七年级数学轴对称与轴对称图形华东师大版知识精讲

初一数学轴对称与轴对称图形华东师大版初一数学轴对称与轴对称图形华东师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 一 教学内容 轴对称与轴对称图形 二 知识要点二 知识要点 1 知识点概要知识点概要 1 轴对称图形概念 掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的性质特征 理解轴对 称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系 2 知道线段 角是轴对称图形 掌握线段的垂直平分线 角平分线的定义和性质 并学会应用它们的性质解决相关问题 3 熟练画出轴对称图形的对称轴 能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的 图形 能设计简单的轴对称图案 2 重点难点重点难点 1 重点 轴对称图形的概念 线段垂直平分线 角平分线的性质 2 难点 两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系 运用线段垂直平 分线性质和角平分线性质解决问题 三 考点分析三 考点分析 轴对称的有关概念轴对称的有关概念 1 轴对称图形 如果把一个图形沿某条直线对折 对折的两部分完全重合 则该图形为轴对称图形 这条直线叫做这个图形的对称轴 说明 轴对称图形的定义中有两层含义 一个图形 沿某条直线对折 两部分 完全重合 2 轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折过去 若它能够与另一个图形重合 则这两个图形成 轴对称 这条直线叫对称轴 两个图形中的对应点叫对称点 说明 轴对称的定义中也包含两层含义 两个图形 沿某条直线对折 两个图形 能够完全重合 3 轴对称与轴对称图形的区别与联系 它们的区别 轴对称指两个图形的位置关系 轴对称图形指一个具有特殊形状的图 形 成轴对称的两个图形的对称轴只有一条 两轴对称图形的对称轴最少是一条或更多 条 它们的联系 定义中都有一条直线 都要沿这条直线折叠重合 若将轴对称图形 沿对称轴分成两部分 则这两个部分关于这条直线成轴对称 反过来 若把两个成轴对称 的图形看成一个整体 则它就是一个轴对称图形 4 轴对称的性质 关于某条直线对称的两个图形的形状 大小完全相同 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴 上 简单的轴对称图形简单的轴对称图形 线段和角是简单的轴对称图形 它们的对称轴分别是线段本身所在的直线与线段的中 垂线 角的平分线所在的直线 1 线段的垂直平分线 垂直平分线指垂直并且平分一条线段的直线 又称中垂线 它的性质为 线段垂直平 分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 用数学符号语言表示该性质为 如图 1 因为点 M 在线段 AB 的垂直平分线上 所 以 MA MB 1 2 2 角的平分线 角的平分线将角分成两个相等的角 角的平分线的性质 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 用数学符号语言表示该性质为 如图 2 因为点 P 在 AOB 的角平分线上 且 PD OA PE OB 所以 PD PE 3 与轴对称有关的画图题 根据轴对称的性质可以画出轴对称图形的对称轴 也可以画出某个图形关于对称轴对 称的图形 还可以按要求画出符合要求的轴对称图形 典型例题典型例题 例例 1 下列图形中 是轴对称图形的是 A B C D 分析 分析 判断一个图形是否是轴对称图形 依据是轴对称图形的定义 一般只要根据定 义进行观察 必要时用对折的方法检验 答案 答案 D 例例 2 如图所示 四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1关于直线 MN 对称 图中有许多相等 的角和相等的线段 试写出其中 5 对相等的角和 5 对相等的线段 分析 分析 根据轴对称的定义可知 成轴对称的两个图形能完全重合 这样可以找到对应 的角相等 对应的线段相等 解 解 相等的五对角 DAB D1A1B1 ABC A1B1C1 BCD B1C1D1 CDA C1D1A1 AOB A1O1B1 相等的五对线段 AB A1B1 BC B1C1 CD C1D1 DA D1A1 AC A1C1 解 决本题的依据是成轴对称的图形的对应线段相等 对应角相等 一般先找对应点 再找对 应线段 这里点 A B C D O 依次与点 A1 B1 C1 D1 O1对应 再找对应角 想想 看 你最多能写出多少对 例例 3 在图中标出点 A B C 关于直线的对称点 1 2 分析 分析 抓住两图形沿着直线 l 对折后互相重合的点 即为对称点 答 答 见图 2 例例 4 图中哪些是轴对称图形 是轴对称图形的 画出对称轴 分析 分析 判别轴对称图形的方法 采用折叠思想与轴对称图形的概念 画对称轴通常作 对称点连线的垂直平分线 但有时不止一条对称轴 切勿遗漏 解 解 轴对称图形有 对称轴如图中的虚线 例例 5 如图 下列图形都是轴对称图形 其中一个与众不同的是 分析 分析 这四个都是轴对称图形 但 A B D 都不止一条对称轴 唯独 C 只有一条对 称轴 解解 选 C 例例 6 如图 已知 ABC 和直线 l 画出 ABC 关于直线 l 的对称图形 分析 分析 画轴对称图形关键是画某些特殊点 如线段的端点 角的顶点 转折点等 因 此只要作 A B C 三个特殊点 解 解 画出点 A B C 关于直线 l 的对称点 A B C 连结 A B B C A C A B C 即为 ABC 的关于直线 l 对称的三角形 例例 7 如图 P Q 是 AOB 的边 OA 上的两点 试画出一个点 M 使点 M 到 P Q 两点 的距离相等 并且使点 M 到 AOB 的两边的距离也相等 分析 分析 所求的点 M 要同时满足两个条件 通常可以先画出各自满足一个条件的图形 这两个图形的公共点即为所求 解 解 分别作 AOB 