专题十--排列组合二项式定理

专题十专题十 排列组合二项式定理排列组合二项式定理 排列 组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分 排列 组合的知识 为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法 这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性 要注意与其他数学知识的联系 注意与 实际生活的联系 通过对典型例题的分析 总结思维规律 提高解题能力 10 1 排列组合排列组合 知识要点知识要点 1 分类计数原理与分步计数原理 2 排列与组合 m n m n m n m n A A mnm n C mn n A 3 组合数的性质 1 mn n m n CC 2 1 1 m n m n m n CCC 复习要求复习要求 理解和掌握分类计数与分步计数两个原理 在应用分类计数原理时 要注意 类 与 类 之间的独立性和等效性 在应用分步计数原理时 要注意 步 与 步 之间的相 关性和连续性 熟练掌握排列数公式和组合数公式 注意题目的结构特征和联系 掌握组合数的两个 性质 并应用于化简 计算和论证 正确区别排列与组合的异同 体会解计数问题的基本方法 正确处理附加的限制条 件 例题分析例题分析 例例 1 有 3 封信 4 个信筒 1 把 3 封信都寄出 有多少种寄信方法 2 把 3 封信都寄出 且每个信筒中最多一封信 有多少种寄信方法 分析分析 1 分 3 步完成寄出 3 封信的任务 第一步 寄出 1 封信 有 4 种方法 第二 步 再寄出 1 封信 有 4 种方法 第三步 寄出最后 1 封信 有 4 种方法 完成任务 根 据分步计数原理 共有 4 4 4 43 64 种寄信方法 2 典型的排列问题 共有 3 4 A 24 种寄信方法 例例 2 在一块并排 10 垄的田地中 选择 2 垄分别种植 A B 两种作物 每种作物种植 1 垄 为有利于作物生长 要求 A B 两种作物的间隔不小于 6 垄 则不同的种植方法共有 种 解 解 设这 10 垄田地分别为第 1 垄 第 2 垄 第 10 垄 要求 A B 两垄作物的间 隔不少于 6 垄 所以第一步选垄的方式共有 1 8 1 9 1 10 2 9 2 10 3 10 这 6 种选法 第二步种植两种作物共有 2 2 A 2 种种植法 所以共有 6 2 12 种选 垄种植方法 评述评述 排列组合是解决计数问题的一种重要方法 但要注意 计数问题的基本原理 是分步计数原理和分类计数原理 是最普遍使用的 不要把计数问题等同于排列组合问 题 对某些计数问题 当运用公式很难进行时 适时采取原始的分类枚举方法往往是最好 的 如例 2 在具体的计数问题的解决过程中 需要决策的是 这个计数问题需要 分步 还是 分类 完成 再考虑这个计数问题是排列问题 组合问题还是一般的计数问题 如例 1 的两个问题 例例 3 某电子表以 6 个数字显示时间 例如 09 20 18 表示 9 点 20 分 18 秒 则在 0 点 到 10 点之间 此电子表出现 6 个各不相同数字来表示时间的有 次 分析分析 分步来确定电子表中的六个数字如下 第一步 确定第一个数字 只能为 0 只有 1 种方法 第二步 确定第三位数字 只能为 0 至 5 中的一个数 又不能与首位相同 所以只有 5 种方法 第三步 确定第五位数字 也只能为 0 至 5 中的一个数 又不能与首位 第三位相同 所以只有 4 种方法 第四步 确定剩下三位数字 0 至 9 共 10 个数字已用了 3 个 剩下的 7 个数字排列在 2 4 6 位共有 3 7 A种排法 由分步计数原理得 1 5 4 3 7 A 4200 种 评述评述 做一件事情分多步完成时 我们一般先做限制条件较大的一步 如本题中 首位受限条件最大 其次为三 五位 所以我们先排首位 再排三 五位 最后排其他 位 例例 4 7 个同学站成一排 分别求出符合下列要求的不同排法的种数 1 甲站在中间 2 甲 乙必须相邻 3 甲在乙的左边 但不一定相邻 4 甲 乙 丙相邻 5 甲 乙 丙两两不相邻 解 解 1 甲站在中间 其余 6 名同学任意排列 故不同排法有 6 6 A 720 2 第一步 先把甲 乙捆绑 视为一个元素 连同其余 5 个人全排列 共有 6 6 A种排 法 第二步 给甲 乙松绑 有 2 2 A种排法 此题共有 6 6 A 2 2 A 1440 种不同排法 3 在 7 名同学站成一排的 7 7 A种排法中 甲左乙右 与 甲右乙左 的站法是一一对 应的 各占一半 因此甲站在乙的左边 不要求相邻 的不同排法共有 7 7 A 2 2520 种 4 先把甲 乙 丙视为一个元素 连同其余 4 名同学共 5 个元素的全部排列数有 5 5 A种 再结合甲 乙 丙 3 个人之间的不同排列有 3 3 A种 此题的解为 