 设 则 42 zFz 于是 从而zzyxzyxF4 222 xFx2 z x F F x z z x 2 3 22 222 2 2 2 2 2 2 2 2 z xz z z x xz z x z xz x z 2 由方程组确定的隐函数组 定理 3 若函数与在点的某一邻域内具有对各个变量的 vuyxF vuyxG 0000 vuyxP 连续偏导数 又 且函数行列式0 0000 vuyxF0 0000 vuyxG 在点不等于零 则方程组在点 vu vu GG FF vu GF J 0000 vuyxP 0 0 vuyxG vuyxF 的某一邻域内恒能确定唯一一组连续且具有连续偏导数的函数组 0000 vuyxP yxvv yxuu 且 17 vu vu vx vx GG FF GG FF vx GF Jx u 1 vu vu xu xu GG FF GG FF xu GF Jx v 1 vu vu vy vy GG FF GG FF vy GF Jy u 1 vu vu yu yu GG FF GG FF yu GF Jy v 1 例 3 设 求 和 0 yvxu1 xvyu x u y u x v y v 解 设方程组 两端对求导得 1 0 xvyu yvxu x 或 0 0 v x v x x u y x v y x u xu v x v x x u y u x v y x u x 在的条件下 有0 22 yx xy yx J 22 yx yvxu xy yx xv yu x u 22 yx xvyu xy yx vy ux x v 同理可得 22 yx yuxv y u 22 yx yvxu y v 18 第六节 多元函数微分学的几何应用 一 一元向量值函数及其导数 1 一元向量值函数的定义 数集 tfr Dt n Rr 注 1 在中 3 R 321321 tftftfktfjtfitftfr 2 向量值函数称为曲线的向量方程 321 Dttftftftfr 3 2 1 tfz tfy tfx 2 一元向量值函数的极限 设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义 若存在常 tf 0 t 向量 满足 总有 则称为当0r0 0 t 0 0 tt 0rtf0r tf 0 tt 时的极限 记作 0 lim 0 rtf tt 注 存在 都存在 lim 0 tf tt lim 1 0 tf tt lim 2 0 tf tt lim 3 0 tf tt lim lim lim lim 321 0000 tftftftf tttttttt 3 一元向量值函数的连续性 设向量值函数在点的某一邻域内有定义 若 tf 0 t 则称向量值函数在点连续 lim 0 0 tftf tt tf 0 t 注 在点连续 点连续 tf 0 t 1 tf 2 tf 3 tf 0 t 4 一元向量值函数的导数 导向量 设向量值函数在点的某一邻域内有定义 若 tfr 0 t 存在 则称此极限值为在点的导数或导向量 记作 t tfttf t r tt limlim 00 00 tf 0 t 或 tf 0 xt dt rd 19 注 1 在点可导 点都可导 tf 0 t 1 tf 2 tf 3 tf 0 t ktfjtfitftf 3 2 1 2 一元向量值函数的导向量的几何意义 是向量值函数的终 t r tf t 0 0 lim tfr 端曲线在点处的一个切向量 其指向与 的增长方向一致 0 tMt 例 1 设 求 k tjtittf sin cos lim 4 tf t 解 ktjtittf tttt lim sinlim coslim lim 4 4 4 4 kji 42 2 2 2 例 2 设空间曲线的向量方程为 求曲线在点 Rttttttfr 62 34 1 22 相应的点处的单位切向量 2 0 t 解 由于 有 进而 于是 64 4 2 tttf 2 4 4 2 f6244 2 222 f 为指向与 的增长方向一致的单位切向量 3 1 3 2 3 2 2 4 4 6 1 1nt 为指向与 的增长方向相反的单位切向量 3 1 3 2 3 2 2nt 二 空间曲线的切线与法平面 1 参数式情形 设空间曲线的参数方程为 假设 以及 tz ty tx t t t 在上可导 且三个导数不同时为零 t 1 切线 曲线上的一点处的切线方程为 参数 000 zyxM 000 t zz t yy t xx 对应点 0 t 000 zyxM 推导 由于曲线的参数方程为 记向量值函数 由向量 tz ty tx ttttf 值函数导数的几何意义知 向量即为曲线在其上的点 0000 ttttfT 处的一个切向量 从而曲线在其上的点处的切线方程为 000 zyxM 000 zyxM 20 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 2 法平面 通过曲线上的点而与曲线在点处的切线垂直的平面方程 000 zyxM