2012版高考数学 3-2-1精品系列专题09 立体几何 理 （教师版1）

用心 爱心 专心 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0909 立体几何立体几何 理理 教师版 教师版 1 1 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 考纲原文 1 空间几何体 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特 征描述现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的三视图 能识别上述的三视图所表示的立体模型 会用斜二测法画 出它们的直观图 会用平行投影与中心投影两种方法 画出简单空间图形的三视图与直 观图 了解空间图形的不同表示形式 会画某些建筑物的视图与直观图 在不影响图形 特征的基础上 尺寸 线条等不作严格要求 了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体 积的计算公式 不要求记忆公式 关性质与判定定理 理解以下判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行 那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行 那么这两个平面平行 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与 此平面垂直 如果一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面互相垂直 理解以下 性质定理 并能够证明 如果一条直线与一个平面平行 经过该直线的任一个平面与此平 面相交 那么这条直线就和交线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它 们的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直 那么一个 平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 能运用公理 定理和已获得的结论证 明一些空间图形的位置关系的简单命题 考纲解读 空间几何体的三视图是考查的重点 以小题为主 由给出的三视图 或其一部分 然 后想像其直观图并求其体积与表面积 是常见题型 注意由给出的三视图 或其一部分 然后想像或作出其直观图 从而与点 线 面的位置关系问题相结合 注意由空间几何体 可以画出它的三视图 反之由三视图也可还原几何体 两者之间相互转化 注意与球有关 的问题 表面积 体积 组合体及其三视图 注意三视图与不等式 求棱长的范围 体积 的最值等 的结合 点 线 面的位置关系是考查的重点 尤其是文科 注意符号语言 文字语言 图形语言的转换 尤其在选择填空题中 注意总结常见的一些几何体 以及它 们非常规放置的情况 理科要注意与空间向量的结合 考点考点 pk 名师考点透析名师考点透析 用心 爱心 专心 1 证明 由已知 PCBC PCDCPCABCD 面 2 分 BDABCDBDPC 面 又因为BDAC BDPACAEPACBDAE 面又面 4 分 2 连 AC 交 BD 于点 O 连 PO 由 1 知BDPAC 面 BEDPAC 面面 EEHPOH 过点作于 则EHPBD 面 EBH 为BE与平面PBD所成的角 8 分 1 3 EH 2 BE 则 1 2 3 sin 62 EBH 10 分 3 解 以正方形ABCD为底面 PC为高补成长方体 此时对角线PA的长为球的直 径 21 146RPA 3 4 6 3 VR 球 考点考点二 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 例例2 2 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形 正视图 或称主 视图 是一个底边长为8 高为4的等腰三角形 侧视图 或称左视 图 是一个底边长为6 高为4的等腰三角形 1 求该几何体的体积V 2 求该几何体的侧面积S 解解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形 高为 4 顶点在底面的射影是矩形中 心的四棱锥 V ABCD 1 1 8 6464 3 V 2 该四棱锥有两个侧面 VAD VBC 是全等的等腰三角形 且 BC 边上的高为 用心 爱心 专心 2 2 1 8 44 2 2 h 另两个侧面 VAB VCD 也是全等的等腰三角形 AB 边上的高为 2 2 2 6 45 2 h 因此 11 2 6 4 28 5 4024 2 22 S 例例 3 3 如图 1 在空间四边形 ABCD 中 点 E H 分别是边 AB AD 的中点 F G 分别是边 BC CD 上的点 且 CF CB CG CD 2 3 则 A EF 与 GH 互相平行 B EF 与 GH 异面 C EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上 也可能不在直线 AC 上 D EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 解解 依题意 可得 EH BD FG BD 故 EH FG 由公理 2 可知 E F G H 共面 因为 EH 1 2 BD FG BD 2 3 故 EH FG 所以 EFGH 是梯形 EF 与 GH 必相交 设交点为 M 因为点 M 在 