5 5 A 3 3 A 720 5 先让除甲 乙 丙外的 4 个人站好 共有 4 4 A种站法 让甲 乙 丙 3 人插空 由 于 4 个人形成 5 个空位 所以甲 乙 丙共有 3 5 A种站法 此题答案1440 3 5 4 4 AA 评述评述 当要求某几个元素排在一起时 我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元 素与其他元素进行排列如例 4 2 4 当要求某几个元素不相邻时 我们常常先排其他元素 然后再将这几个元素排在已排 好的其他元素的空中如例 4 5 例例 5 4 个不同的球 4 个不同的大盒子 把球全部放入盒内 恰有一个盒不放球 共 几种放法 分析分析 先将 4 个球分成 3 组 共有6 2 4 C种分组方法 再将 3 组球放在 4 个盒子里 是排列问题 有 3 4 A24 种方法 所以 共有144 3 4 2 4 AC种不同的放球方法 评述评述 类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好 例例 6 某班组有 10 名工人 其中 4 名是女工 从这 10 个人中选 3 名代表 其中至少有 一名女工的选法有多少种 解法解法 1 至少有一名女工的情形有三类 1 名女工和 2 名男工 2 名女工和 1 名男工 3 名女工 把这 3 类选法加在一起 共有100 3 4 1 6 2 4 2 6 1 4 CCCCC种不同的选法 解法解法 2 与 至少有一名女工 选法相对立的是 没有女工 的选法 从所有的选法 中除去 没有女工 的选法 剩下的即为所求 共有100 3 6 3 10 CC 评述评述 当涉及 至少 或 至多 的问题时 从大的方向看我们常常是对其分类讨 论 运用分类计数原理解决问题 当然 也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算 例例 7 如图 用六种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色 每个格子涂一种颜色 要求 相邻的两个格子颜色不同 且两端的格子的颜色也不同 则不同的涂色方法共有多少种 分析分析 如果按从左至右的顺序去涂色 当涂到第 4 个格子时会发现 第三个格子的 颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第 4 个格子有几种涂色方法 即如果第三个格子 的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的 则第四个格子的涂色情况不定 于是 我们要按照 1 3 两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题 解 解 1 3 两个格子颜色相同时 按分步计数原理 有 6 5 1 5 150 种方法 1 3 两个格子颜色不相同时 按分步计数原理 有 6 5 4 4 480 种方法 所以 共有不同的涂色方法 630 种 例例 8 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点 取 4 个不共面的点 不同取法有多少种 分析分析 没有限制地从 10 个点中选出 4 个点 共有 4 10 C种不同选法 除去 4 点共面的 选法即可 4 点共面的选法有 3 类 1 4 个点在四面体 A BCD 的某一个面 上 共有 4 6 4C种共面的情况 2 过四面体的一条棱上的 3 个点及对棱的中点 如图中点 A E B G 平面 共计有 6 种共面的情况 3 过四面体的四条棱的中点 而且与一组对棱平行的平面 如图 E F G H 平面 此类选法共有 3 种 综上 符合要求的选法共有141 364 4 6 4 10 CC种 例例 9 在给出的下图中 用水平或垂直的线段连结相邻的字母 按这些线段行走时 正好拼出 竞赛 即 CONTEST 的路线共有多少条 分析分析 CONTEST 的路线的条数与 TSETNOC 路线的条数相同 如下右图 从 左下角的 T 走到边上的 C 共有 6 步 每一步都有 2 种选择 由分步计数原理 所以下图中 TSETNOC 路线共有 26 64 条 所以本题的答案为 64 2 1 127 评述评述 例 9 的这种计数的方法常称之为对应法计数 它的理论基础为 如果两个集 合之间可以建立一对一的对应关系 那么这两个集合的元素的个数相同 借助这个原理 如果一个集合元素的个数不好计算时 我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一 种较好的方法 例例 10 1 计算 5 9 6 9 4 8 5 8 AA AA 的值 2 计算 n n n n CC 3 21 38 3 的值 3 证明 m n m n m n AmAA 1 1 1 解解 