M 称为曲线在点处的法平面 方程为 其中 M0 000000 zztyytxxt 法向量为 0000 ttttfT 2 特殊式情形 设空间曲线的方程为 且 在点处可导 曲 xz xy x x 0 xx 线的方程可改写为 为参数 从而曲线在点处的切线与法平 xz xy xx x 000 zyxM 面方程分别为 1 切线方程 1 0 0 0 00 x zz x yyxx 2 法平面方程 0 00000 zzxyyxxx 3 一般式 隐函数 情形 设曲线的方程为 为曲线上的一 0 0 zyxG zyxF 000 zyxM 点 又设 有对各个变量的连续偏导数 且 这时方程组在点FG0 M zy GF 的某一邻域内确定了一组隐函数 从而曲线的参数方程为 000 zyxM xz xy 为参数 于是切向量为 xz xy xx x 1 00 xxT M zy zy M yx yx M zy zy M xz xz GG FF GG FF GG FF GG FF 1 M yx yx M xz xz M zy zy M zy zy GG FF GG FF GG FF GG FF 1 1 切线方程 1 0 0 0 00 x zz x yyxx 21 2 法平面方程 0 00000 zzxyyxxx 例 3 求曲线在点处的切线与法平面方程 0 6 222 zyx zyx 1 2 1 解 在方程组两端对求导 得 0 6 222 zyx zyx x 整理得 01 0222 dx dz dx dy dx dz z dx dy yx 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y 于是 故切向量为 zy xz zy zx dx dy 11 11 0 1 2 1 dx dy zy yx zy xy dx dz 11 11 1 1 2 1 dx dz 从而所求切线方程为 或 1 0 1 T 1 1 0 2 1 1 zyx 2 1 1 1 1 y zx 法平面方程为或 0 1 2 0 1 zyx0 zx 三 曲面的切平面与法线 1 定义 1 切平面 若曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上 则称此平 MM 面为曲面在点的切平面 M 2 法线 通过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点的法线 M M 2 切平面与法线方程 1 一般式情形 设曲面的方程为 点为其上一点 且函数 0 zyxF 000 zyxM 的偏导数在点连续 zyxFM 切平面方程 0 000 zzMFyyMFxxMF zyx 法线方程 000 MF zz MF yy MF xx zyx 推导 在曲面上过点任意引一条曲线 设其参数方程为 且函数 M tz ty tx tx 以及在都可导 ty tz 0 tt 22 对应点 有方程 0 tt 000 zyxM0 tttF 两端对求导 在处 有 x 0 tt 0 000000000000 tzyxFtzyxFtzyxF zyx 记 又为曲线在点 000000000 zyxFzyxFzyxFN zyx 000 tttT 处的切向量 由上式可知 即曲面上通过点的任意一条 000 zyxM0 TN 000 zyxM 曲线的切向量都垂直于同一个向量 从而这些切线都在同一平面上 即曲面在点 的且平面存在 该切平面以向量为 000 zyxM 000000000 zyxFzyxFzyxFN zyx 一法线向量 2 特殊式 显函数 情形 曲面 且函数的偏导数在点连续 yxfz yxf 00 yx 切平面方程 0 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 法线方程 1 0 00 0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx 推导 记 有0 zyxfzyxF yxfzyxF xx yxfzyxF yy 1 zyxFz 故有法向量 1 0000 yxfyxfN yx 例 4 求球面在点处的且平面及法线方程 14 222 zyx 3 2 1 解 设 有 故14 222 zyxzyxFxzyxFx2 yzyxFy2 zzyxFz2 所求切平面的法向量为 6 4 2 2 2 2 3 2 1 zyxN 于是所求切平面方程为 即 0 3 6 2 4 1 2 zyx01432 zyx 法线方程为 即 3 3 2 2 1 1 zyx 321 zyx 例 5 求旋转抛物面在点处的切平面即法线方程 1 22 yxz 4 1 2 解 设 有 于是所求切平面的法向量为1 22 yxyxfxyxfx2 yyxfy2 1 2 4 1 2 2 4 1 2 yxN 从而所求切平面方程为 即 0 4 1 2 2 4 zyx0624 zyx 法线方程为 1 4 2 1 4 2 zyx 23 第七节 方向导数与梯度 引入 由函数在点的偏导数的几何意义可知 