EF 上 故 点 M 在平面 ACB 上 同理 点 M 在平面 ACD 上 即点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点 而 AC 是这两个平面的交线 由公理 3 可知 点 M 一定在 平面 ACB 与平面 ACD 的交线 AC 上 选 D 名师点睛名师点睛 理解空间中点 线 面的位置关系 了解四个公理及其推论 空间两直线的 三种位置关系及其判定 异面直线的定义及其所成角的求法 通过大量图形的观察 实验 实现平面图形到立体图形的飞跃 培养空间想象能力 会用平面的基本性质证明共点 共线 共面的问 题 考点四 考点四 直线与平面 平面与平面平行的判定与性质直线与平面 平面与平面平行的判定与性质 例例 4 4 在棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D 中 E是线段 11 AC的中点 ACBDF 求证 CE BD 求 证 CE 平面 1 ABD 求三棱锥 1 DABC 的体积 解解 证明 根据正方体的性质BDAC 2 分 因为 1 AAABCD BDABCD 平平平平平 所以 1 BDAA 又 1 ACAAA 所以 11 BDACC A 平平 11 CEACC A 平平 所以CE BD 5 分 图 1 用心 爱心 专心 证明 连接 1 AF 因为 111111 AABBCCAABBCC 平 所以 11 ACC A为平行四边形 因此 1111 ACACACAC 平 由于E是线段 11 AC的中点 所以 1 CEFA 8 分因为 1 FA 面 1 ABD CE 平面 1 ABD 所以CE 平面 1 ABD 10 分 11 3 1 1 36 D A BCABCDBCD a VVSA A 12 分 名师点睛名师点睛 掌握直线与平面平行 平面与平面平行的判定与性质定理 能用判定定 理证明线面平行 面面平行 会用性质定理解决线面平行 面面平行的问题 通过线面平行 面面平行的证明 培养学生空间观念及及观察 操作 实验 探索 合情推理的能力 考点五 考点五 直线与平面 平面与平面垂直的判定与性质直线与平面 平面与平面垂直的判定与性质 例例 5 5 如图 已知AB 平面ACD DE AB 2ADACDEAB 2 且F是 CD的中点 3AF 求证 AF 平面BCE 求证 平面BCE 平面CDE III 求此多 面体的体积 AF CD AB 平面ACD DE AB DE 平面ACD又AF 平面ACD DE AF又 AF CD CD DE D AF 平面CDE 8 分又BP AF BP 平面CDE又 BP 平面BCE 平面BCE 平面 用心 爱心 专心 CDE 10 分 III 此多面体是一个以 C 为定点 以四边形 ABED 为底边的四棱锥 12 2 3 2 ABED S ABDEADC 面面等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥的高 1 333 3 C ABDE V 名师点睛名师点睛 掌握直线与平面垂直 平面与平面垂直的判定与性质定理 能用判定定 理证明线线垂直 线面垂直 面面垂直 会用性质定理解决线面垂直 面面垂直的问题 通过线面垂直 面面垂直的证明 培养学生空间观念及及观察 操作 实验 探索 合情推理的能力 考点六 考点六 空空间中的夹角与距离间中的夹角与距离 例例 6 6 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别 BD BC 的中点 CA CB CD BD 2 求证 AO 平面 BCD 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值 求点 E 到平面的距离 本小题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 方法一 方法一 I 证明 连结 OC BODO ABADAOBD BODO BCCDCOBD III 解 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 11 33 E ACDA CDE ACDCDE VV h SAO S 用心 爱心 专心 在ACD 中 2 2 CACDAD 22 127 22 222 ACD S 而 2 133 1 2 242 CDE AOS 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 点 E 到平面 ACD 的距离为 21 7 方法二 方法二 I 同方法一 II 解 以 O 为原点 如图建立空间直角坐标系 则 1 0 0 1 0 0 BD 13 0 3 0 0 0 1 0 1 0 1 1 3 0 22 CAEBACD 2 cos 4 BACD BA CD BA CD 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2 4 名师点睛名师点睛 空间中的各种角包括异面直线所成的角 直线与平面所成的角和二面角 要 理解各种角的概念定义和取值范围 其范围依次为 0 90 0 90 和 0 180 1 两条异面直线所成的角 求法 先通过其中一条直线或者两条直线的平移 找出这两条异面直线所成的角 1 然后通过解三角形去求得 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得 但是注意到异 2 面直线所成角得范围是 2 0 向量所成的角范围是 0 如果求出的是钝角 要注意 转化成相应的锐角 2 直线和平面所成的角 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 