27 5 93 85 9 94 8 84 4 9 3 9 4 8 3 8 5 9 6 9 4 8 5 8 AA AA 2 解解 注意到 m n C中的隐含条件 n m m N n N 有 321 038 03 383 nn n n nn 解得 2 21 2 19 n 所以 n 10 所以 466 1 31 2 30 30 31 28 30 CCCC 3 证明证明 1 1 1 1 1 mn nm mn nmn mn n m mn n mAA m n m n m n A mn n mn n mn nm mn nmn 1 1 1 1 1 1 1 1 评述评述 对于含排列组合式的恒等式证明及计算问题常用的方法有两种 一种是运用 排列组合数的计算公式转化为代数恒等式的证明及代数式求值问题 另一种是运用组合数 的一些性质进行计算及证明 常用的组合数的性质有 1 mn n m n CC 2 1 1 m n m n m n CCC 3 nn nnnn CCCC2 210 4 3120 nnnn CCCC 练习练习 10 1 一 选择题一 选择题 1 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方 法共有 A 10 种 B 20 种 C 25 种 D 32 种 2 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这 两个节目插入原节目单中 那么不同插法的种数为 A 42 B 30 C 20 D 12 3 四面体的一个顶点为 A 从其他顶点与棱的中点中取 3 个点 使它们和点 A 在同一平面 上 不同的取法有 A 30 种 B 33 种 C 36 种 D 39 种 4 某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元 70 元的单片软件和盒装 磁盘 根据需要 软件至少买 3 片 磁盘至少买 2 盒 则不同的选购方式有 A 5 种 B 6 种 C 7 种 D 8 种 5 下列等式中正确的是 1 1 1 k n k n nCkC 2 1 1 1 1 1 1 k n k n C n C k 3 k n k n C k kn C 1 1 4 k n k n C n k C 1 1 1 1 A 1 2 B 1 2 3 C 1 3 D 2 3 4 6 有两排座位 前排 11 个座位 后排 12 个座位 现安排 2 人就座 规定前排中间的 3 个 座位不能坐 并且这 2 人不左右相邻 那么不同排法的种数是 A 234 种 B 346 种 C 350 种 D 363 种 二 填空题二 填空题 7 从集合 0 1 2 3 5 7 11 中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax By C 0 中的 A B C 所得的经过坐标原点的直线有 条 结果用数值表示 8 用数字 0 1 2 3 4 5 可以组成没有重复数字 并且比 20000 大的五位偶数共有 9 马路上有 12 盏灯 为了节约用电 可以熄灭其中 3 盏灯 但两端的灯不能熄灭 也不 能熄灭相邻的两盏灯 那么熄灯方法共有 种 10 将标号为 1 2 10 的 10 个球放入标号为 1 2 10 的 10 个盒子内 每个盒 内放一个球 则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种 以数字作答 11 从集合 O P Q R S 与 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中各任取 2 个元素排成 一排 字母和数字均不能重复 每排中字母 O Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同 排法种数是 用数字作答 12 8 个相同的球放进编号为 1 2 3 的盒子里 则放法种数为 以数值作答 10 2 二项式定理二项式定理 知识要点知识要点 1 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 2 通项公式 rrnr nr baCT 1 3 0 n C 1 n C 2 n C r n C n n C称为二项式系数 4 二项展开式的系数的性质 nn nnnn CCCC2 210 3120 nnnn CCCC 复习要求复习要求 会求二项展开式中适合某种特殊条件的项 了解利用二项式定理进行近似计算 证明与组合数有关的等式或整数 整式 的整除性 的方法 例题分析例题分析 例例 1 在二项式 52 1 x x 的展开式中 含 x4的项的系数是 解 解 rrrrrr r xC x xCT 310 5 52 51 1 1 令 10 3r 4 得 r 2 所以 x4项的系数是10 1 22 5 C 例例 2 1 若 1 x n的展开式中 