偏导数 yxf 000 yxP 00 yxfx 只是函数过点沿平行坐标轴法线的变化率 但在实际应用中 往 00 yxfy yxf 000 yxP 往要求我们知道函数在点沿任意确定的方向的变化率 以及沿什么方向函 yxf 000 yxP 数的变化率最大 这就涉及到函数的方向导数和梯度 一 方向导数 1 定义 设函数在点的某个邻域内有定义 yxf 000 yxP 0 PU 为过点的射线 上另一点 且 sin cos 000 tytxP 000 yxPl sin cos le 若极限存在 则称此极限为函数 0 PUP t yxftytxf t sin cos lim 0000 0 在点沿方向 的方向导数 记作 yxfz 000 yxPl 00 yx l f 注 若函数在点的偏导数存在 且 则 yxf 000 yxPiel 0 1 lim 00 0000 0 00 yxf t yxfytxf l f x t yx 若函数在点的偏导数存在 且 则 yxf 000 yxPjel 1 0 lim 00 0000 0 00 yxf t yxftyxf l f y t yx 2 方向导数的存在性 定理 若函数在点可微分 则函数在点沿任意方向 的方 yxf 000 yxP yxf 000 yxPl 向导数都存在 且有 其中 的方向余 cos cos 0000 00 yxfyxf l f yx yx cos cos 弦 注 1 可推广 若函数在点可微分 则在点沿方向 zyxf 0000 zyxP zyxf 0 P 的方向导数为 cos cos cos le cos cos cos 000000000 000 zyxfzyxfzyxf l f zyx zyx 24 2 方向导数存在 函数未必可微分 例如 在点沿方向的方向导数都存在 但在 22 yxyxf 0 0 cos cos le yxf 点不可微分 0 0 事实上 由于 从而在点1lim 0 0 cos 0 cos0 lim 00 t t t fttf tt 22 yxyxf 沿方向的方向导数都存在 0 0 le 但在点的两个偏导数都不存在 从而不可微分 22 yxyxf 0 0 例 1 求函数在点处从点到方向的方向导数 y xez 2 0 1 P 0 1 P 1 2 Q 解 由题可知方向 就是向量的方向 有 l 1 1 PQ 2 1 2 1 le 又 1 0 1 2 0 1 y e x z 22 0 1 2 0 1 y xe y z 故所求方向导数为 2 2 2 1 2 2 1 1 0 1 l z 例 2 求在点沿方向 的方向导数 其中 的方向角分别为zxyzxyzyxf 2 1 1 ll ooo 60 45 60 解 由题可知与方向 同向的单位向量为 l 2 1 2 2 2 1 60cos 45cos 60 cos ooo le 又 3 2 1 1 2 1 1 zyfx3 2 1 1 2 1 1 zxfy2 2 1 1 2 1 1 xyfz 故所求方向导数为 235 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 1 l f 二 梯度 1 梯度的定义 设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数 对每一个点 yxfD 称向量为函数在点的梯度 记作DyxP 000 jyxfiyxf yx 0000 yxf 000 yxP 或 即 00 yxfgrad 00 yxf jyxfiyxfyxfyxfgrad yx 00000000 注 可推广 kzyxfjzyxfizyxfzyxfzyxfgrad zyx 000000000000000 2 梯度与方向导数的关系 25 1 沿梯度方向 方向导数达到最大值 2 梯度的模为方向导数的最大值 推导 设 若函数在点可微分 则在点沿方向 cos cos le yxf 000 yxP yxf 0 P 的方向导数为l cos cos 0000 00 yxfyxf l f yx yx cos 000000 llleyxfgradeyxfgradeyxfgrad cos 00 leyxfgrad 1 当时 0 00 00 yxfgrad l f yx 这说明函数在一点的梯度是这样一个向量 它的方向是 yxf yx yxfgrad 在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模等于方向导数的最大值 yxf 2 当时 有与的方向相反 函数减小最快 在这个方 le 00 yxfgrad yxf yxf 向上的方向导数达到最小值 00 00 yxfgrad l f yx 3 当时 有与的方向正交 函数的变化率为零 即 2 le 00 yxfgrad yxf 0cos 00 00 yxfgrad l f yx 例 3 求 22 1 yx grad 解 令 有 于是 22 1 yx yxf 222 2 yx x yxfx 222 2 yx