除特殊位置外 主要是指平面 的斜线与平面所成的角 根据定义采用 射影转化法 3 二面角的度量是通过其平面角来实现的 x C A B O D y z E 用心 爱心 专心 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手 所以作二面角的平面角就成为 解题的关键 通常的作法有 定义法 利用三垂线定理或逆定理 自 空间一点作棱垂直的垂面 截二面角得两条射线所成的角 俗称垂面法 此外 当作二面 角的平面角有困难时 可用射影面积法解之 cos S S 其中S 为斜面面积 S 为 射影面积 为斜面与射影面所成的二面角 空间中的距离是立体几何的重要内容 其内容主要包括 点点距 点线距 点面距 线线 距 线面距 面面距 其中重点是点点距 点线距 点面距以及两异面直线间的距离 因 此 掌握点 线 面之间距离的概念 理解距离的垂直性和最近性 理解距离都指相应线 段的长度 懂得几种距离之间的转化关系 所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到 平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离 一个点到 平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 求法 一找二证三求 三步 1 都必须要清楚地写出来 等体积法 2 三年高考三年高考 1010 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 20122012 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题 1 2012 年高考 新课标理 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC 是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 2 2012 年高考 新课标理 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线画出的是某几何体 用心 爱心 专心 的三视图 则此几何体的体积为 A 6B 9C D 解析 选B 该几何体是三棱锥 底面是俯视图 高为3 此几何体的体积为 11 6 3 39 32 V 3 2012 年高考 浙江理 已知矩形ABCD AB 1 BC 2 将 ABD沿矩形的对角线BD所 在的直线进行翻着 在翻着过程中 A 存在某个位置 使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置 使得直线AB与直线CD垂直 C 存在某个位置 使得直线AD与直线BC垂直 D 对任意位置 三直线 AC与BD AB与CD AD与BC 均不垂直 答案 B 解析 最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着 观察在翻着过程 即可知选 项 B 是正确的 4 2012 年高考 重庆理 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a 且长为a的 棱与长为2的棱异面 则a的取值范围是 A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 答案 A 解析 2 22 1 22 22 BEBFBE ABBF 考点定位 本题考查棱锥的结构特征 考查空间相象力 极限思想的运用 是中档题 5 2012 年高考 四川理 如图 半径为R的半球O的底面圆 O在平面 内 过点O作平面 的垂线交半球面于点A 过圆 O的直径CD作平面 成45 角的平面与半球面相交 所得交 线上到平面 的距离最大的点为B 该交线上的一点P满足 60BOP 则A P两点间的球面距离为 A 2 arccos 4 RB 4 R C 3 arccos 3 RD 3 R 答案 A 解析 以 O 为原点 分别以 OB OC OA 所在直线为 x y z 轴 则 2 2 cos 4 AO PO AOP R A 0 2 3 2 1 2 2 0 2 2 RRPRR C A O D B P 用心 爱心 专心 4 2 arccos AOP 4 2 arccos RPA 点评 本题综合性较强 考查知识点较为全面 题设很自然的把向量 立体几何 三角函数 等基础知识结合到了一起 是一道知识点考查较为全面的好题 要做好本题需要有扎实的数 学基本功 6 2012 年高考 四川理 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 答案 C 解析 若两条直线和同一平面所成角相等 这两条直线可能平行 也可能为异面直线 也可能 相交 所以 A 错 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平 行 故 B 错 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 也可以垂直 故 D 错 故选项 C 正确 点评 本题旨在考查立体几何的线 面位置关系及线面的判定和性质 需要熟练掌握课本基 础知识的定义 定理及公式 7 2012 年高考 上海春 已知空间三条直线 lmn 若l与m异面 且l与n异面 则 答 A m与n异面 B m与n相交 C m与n平行 D m与n异面 相交 平行 均有可能 答案 选 D 8 2012 年高考 陕西理 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 