【备战】2012高考数学 应考能力大提升10.2

用心 爱心 专心 1 备战备战 20122012 数学应考能力大提升数学应考能力大提升 典型例题 例 1 已知a 0 b 0 c 0 且a b c 1 求证 9 1 a 1 b 1 c 证明 a b c 1 1 a 1 b 1 c a b c a a b c b a b c c 3 b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c a 0 b 0 c 0 3 9 b a a b c a a c c b b c 例 2 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂 第一年共支出 12 万元 以后每年支出增加 4 万元 从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元 设f n 表示前n年的纯 利润总和 f n 前n年的总收入 前n年的总支出 投资额 1 该厂从第几年开始盈利 2 若干年后 投资商为开发新项目 对该厂有两种处理方案 年平均纯利润达到最 大时 以 48 万元出售该厂 纯利润总和达到最大时 以 16 万元出售该厂 问哪种方案更 合算 解 由题意知f n 50n 72 12n n n 1 2 4 2n2 40n 72 1 由f n 0 即 2n2 40n 72 0 解得 2 n 18 由n N 知 从经三年开始盈利 2 方案 年平均纯利润 40 2 16 f n n n 36 n 当且仅当n 6 时等号成立 故方案 共获利 6 16 48 144 万元 此时n 6 方案 f n 2 n 10 2 128 当n 10 f n max 128 故方案 共获利 128 16 144 万元 比较两种方案 获利都是 144 万元 但由于第 种方案只需 6 年 而第 种方案需 10 用心 爱心 专心 2 年 故选择第 种方案更合算 创新题型 1 设计一幅宣传画 要求画面面积为 4840 cm2 画面的宽与高的比为 1 画面 的上下各留 8 cm 的空白 左右各留 5 cm 的空白 问怎样确定画面的高与宽的尺寸 能使宣 传画所用纸张面积最小 如果 那么 为何值时 能使宣传画所用纸张面积最小 2 3 3 4 2 为了提高产品的年产量 某企业拟在 2010 年进行技术改革 经调查测算 产品当年的 产量x万件与投入技术改革费用m万元 m 0 满足x 3 k为常数 如果不搞技术改 k m 1 革 则该产品当年的产量只能是 1 万件 已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8 万元 每 生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元 由于市场行情较好 厂家生产的产品均能销售出 去 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1 5 倍 生产成本包括固定投入和 再投入两部分资金 1 将 2010 年该产品的利润y万元 利润 销售金额 生产成本 技术改革费用 表示 为技术改革费用m万元的函数 用心 爱心 专心 3 2 该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时 厂家的利润最大 参考答案 1 解析 设画面的高为x cm 宽为 x cm 则 x2 4840 设纸张面积为S 则有 S x 16 x 10 x2 16 10 x 160 5000 44 6760 10 8 5 当且仅当 8 时 即 时 S取最小值 此时 5 5 8 高x 88 cm 宽 x 88 55 cm 4840 5 8 如果 则上述等号不能成立 现证函数S 在上单调递增 设 2 3 3 4 2 3 3 4 1 8 0 又 10 1 2 8 5 1 2 1 2 2 3 5 8 5 1