y yxfx j yx y i yx x yx grad 22222222 2 21 例 4 设 求 2 1 22 yxyxf 1 1 0 P 1 在处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数 yxf 0 P yxf 2 在处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数 yxf 0 P yxf 26 3 在处变化率为零的方向 yxf 0 P 解 1 在点处沿的方向增加最快 由于 yxf 1 1 0 P 1 1 f jijyi xf 1 1 1 1 故所求方向可取为 方向导数为 ji f f n 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 f n f 2 在点处沿的方向减少最快 故所求方向可取为 yxf 1 1 0 P 1 1 f 方向导数为 jinn 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 f n f 3 在点处沿垂直于的方向变化率为零 故所求方向为 yxf 1 1 0 P 1 1 f 或 jin 2 1 2 1 2 jin 2 1 2 1 3 第八节 多元函数的极值及其求法 引入 在一元函数微分学中 我们讨论了一元函数的极值和最值问题 但在许多实际问题 中 往往会遇到多元函数的极值和最值问题 我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值 与最值问题 一 二元函数的极值与最值 1 极值 二元函数的定义域为 为的内点 若存在的某个邻域 yxfD 000 yxPD 0 P 且 都有DPU 0 0 PUyxP 000 yxPyxP 27 00 yxfyxf 00 yxfyxf 则称在点有极大值 极小值 点称为函数的极大值点 极小值点 yxf 0 P 000 yxP yxf 统称极大值 极小值为极值 使函数取得极值的点称为函数的极值点 2 最值 设函数的定义域为 若存在 都有 yxfDDyxP 000 DyxP 00 yxfyxf 00 yxfyxf 则称为在上的最大值 最小值 00 yxf yxfD 注 1 极值是一个局部概念 最值是一个整体概念 2 极值与最值的关系 极值可以是最值 但最值未必是极值 例 1 函数在点取得极小值 也是最小值 22 43yxz 0 0 例 2 函数在点取得极大值 也是最大值 22 yxz 0 0 例 3 函数在点既不取得极大值 也不取得极小值 xyz 0 0 由此可见 并不是每一个函数在其定义域上都有极值点 那么什么样的点可能是函数的 极值点呢 又如何判断函数在该极值点处取得极大值还是极小值呢 下面我们来学习极值 点的必要条件和充分条件 从中得到这些问题的答案 二 极值点的条件 定理 1 若函数在点具有偏导数 且在点处取得极值 则有 yxfz 000 yxP 000 yxP 0 00 yxfx0 00 yxfy 注 1 称使成立的点为的驻点或稳定点 0 0 00 00 yxf yxf y x 00 yx yxf 2 可偏导函数的极值点一定是其驻点 但反之未必 例如 函数 在点是其驻点 但在点却不取得极值 xyz 0 0 xyz 0 0 那么什么样的驻点才能是极值点呢 下面的极值点的充分条件回答这一问题 并给出 求极值的方法 定理 2 设函数在点的某一邻域内连续且具有一阶以及二阶连续偏导数 yxfz 00 yx 又 令0 00 yxfx0 00 yxfy Ayxfxx 00 Byxfxy 00 Cyxfyy 00 则在处是否取得极值的条件如下 yxf 00 yx 28 1 时具有极值 且当时有极大值 当时有极小值 0 2 BAC0 A0 A 2 时没有极值 0 2 BAC 3 时是否取得极值不定 需另行讨论 0 2 BAC 3 求极值的步骤 第一步 求偏导数 解方程组 得的所有驻点 0 0 yxf yxf y x yxfz 第二步 对每一驻点 求二阶偏导数的值 ii yxABC 第三步 考察的符号 判断是否为极值 若是极值 判断出是极大值还是 2 BAC ii yxf 极小值 例 4 求函数的极值 xyxyxyxf933 2233 解 解方程组 得驻点 063 0963 2 2 yyyxf xxyxf y x 0 1 2 1 0 3 2 3 又 66 xyxfxx0 yxfxy66 yyxfyy 1 在点处 且 故在处取得极小值 0 1 072612 2 BAC012 A yxf 0 1 5 0 1 f 2 在点处 故不是极值 2 1 072612 2 BAC 2 1 f 3 在点处 故不是极值 0 3 072 6 12 2 BAC 0 3 f 4 在点处 且 故在处取得极大 2 3 072612 2 BAC012 A yxf 0 1 值 31 2 3 f 例 5 求函数的极值 2 7 22 7 2 y x xyyxf 解 由方程组得两