【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点52 矩阵（含解析）新人教A版

1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 5252 矩阵 解析版 矩阵 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用供学有余力的学生学习使用 一一 考纲目标考纲目标 矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算 逆矩阵 二二 知识梳理知识梳理 1 乘法规则 1 行矩阵 a11 a12 与列矩阵的乘法规则 b11 b21 a11 a12 a11 b11 a12 b21 b11 b21 2 二阶矩阵与列向量的乘法规则 a11 a21 a12 a22 x0 y0 a11 a21 a12 a22 x0 y0 a11 x0 a12 y0 a21 x0 a22 y0 3 两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵 其乘法法则如下 a11 a21 a12 a22 b11 b21 b12 b22 a11 b11 a12 b21 a21 b11 a22 b21 a11 b12 a12 b22 a21 b12 a22 b22 4 两个二阶矩阵的乘法满足结合律 但不满足交换律和消去律 即 AB C A BC AB BA 由 AB AC 不一定能推出 B C 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算 2 常见的平面变换 恒等变换 伸压变换 反射变换 旋转变换 投影变换 切变变换六个变换 3 逆变换与逆矩阵 1 对于二阶矩阵 A B 若有 AB BA E 则称 A 是可逆的 B 称为 A 的逆矩阵 2 若二阶矩阵 A B 均存在逆矩阵 则 AB 也存在逆矩阵 且 AB 1 B 1A 1 4 特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵 如果对于实数 存在一个非零向量 使 A 那么 称为 A 的 一个特征值 而 称为 A 的属于特征值 的一个特征向量 三 考点逐个突破三 考点逐个突破 1 1 矩阵与变换矩阵与变换 例 1 求曲线 2x2 2xy 1 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程 其中 M N 1 0 0 2 1 1 0 1 解 MN 1 0 0 2 1 1 0 1 1 2 0 2 设 P x y 是曲线 2x2 2xy 1 0 上任意一点 点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P x y 2 则 x y 1 2 0 2 x y x 2x 2y 于是 x x y x y 2 代入 2x 2 2x y 1 0 得 xy 1 所以曲线 2x2 2xy 1 0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy 1 2 2 矩阵的乘法与逆矩阵矩阵的乘法与逆矩阵 例 2 已知矩阵 A B 求 AB 1 1 0 0 2 0 1 1 0 解 AB 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 2 0 设 AB 1 则由 AB AB 1 a b c d 1 0 0 1 得 即 0 1 2 0 a b c d 1 0 0 1 c d 2a 2b 1 0 0 1 所以Error 解得Error 故 AB 1 0 1 2 1 0 3 3 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 例 3 已知矩阵 M 其中 a R 若点 P 1 2 在矩阵 M 的变换下得到点 P 4 0 求 2 a 2 1 1 实数 a 的值 2 矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量 解 1 由 2 a 2 1 1 2 4 0 所以 2 2a 4 所以 a 3 2 由 1 知 M 则矩阵 M 的特征多项式为 2 3 2 1 f 2 1 6 2 3 4 2 3 2 1 令 f 0 得矩阵 M 的特征值为 1 与 4 当 1 时 Error x y 0 所以矩阵 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为 1 1 当 4 时 Error 2x 3y 0 所以矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 3 2 4 4 矩阵的有关问题及其求解方法矩阵的有关问题及其求解方法 例 4 设矩阵 M 其中 a 0 b 0 a 0 0 b 3 1 若 a 2 b 3 求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 2 若曲线 C x2 y2 1在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C y2 1 求 a b 的 x2 4 值 解 1 设矩阵 M 的逆矩阵 M 1 x1 y1 x2 y2 则 MM 1 又 M 1 0 0 1 2 0 0 3 所以 2 0 0 3 x1 y1 x2 y2 1 0 0 1 所以 2x1 1 2y1 0 3x2 0 3y2 1 即 x1 y1 0 x2 0 y2 1 2 1 3 故所求的逆矩阵 M 1 5 分 1 2 0 0 1 3 2 设曲线 C上任意一点 P x y 它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P x y 则 即Error 又点 P x y 在曲线 C 上 所以