1 2CACCCB 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值 为 A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 解析 不妨设 1 22CACCCB 则 11 2 2 1 0 2 1 ABC B 11 11 11 2 02 2 1 15 cos 595 AB C B AB C B AB C B 直线 1 BC与直线 1 AB夹角为锐角 所以余弦值为 5 5 选 A 9 2012 年高考 江西理 如图 已知正四棱锥 S ABCD 所有棱长都为 1 点 E 是侧棱 SC 上 一动点 过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记 SE x 0 x 1 截面下面 部分的体积为 V x 则函数 y V x 的图像大致为 用心 爱心 专心 点评 对于函数图象的识别问题 若函数 yf x 的图象对应的解析式不好求时 作为 选择题 没必要去求解具体的解析式 不但方法繁琐 而且计算复杂 很容易出现某一步的计 算错误而造成前功尽弃 再次 作为选择题也没有太多的时间去给学生解答 因此 使用定性 法 不但求解快速 而且准确节约时间 10 2012 年高考 湖南理 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的俯视 图不可能是 答案 D 解析 本题是组合体的三视图问题 由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知 原 图下面图为圆柱或直四棱柱 上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱 A B C 都 可能是该几何体的俯视图 D 不可能是该几何体的俯视图 因为它的正视图上面应为如 图的矩形 点评 本题主要考查空间几何体的三视图 考查空间想象能力 是近年高考中的热点 题型 11 2012 年高考 湖北理 我国古代数学名著 九章算术 中 开立圆术 曰 置积尺数 以 A 图图 1 BCD 用心 爱心 专心 十六乘之 九而一 所得开立方除之 即立圆径 开立圆术 相当于给出了已知球的体 积V 求其直径d的一个近似公式 316 9 dV 人们还用过一些类似的近似公式 根据 3 14159 判断 下列近似公式中最精确的一个是 A 316 9 dV B 3 2dV C 3 300 157 dV D 3 21 11 dV 考点分析 考察球的体积公式以及估算 解析 由 3 3 46 32 dV Vd 设选项中常数 为 a b 则 6b a A 中代入得 6 9 3 375 16 B 中代入得 6 1 3 2 C 中代入得 6 157 3 14 300 D 中代和主得 6 11 3 142857 21 由于 D 中值最接近 的真实值 故选择 D 12 2012 年高考 湖北理 已知某几何体的三视图如图所示 则该几 何体的体积为 A 8 3 B 3 C 10 3 D 6 考点分析 本题考察空间几何体的三视图 解析 显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分 并且有正视图 知是一个 1 2 的圆柱体 底面圆的半径为 1 圆柱体的高为 6 则知所求几何体体 积为原体积的一半为3 选 B 13 2012 年高考 广东理 立体几何 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体 积为 A 12 B 45 C 57 D 81 解析 C 该几何体下部分是半径为 3 高为 5 的圆柱 体积为 2 3545V 上部分是半径为 3 高为 4 的圆锥 体积为 2 1 3412 3 V 所以体积 为57 14 2012 年高考 福建理 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这个几何 体不可以是 A 球B 三棱柱C 正方形D 圆柱 答案 D 解析 分别比较 ABC 的三视图不符合条件 D 符合 考点定位 考查空间几何体的三视图与直观图 考查空间想象能力 逻辑推理能力 15 2012 年高考 大纲理 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2 2 2 ABCCE 为 1 CC的中点 则直线 1 AC 与平面BED的距离为 侧视 图 正视 图 2 4 2 2 俯视 图 用心 爱心 专心 A 2B 3C 2D 1 答案 D 命题意图 本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用 以及点到面的距离的求解 体现了 转换与化归的思想的运用 以及线面平行的距离 转化为点到面的距离即可 解析 连结BDAC 交于点O 连结OE 因为EO 是中点 所以 1 ACOE 且 1 2 1 ACOE 所以BDEAC 1 即直线 1 AC 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距 离 过 C 做OECF 于F 则CF即为所求距离 因为底面边长为 2 高为22 所以 22 AC 2 2 CEOC 2 OE 所以利用等积法得1 CF 选 D 16 2012 年高考 北京理 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 286 5 B 306 5 C 56 12 5 D 60 12 5 答案 B 解析 