x3的系数是 x 系数的 7 倍 求 n 的值 2 在 2 lgx 8的展开式中 二项式系数最大的项的值等于 1120 求 x 的值 解 解 1 由已知 13 7 nn CC 即n nnn 7 6 2 1 整理得 n2 3n 40 0 解得 n 8 或 n 5 舍 所以 n 8 2 2 lgx 8的展开式中共有 9 项 二项式系数最大的项为第 5 项 由已知 1120 lg2 444 85 xCT 整理得 lgx 4 1 所以 lgx 1 解得 x 10 或 10 1 x 例例 3 求 1003 23 x的展开式中 x 的系数为有理数的项的个数 解 解 r rr rrrr r xCxCT 100 32 100 100 3100 1001 2 3 2 3 若系数为有理数 则 3 2 100rr 都必须是整数 即 r 应为 6 的倍数 又 0 r 100 所以 r 的不同值有 17 个 所以 x 的系数为有理数的项共有 17 项 例例 4 已知 n n x 1 的展开式中 第 3 项与第 6 项的系数互为相反数 求展开式中系 数最小的项 解 解 1 1 105555 6 42222 3 n n n n n n n n xC x xCTxC x xCT 由已知 25 nn CC 所以 n 7 所以第 4 项系数最小 35 1 3 7 3373 74 xxC x xCT 评述评述 通项公式 rrnr nr baCT 1 是二项式定理中常用的一个公式 要熟练掌握 同 时注意系数 上标 下标之间的关系 注意系数 二项式系数的区别 如例 2 注意运用通项公式求第 3 项时 r 2 如例 4 例例 5 已知 a2 1 n的展开式中的各项系数之和等于 52 1 5 16 x x 的展开式的常数项 而 a2 1 n的展开式中的系数最大项等于 54 求 a 的值 解 解 52 1 5 16 x x 的展开式的第 r 1 项 5 16 1 5 16 2 520 5 552 51 r rrrrr r xC x xCT 令 Tr 1为常数项 则 20 5r 0 r 4 所以常数项 16 5 16 4 55 CT 又 a2 1 n的展开式中的各项系数之和等于 2n 由题意得 2n 16 所以 n 4 由二项式系数的性质知 a2 1 n的展开式中的系数最大的项即为二项式系数最大的项 是中间项 T3 所以54 42 4 aC 解得3 a 例例 6 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 解 解 令 x 1 则 a0 a1 a2 a7 1 令 x 1 则 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 1 易知 a0 1 所以 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 a0 2 2 2 得 a1 a3 a5 a7 2 31 7 1094 3 2 得 a0 a2 a4 a6 2 31 7 1093 4 方法 1 因为 1 2x 7的展开式中 a1 a3 a5 a7是负数 a0 a2 a4 a6是正数 所以 a0 a1 a2 a7 a0 a2 a4 a6 a1 a3 a5 a7 2187 方法 2 因为 a0 a1 a2 a7 表示 1 2x 7的展开式中各项系数 的和 令 x 1 可得 a0 a1 a2 a7 37 2187 评述评述 通过给二项式定理中的字母赋值 根据式子的特点 常令字母为 1 或 1 的方 式可以解决二项展开式系数整体求值的问题 例例 7 若多项式 x2 x10 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a9 x 1 9 a10 x 1 10 则 a9 分析分析 方法 1 由于 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a9 x 1 9 a10 x 1 10 x2 x10 1 x 1 2 1 x 1 10 1010 10 919 10 1 1 1 xCxC 则10 1 9 109 Ca 方法 2 由于等式左边 x10的系数为 1 所以 a10 1 又 等式左边 x9的系数为 0 所以0 10 9 109 aCa 所以 a9 10 例例 8 92 91除以 100 的余数为 解 解 190909090 190 91 91 92 290 92 911 92 920 92 9292 CCCC 前面各项均能被 100 整除 只有末尾两项不能被 100 整除 8182008281190 91 92 C 所以 9192除以 100 的余数为 81 例例 9 求 0 998 5精确到 0 001 的近似值 解 解 55 002 0 1 0 998 990 0 002 0 002 0 22 5 1 5 0 5 CCC 评述评述 