的平分线和线段 PQ 的垂直平分线 两条直线的交点 M 即为所求的 点 例例 8 如图 在直线 l 上求作一点 M 使 1 MA MB 2 MA MB 最小 分析 分析 1 要使 MA MB 即 M 要在 AB 线段的中垂线上 又要求在直线 l 上取一 点 M 故 M 为直线 l 与 AB 线段的中垂线的交点 2 要使 MA MB 最小 涉及线段之 和最小 之差最大 一般用到三角形两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 两点之 间 线段最短等知识 解解 1 作线段 AB 的中垂线与 l 相交于点 M M 是线段 AB 中垂线上的点 MA MB M 在 l 上 点 M 满足要求 如图 1 1 2 2 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连结 AB 交 l 于点 M 连结 MB 则 MA MB 最小 如图 2 在直线 l 上另取一点 N 连结 AN BN B N 因直线 l 是点 B B 的对称轴 点 M N 在对称轴上 BM B M BN B N AM BM AM B M AB 而在 AB N 中 AN B N AB 即 AN BN AB AN BN AM BM MA MB 最小 例例 9 如图 在 ABC 中 AB AC 32 MN 是 AB 的垂直平分线 且有 BC 21 求 BCN 的周长 分析 分析 因为 MN 是 AB 的垂直平分线 所以有 BN AN 于是 BCN 的周长可转化为 线段 BC 与 AC 的和 解 解 因为 MN 是 AB 的垂直平分线 所以 BN AN 则 BCN 的周长 BC CN BN BC CN AN BC AC 21 32 53 例例 10 如下图所示 在 ABC 中 C 90 BD 是角平分线 交 AC 于点 D DE AB 垂足为点 E AD 3DE AD 和 3DC 是什么关系 为什么 分析 分析 可以先用刻度尺测量一下 估计 AD 和 3DC 的数量关系 AD 3DC 然后只要 能说明 DE CD 就可以了 解 解 AD 3DC 理由 因为 C 90 即 DC BC 垂直的定义 又因为 DE AB BD 是角平分线 已知 所以 DE DC 角平分线上的点到角的两边的距离相等 因为 AD 3DE 已知 所以 AD 3DC 等量代换 例例 11 某居民小区搞绿化 要在一块矩形 即长方形 空地上建花坛 现征集设计方案 要求设计的图案由圆和正方形组成 圆与正方形的个数不限 并且使整个矩形场地成轴对 称图形 请在下面矩形中画出你的设计方案 分析 分析 要设计一个轴对称图形 先作出长方形本身的 所有 对称轴 在其中一条对 称轴一侧设计一个图形 根据轴对称性质再画出另一半 解 解 如下图 仅供参考 五 本讲数学思想方法的学习五 本讲数学思想方法的学习 1 在画图形的对称轴时 要充分利用轴对称的特征 已知两图形作对称轴要找一对对称 点连结作中垂线 已知图形和对称轴作对称图形要作每个关键点关于对称轴的对称点 再 连结对称点得其对称图形 补全图形 有对称轴时和前面的方法一样 没有对称轴时 先 找对称轴再作图形 找同时满足两个条件的点 可以先画出各自满足一个条件的图形 这 两个图形的公共点即为所求点 设计图案时先画出组成图案的基本图形 再依据对称轴作 出它们的对称图形 2 2 生活中许多图形美丽的图案都可以通过折叠的方式得到它的对称性 如线段和角等图 形的轴对称性 这种通过变换的方法可以用来探索其相关性质 在探索的过程中可以将观察 操作和归纳推理相结合 逐步培养逻辑推理能力 另外也有利于培养归纳能力和数学语言 表达能力 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 1 下列图形中是轴对称图形的是 A 直角三角形 B 长方形 C 任意三角形 D 有一角为 60 的直角三角形 2 下列轴对称图形中 对称轴最多的是 A 圆 B 正方形 C 等腰直角三角形 D 有一角为 60 的等腰三角形 3 如图 给出的虚线是图形的对称轴的是 A B C D 4 一图章上刻有 那么印在纸上的数字是 A 819 B 918 C 816 D 618 5 如图 在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC BC 30 BD CD 3 2 则点 D 到 AB 的距离是 A 18 B 12 C 15 D 不能确定 6 如图 在 ABC 中 AD 垂直平分 BC AB 10cm 则 AC cm C B A D 6 7 在大写英文字母 A B C D E F G H I J 中属于轴对称图形的是 8 如图 已知 O 35 CD 为 OA 的垂直平分线 则 ACB 的度数为 9 下列各图中 画出你认为是轴对称的图形的对称轴 10 已知 ABC 中 AB AC BC 边上的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D 交 AC 于 E 若 AC 8cm ABE 的周长为 15cm 则 AB 的长为 A 6cm B 7cm C 8cm D 9cm 11 已知 如图 点 P 关于 OA OB 的对称点分别是 P1 P2 线段 P1P2分别交 OA OB 于 D C P1P2 6cm 则 PCD 的周长为 A 3cm B 6cm C 12cm D 无法确定 12 如图 已知 ABC 以 AC 的中垂线为对称轴 作一个三角形与它对称 13 如图 A B C 三点表示三个镇的地理位置 随着乡镇工业的发展需要 现三镇联 合建造一所变电站 要求变电站到三镇的距离相等 请画出变电站的位置 用 P 点表示 并简单说明理由 C B A 13 14 如图 要在两条街道 AB CD 上设立两个邮筒 M 处是邮局 邮递员从邮局出发 从两个邮筒里取出信件后再回到邮局 则邮筒应设在何方 方能使邮递员所走的路程最短 M C B A D 14 15 如图 在 ABC 中 AB 的中垂线交 AC 于点 E 若 AE 2 则 B E 两点间的距离 是 A 4 B 2 C 3 D 1 16 世界上因为有了圆的图案 万物才显得富有生机 以下来自现实生活中的图形都