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥 本题所求表面积为三棱锥四个面的面 积之和 利用垂直关系和三角形面积公式 可得 10 10 10 6 5SSSS 后右左底 因 此该几何体表面积306 5S 故选 B 考点定位 本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题 原来考查的是 棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积 因此考查了学生的计算基本功 和空间想象能力 17 2012 年高考 安徽理 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平 面 内 直线b在平面 内 且bm 则 是 ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件D 即不 充分不必要条件 解析 选A 用心 爱心 专心 bmbba 如果 am 则ab 与bm 条件相同 二 填空题 18 2012 年高考 天津理 个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积 为 3 m 答案 18 9 命题意图 本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与 体积的计算以及空间想象能力 解析 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方 体组成的组合体 所以其体积为 3 43 3 6 1 2 32 V 18 9 3 m 19 2012 年高考 浙江理 已知某三棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该三棱锥的体 积等于 cm3 答案 1 解析 观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形 右侧面也是一直角三角形 故体积等于 11 3 1 21 23 20 2012 年高考 四川理 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 M N分别是CD 1 CC的中点 则异面直线 1 AM与DN所成角的大小是 答案 90 解析 方法一 连接 D1M 易得 DN A1D1 DN D1M 所以 DN 平面 A1MD1 又 A1M 平面 A1MD1 所以 DN A1D1 故夹角为 90 方法二 以 D 为原点 分别以 DA DC DD1为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 D xyz 设正方体边长为 2 则 D 0 0 0 N 0 2 1 M 0 1 0 A1 2 0 2 故 2 121 2 0 1 MADN 所以 cos MA DN 1 1 1 MADN MADN 0 故 DN D1M 所以夹角为 90 点评 异面直线夹角问题通常可以采用两种途径 第一 把两条异面直线平移到同一平 面中借助三角形处理 第二 建立空间直角坐标系 利用向量夹角公式解决 21 2012 年高考 上海理 如图 AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱 BC 2 若AD 2c 且AB BD AC CD 2a 其中a c为常数 则四面体ABCD的体积的最大值 是 解析 作BE AD于E 连接CE 则AD 平面BEC 所以CE AD 由题设 B与C都是在以AD为焦距的椭球上 且BE CE都 3 1 36 3 22 3 N M B1 A1 C1 D1 B D C A A B C D 用心 爱心 专心 垂直于焦距AD 所以BE CE 取BC中点F 连接EF 则EF BC EF 2 1 2 2 1 BEEFBCS BEC 四面体ABCD的体积1 2 3 2 3 1 BESADV c BEC 显然 当E在AD中点 即 B是短轴端点时 BE有最大值为b 22 ca 所以1 22 3 2 max caV c 评注 本题把椭圆拓展到空间 对缺少联想思维的考生打击甚大 当然 作为填空押轴 题 区分度还是要的 不过 就抢分而言 胆大 灵活的考生也容易找到突破点 AB BD 同 时AC CD 从而致命一击 逃出生天 22 2012 年高考 上海理 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面 则该圆锥的体 积为 解析 如图 2 2 2 1 l l 2 又 2 r2 l 2 r 1 所以h 3 故体积 3 32 3 1 hrV 23 2012 年高考 山东理 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1 E F分别为线段 11 AA BC上的点 则三棱锥 1 DEDF 的体积为 24 2012 年高考 辽宁理 已知正三棱锥P ABC 点 P A B C都在半径为3的求面上 若PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 答案 3 3 解析 因为在正三棱锥P ABC中 PA PB PC两两互相垂直 所 以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分 如图所示 此正方体内接于球 正方体的体对角线为球的直径 球心为正方 体对角线的中点 球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P ABC在面ABC上的 