【优化方案】2012高中数学 第2章1.1知能优化训练 苏教版选修1-2

用心 爱心 专心 1 1 下列说法中正确的是 合情推理就是正确的推理 合情推理就是类比推理 归纳推理是从一般到特殊的推理过程 类比推理是从特殊到特殊的推理过程 解析 错误 合情推理仅是指前提为真时 结论可能为真的推理 不一定正确 而是可能 正确 错误 合情推理可分为归纳推理和类比推理 错误 归纳推理是从特殊到一般的 推理过程 从一般到特殊的推理过程是演绎推理 答案 2 经计算发现下列不等式 2 2 2 根据以上不等式的规律 218104 515 5103 217 210 试写出一个对正实数a b都成立的条件不等式 解析 各不等式右边相同 左边两根号内的数之和等于 20 答案 当a b 20 时 有 2 a b 0 ab10 3 由 等腰三角形的两底角相等 两腰相等 可以类比推出正棱锥的类似属性是 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比 答案 各侧面与底面所成二面角相等 各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 4 一同学在电脑中打出如图所示的一串圆 表示空心圆 表示实心圆 若将此若干个圆依此规律继续下去 得到一系列的圆 那么前 2006 个圆中实心圆有 个 解析 将这些圆分段处理 第一段两个圆 第二段三个圆 第三段四个圆 可以看出每 一段的最后一个圆都是实心圆 由于本题求前 2006 个圆中有多少个实心圆 因此 找到第 2006 个圆所在的段数很重要 由 2 3 62 61 19522006 可知 共有 61 个实心圆 2 63 2 答案 61 一 填空题 1 下面使用类比推理恰当的是 若a 3 b 3 则a b 类比推出 若a 0 b 0 则a b a b c ac bc 类比推出 a b c ac bc a b c ac bc 类比推出 c 0 a b c a c b c ab n anbn 类比推出 a b n an bn 解析 由实数运算的知识易得 正确 答案 2 定义A B B C C D D B分别对应下列图形 那么下列图表中 用心 爱心 专心 2 可以表示A D A C的分别是 解析 注意观察 分析 辨别 找到A B C D分别对应的图形 A为竖线 B为大正方形 C为横线 D为小正方形 答案 2 4 3 2011 年高考陕西卷 观察下列等式 1 1 2 3 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第五个等式应为 解析 1 12 2 3 4 9 32 3 4 5 6 7 25 52 4 5 6 7 8 9 10 49 72 第五个等式为 5 6 7 8 9 10 11 12 13 92 81 答案 5 6 7 8 9 10 11 12 13 92 81 4 类比平面内正三角形的 三边相等 三内角相等 的性质 可知正四面体的下列性质 比较恰当的有 各棱长相等 同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等 各个面都是全等的正三角形 任 意相邻两个面所成的二面角都相等 各个面都是全等的正三角形 同一顶点上的任意两条 棱的夹角都相等 解析 由平面图形和空间图形常见的类比方式知 均正确 答案 5 如图 将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分 以中间一段为边向形外作正三角形 并擦去中间一段 得图 2 如此继续下去 得图 3 试用n表示出第n个图形的边数an 解析 注意后面的图形是在上一个图形的基础上变化得到的 2 中的边数是在 1 中每条边 的基础上变为原来的 4 倍 而 3 也是在 2 的基础上变为原来的 4 倍 构成以 3 为首项 以 4 为公比的等比数列 边数为an 3 4n 1 答案 3 4n 1 6 设f0 x sinx f1 x f0 x fn 1 x fn x n N N 则f2007 x 解析 f1 x cosx f2 x sinx f3 x cosx f4 x sinx f5 x cosx f6 x sinx 易知fn x 每 4 项一重复 而 2007 501 4 3 所以f2007 x f3 x cosx 答案 cosx 7 我们把 1 4 9 16 25 这些数称为正方形数 这是因为这些数目的点可以排成一个正方 形 如图所示 则第n个正方形点数是 用心 爱心 专心 3 解析 1 4 9 16 25 分别为序号的平方 所以第n个正方形点数为n2 答案 n2 8 已知f 1 1 1 f m n N N m n N N 且对任意的m n N N 都有 f m n 1 f m n 2 f m 1 1 2f m 1 则f 2011 2012 的值为 解析 由f 1 1 1 f m 1 1 2f m 1 知f 2 1 2f 1 1 2 f 3 1 2f 2 1 22 f 4 1 2f 3 1 2 22 23 从而有f 2011 1 22010 由f m n 1 f m n 2 知f 2011 2 f 2011 1 2 22010 2 f 2011 3 f 2011 2 2 22010 2 2 22010 2 2 则f 2011 2012 22010 2 2011 22010 4022 答案 22010 4022 9 2011 年高考江西卷改编 观察下列各式 72 49 73 343 74 2401 则 72011的末两 位数字为 解析 因为 71 7 72 49 73 343 74 2401 75 16807 76 117649 所以这些数的末两 位数字呈周期性出现 且周期T 4 又因为 2011 4 502 3 所以 72011的末两位数字与 73 的末两位数字相同 答案 43 二 解答题 10 用推理的形式表示等差数列 1 3 5 2n 1 前n项和Sn的归纳过程 解 对等差数列 1 3 5 2n 1 的前 1 2 3 4 5 6 项的和分别进行计算 S1 1 12 S2 1 3 4 22 S3 1 3 5 9 32 S4 1 3 5 7 16 42 S5 1 3 5 7 9 25 52 S6 1 3 5 7 9 11 36 62 观察可得前n项和等于序号n的平方 由此可猜想Sn n2 11 平面内有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 且每三个圆都不相交于同一点 若f n 表示这n个圆把平面分割成的区域数 试求f n 解 f n 表示n个圆把平面分割成的区域数 如果再有一个圆和这n个圆相交 则增加 2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成 2n段弧 且每段弧又将原来的平面区域一分为二 因此 增加一个圆后 平面被分成的区域数增加 2n个 即f n 1 f n 2n f n 1 f n 2n 又f 1 2 由递推公式得 f 2 f 1 2 1 f 3 f 2 2 2 f 4 f 3 2 3 f n f n 1 2 n 1 将以上n 1 个等式累加 得f n 2 2 1 2 3 n 1 n2 n 2 12 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形 如 图为一组蜂巢的截面图 其中第一个图有 1 个蜂巢 第二个图有 7 个蜂巢 第三个图有 19 个蜂巢 按此规律 以f n 表示第n个图的蜂巢总数 用心 爱心 专心 4 试给出f 4 f 5 的值 并求f n 的表达式 不要求证明 解 f 4 37 f 5 61 因为f 2 f 1 7 1 6 f 3 f 2 19 7 2 6