利用二项式定理求余数 求近似值是二项式定理的应用之一 例例 10 设 a 1 n N 且 n 2 求证 n a a n 1 1 证明 证明 设xa n 1 则 x 1 n a 欲证原不等式 即证 nx x 1 n 1 其中 x 0 2 111 1 11110 nnxxCxCxCxCx n n n n n n n n n 即有 x 1 n nx 1 得证 例例 11 82 1 21 x xx 的展开式中常数项为 用数字作答 解 解 求 82 1 21 x xx 的常数项 8 1 x x 即求展开式中的常数项及含 x 2的项 对于 8 1 x x rrrrrr r xC x xCT 28 8 8 81 1 1 令 8 2r 0 即有 r 4 70 1 4 8 4 5 CT 令 8 2r 2 即有 r 5 225 8 5 6 56 1 xxCT 所以常数项为 70 2 56 42 练习练习 10 2 一 选择题一 选择题 1 若 n x x 1 2 的展开式中的所有二项式系数和为 512 则该展开式中的常数项为 A 84 B 84 C 36 D 36 2 已知 9 2 x x a 的展开式中 x3的系数为 4 9 常数 a 的值为 A 1 B 2 C 4 D 8 3 在 1 x 5 1 x 4的展开式中 x3的系数是 A 4 B 4 C 8 D 8 4 若 n C21与 m n C同时有最大值 则 m 的值是 A 5 B 4 或 5 C 5 或 6 D 6 或 7 二 填空题二 填空题 5 x2 x 1 6的展开式中常数项是 用数字作答 6 若 x 1 n xn ax3 bx2 1 n N 且 a b 3 1 那么 n 7 n 1 n 1除以 n2 n 1 的余数为 8 观察下列等式 223 5 5 1 5 CC 379 9 5 9 1 9 22 CCC 51113 13 9 13 5 13 1 13 22 CCCC 71517 17 13 17 9 17 5 17 1 17 22 CCCCC 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 14 14 9 14 5 14 1 14 n nnnn CCCCn N 三 解答题三 解答题 9 在 3x 1 n的展开式中 如果各项系数的和比各项二项式系数的和大 992 求 n 的值 10 若 f x 1 2x m 1 3x n展开式中 x 的系数为 13 则 x2的系数为 11 当 n N 时 求证 3 1 1 2 n n 习题习题 10 一 选择题一 选择题 1 某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门 其中甲 乙两门课程不能都选 则不同的选 课方案有 A 35 种 B 25 种 C 20 种 D 16 种 2 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两 名学生不能分到同一个班 则不同分法的种数为 A 18 B 24 C 30 D 36 3 从单词 equation 中选取 5 个不同的字母排成一排 含有 qu 其中 qu 相连且顺 序不变 的不同排列共有 A 120 种 B 480 种 C 720 种 D 840 种 4 若 3 32 x 3 3 2 210 xaxaxaa 则 a0 a2 2 a1 a3 2的值为 A 1 B 1 C 0 D 2 5 若 n x x 2 3 3 2 的展开式中含有非零常数项 则正整数 n 的最小值为 A 10 B 6 C 5 D 3 6 若 21 2009 200910 2009 R xxaxaax 2009 2009 21 22a aaa 则的值为 A 2 B 0 C 1 D 2 二 填空题二 填空题 7 在 3 x 7的展开式中 x5的系数是 用数字作答 8 从 6 名男生和 4 名女生中 选出 3 名代表 要求至少有一名女生 则不同的选法有 种 9 有 6 个座位连成一排 现有 3 人就座 则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 种 10 x y 10的展开式中 x7y3的系数与 x3y7的系数之和等于 11 数列 a1 a2 a7 其中恰好有 5 个 2 和 2 个 4 调换 a1至 a7各数的位置 一共可 以组成不同的数列 含原数列 个 12 2010 年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项 工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 种 三 解答题三 解答题 13 已知 1 x 1 x 2 1 x n a0 a1x a2x2 anxn 若 a1 a2 a3 an 1 509 n 求 n 14 已知 n 是等差数列 4 7 10 13