高 已知球的半径为3 所以正方体的棱长为 2 可求得正三棱锥P ABC 用心 爱心 专心 在面ABC上的高为 2 3 3 所以球心到截面ABC的距离为 2 33 3 33 点评 本题主要考查组合体的位置关系 抽象概括能力 空间想象能力 运算求解能力 以及转化思想 该题灵活性较强 难度较大 该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手 注意到 条件中的垂直关系 把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了 25 2012 年高考 辽宁理 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 26 2012 年高考 江苏 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 3cmABAD 1 2cmAA 则四棱锥 11 ABB D D 的体 积为 cm3 答案 6 考点 正方形的性质 棱锥的体积 解析 长方体底面ABCD是正方形 ABD中 3 2BD cm BD边上的高是32 2 cm 它也是 11 ABB D D 中 11 BB D D上的高 四棱锥 11 ABB D D 的体积为 13 3 222 6 32 27 2012 年高考 大纲理 三棱柱 111 ABCABC 中 底面边长和侧棱长都相等 11 60BAACAA 则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为 答案 6 6 D AB C 1 C 1 D 1 A 1 B 用心 爱心 专心 命题意图 本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解 用空间向量进行求解即可 解析 设该三棱柱的边长为 1 依题意有 1111 ABABAA BCACAAAB 则 22 22 1111 222cos603ABABAAABAB AAAA 222 22 11111 2222BCACAAABACAAABAC AAAC ABAA AB 而 1111 AB BCABAAACAAAB 11111 1111 111 2222 AB ACAB AAAB ABAA ACAA AAAA AB 11 11 11 16 cos 6 23 AB BC AB BC ABBC 28 2012 年高考 安徽理 某几何体的三视图如图所示 该几何体 的表面积是 答案 92 解析 由三视图可知 原几何体是一个底面是直角梯形 高为 4 的 直四棱柱 其底面积为 25 4 228 2 侧面积为 4255 464 故表面积为 92 考点定位 考查三视图和表面积计算 三 解答题 29 2012 年高考 天津理 如图 在四棱锥PABCD 中 PA丄平面ABCD AC丄 AD AB丄BC 0 45ABC 2PA AD 1AC 证明PC丄AD 求二面角 APCD 的正弦值 设 E 为棱PA上的点 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 0 30 求 AE 的长 命题意图 本小题主要考查空间两条直线的位置关系 二面角 异面直线所成的角 直线与平面垂直等基础知识 考查用空间向量 解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 方法一 1 以 AD AC AP 为 x y z正半轴方向 建立空间直角左边系Axyz 则 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2 2 DCBP 0 1 2 2 0 0 0PCADPC ADPCAD 2 0 1 2 2 1 0 PCCD 设平面PCD的法向量 nx y z D C B A P 用心 爱心 专心 则 0202 20 0 n PCyzyz xyxz n CD 取1 1 2 1 zn 2 0 0 AD 是平面PAC的法向量 630 cos sin 66 AD n AD nAD n AD n 得 二面角APCD 的正弦值为 30 6 3 设 0 2 AEh 则 0 0 2 AE 11 2 1 0 22 BEh CD 2 3310 cos 210 1020 BE CD BE CDh BE CDh 即 10 10 AE 方法二 1 证明 由PA 平面ABCD 可得PAAD 又由 ADAC PAACA 故 AD 平面PAC 又PC 平面PAC 所以PCAD 2 解 如图 作AHPC 于点H 连接DH 由 PCAD PCAH 可得PC 平面ADH 因此 DHPC 从而AHD 为 二面角APCD 的平面角 在Rt PAC 中 2 1PAAC 由此得 2 5 AH 由 1 知ADAH 故在Rt DAH 中 22 2 30 5 DHADAH 因此 30 sin 6 AD AHD DH 所以二面角APCD 的正弦值为 30 6 3 设 0 2 AEh 则 0 0 2 AE 11 2 1 0 22 BEh CD 2 3310 cos 210 1020 BE CD BE CDh BE CDh 即 10 10 AE 点评 试题从命题的角度来看 整体上题目与我们平时练习的试题相 似 但底面是非特殊 的四边形 一直线垂直于底面的四棱锥问题 那么创新的地方就是第三问 用心 爱心 专心 中点 E 的位置是不确定的 需要学生根据已知条件进行确定 如此说来就有难度 因此最好使 用空间直角坐标系解决该问题为好 30 2012 年高考 新课标理 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ACBCAA D是 棱 1 AA的中点 BDDC 1 1 证明 BCDC 1 2 求二面角 11 CBDA 的大小 解析 1 在Rt DAC 中 ADAC 得 45ADC 同理 111 4590ADCCDC 得 111 DCDC DCBDDC 面 1 BCDDCBC 2 11 DCBC CCBCBC 面 11 ACC ABCAC 取 11 AB的中点O 过点O作OHBD 于点H 连接 11 C O C H 31 2012 年高考 浙江理 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为2 3的菱形 且 BAD 120 且PA 平面ABCD PA 2 6 M N分别为PB PD的中点 证明 MN 平面ABCD 过点A作AQ PC 垂足为点Q 求二面角A MN Q的平面角的余弦值 解析 本题主要考察线面平行的证明方法 建系求二面角等知识点 如图连接BD M N分别为PB PD的中点 在 PBD中 MN BD 又MN 平面ABCD MN 平面ABCD 如图建系 A 0 0 0 P 0 0 2 6 M 3 2 3 2 0 N 3 0 0 C 3 3 0 设Q x y z 则 33 33 2 6 CQxyzCP 332 6 CQCP 33332 6 Q 用心 爱心 专心 由0OQCPOQ CP 得 1 3 即 2 32 6 2 33 Q 对于平面AMN 设其法向量为 nabc 33 0 3 00 22 AMAN 则 3 3 33 001 22 3 0 30 0 a AM nab b AN n a c 31 0 33 n 32 2012 年高考 重庆理 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如图 在直三棱柱 111 CBAABC 中 AB 4 AC BC 3 D 为 AB 的中点 求点 C 到平面 11 A ABB 的距离 若 11 ABAC 求二面角 11 ACDC 的平面角的余弦值 考点定位 本小题主要考查立体几何的相关知识 具体涉及到线面垂 直的关系 二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用 解决此 类问题的关键是熟悉几何体的结构特征 熟练进行线线垂直与线面 垂直的转化 主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力 本题 可以利用空间向量来解题 从而降低了题目的难度 解 1 由ACBC D为AB的中点 得CDAB 又 1 CDAA 故 11 CDA ABB 面 所以点C到平面 11 A ABB的距离 为 22 5CDBCBD 2 如图 取 1 D为 11 AB的中点 连结 1 DD 则 111 DDAACC 又由 1 知 11 CDA ABB 面 故 1 CDAD 1 CDDD 所以 11 ADD 为所求的二面角 11 ACDC 的平面角 因 1 AD为 1 AC在面 11 A ABB上的射影 又已知 11 ABAC 由三垂线定理的逆定理得 用心 爱心 专心 11 ABAD 从而 111 A ABADA 都与 1 B AB 互余 因此 111 A ABADA 所以 111 Rt A ADRt B A A 因此 111 1 AAAB ADAA 即 2 111 8AAAD AB 得 1 2 2AA 从而 22 11 2 3ADAAAD 所以 在 11 Rt ADD 中 11 11 11 6 cos 3 DDAA ADD ADAD 33 2012 年高考 四川理 如图 在三棱锥PABC 中 90APB 60PAB ABBCCA 平面PAB 平面ABC 求直线 PC与平面ABC所成角的大小 求二面角BAPC 的大小 解析 1 连接 OC 由已知 ABCPCOCP与平面为直线 所成的角 设 AB 的中点为 D 连接 PD CD 因为 AB BC CA 所以 CD AB 因为为 所以 PADPABAPB 6090等边三角形 不妨设 PA 2 则 OD 1 OP 3 AB 4 所以 CD 23 OC 13121 22 CDOD 在 Rt中 OCP tan 13 39 13 3 OC OP OPC 故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan 13 39 2 过 D 作 DEAP 于 E 连接 CE 由已知可得 CD 平面 PAB 根据三垂线定理可知 CE PA 所以 的平面角 为二面角CAPBCED 由 1 知 DE 3 在 Rt CDE 中 tan2 DE CD CED 故 2arctan的大小为 二面角CAPB 点评 本小题主要考查线面关系 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考查思维 能力 空间想象能力 并考查应用向量知识解决数学问题的能力 34 2012 年高考 上海理 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 底面 ABCD E是PC的中点 已知AB 2 AD 22 PA 2 求 1 三角形PCD的面积 2 异面直线BC与AE所成的角的大小 解 1 因为PA 底面ABCD 所以PA CD 又AD CD 所以CD 平面PAD 从而CD PD 因为PD 32 22 2 22 CD 2 A B C P A B C D P E 用心 爱心 专心 所以三角形PCD的面积为32322 2 1 2 解法一 如图所示 建立空间直角坐标系 则B 2 0 0 C 2 22 0 E 1 2 1 1 2 1 AE 0 22 0 BC 设AE与BC的夹角为 则 2 2 222 4 cos BCAE BCAE 4 由此可知 异面直线BC与AE所成的角的大小是 4 解法二 取PB中点F 连接EF AF 则 EF BC 从而 AEF 或其补角 是异面直线 BC与AE所成的角 在AEF 中 由EF 2 AF 2 AE 2 知AEF 是等腰直角三角形 所以 AEF 4 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 4 35 2012 年高考 上海春 如图 正四棱柱 1111 ABCDA B C D 的底面边长为1 高为2 M为线段AB的中点 求 1 三棱锥 1 CMBC 的体积 2 异面直线CD与 1 MC所成角的大小 结果用反三角函数值表示 解 1 111 1 224 ABC S 又 1 CC为三棱锥 1 CMBC 的高 1 1 1111 2 3346 CMBCABC VSCC 2 CDAB 所以 1 C MB 或其补角为导面直线CD与 1 MC所成的角 连接 1 BCAB 平面 11 BCC BABBC 在 1 Rt MBC 中 1 1 4 15 2 BCMB 1 5 tan2 5 1 2 C MB 故 1 arctan2 5C MB 即异面直线CD与 1 MC所成的角为 arctan2 5 36 2012 年高考 陕西理 1 如图 证明命题 a是平面 内的一条直线 b是 外的一 条直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若ab 则ac 为真 2 写出上述 命题的逆命题 并判断其真假 不需要证明 解析 1 证法一 如图 过直线b上任一点作平面 的垂线n 设直线 a b c n的方向向量 AB CD A1 B1 C1D1 M A B C D P EF 用心 爱心 专心 分别是 a b c n 则 b c n 共面 根据平面向量基本定理 存在实数 使得cbn 则 a cabna ba n 因为ab 所以0a b 又因为a n 所以0a n 2 逆命题 a是平面 内一条直线 b是 外的一条直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若ac 则ab 逆命题为真命题 37 2012 年高考 山东理 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是等腰梯形 AB CD 60 DABFC 平面 ABCD AEBD CBCDCF 求证 BD 平面AED 求二面角FBDC 的余弦值 解析 在等腰梯形 ABCD 中 AB CD DAB 60 CB CD 由余弦定理可知 20222 3 180cos 2CDDABCBCDCBCDBD 即ADCDBD33 在ABD 中 DAB 60 ADBD3 则ABD 为直角三角形 且DBAD 又 AE BD AD平面 AED AE平面 AED 且AAEAD 故 BD 平面 AED 由 可知CBAC 设1 CB 则3 BDCA 建立如图所示的空间直角坐标 系 0 2 1 2 3 0 1 0 01 0 DBF 向量 1 0 0 n为平面BDC的一个法向量 设向量 zyxm 为平面BDF的法向量 则 0 0 FBm BDm 即 0 0 2 3 2 3 zy yx 取1 y 则1 3 zx 则 1 1 3 m为平面BDF的一个法向量 用心 爱心 专心 5 5 5 1 cos nm nm nm 而二面角 F BD C 的平面角为锐角 则二面角 F BD C 的 余 故 5 cos 5 FGC 因此二面角FBDC 的余弦值为 5 5 38 2012 年高考 辽宁理 如图 直三棱柱 ABCA B C 90BAC ABACAA 点M N分别为 A B和 B C的中点 证明 MN 平面 A ACC 若二面角 AMNC 为直二面角 求 的值 命题意图 本题主要考查线面平行的判定 二面角的计算 考查空间想象能力 运算求 解能力 是容易题 解析 1 连结 AB AC 由已知 90 BACAB AC 三棱柱 ABC ABC为直三棱柱 所以M为 AB中点 又因为N为 BC中点 所以 MN AC 又MN 平面 AACC AC 平面 AACC 因此 MNAACC平面 6 分 2 以A为坐标原点 分别以直线 AB AC AA为x轴 y轴 z轴建立直角坐标系 O xyz 如图所示 设 1 AA则 AB AC 于是 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1ABCABC 所以 1 0 1 222 2 MN 设 111 mx y z 用心 爱心 专心 是平面 AMN的法向量 由 0 0 m AM m MN 得 11 11 1 0 22 1 0 22 xz yz 可取 1 1 m 设 222 nx y z 是平面MNC的法向量 由 0 0 n NC n MN 得 222 22 0 22 1 0 22 xy z yz 可取 3 1 n 因为 A MN C为直二面角 所以 2 0 3 1 1 0m n 即 解得 2 12 分 点评 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定 借助空间直角坐标系求平 面的法向量的方法 并利用法向量判定平面的垂直关系 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 难度适中 第一小题可以通过线线平行来证明线面平行 也可通过面面平行来 证明 39 2012 年高考 江西理 在三棱柱 111 ABCABC 中 已知 1 5 4ABACAABC 在 1 A在底面ABC的投影是线段BC的中点O 1 证明在侧棱 1 AA上存在一点E 使得OE 平面 11 BBC C 并求出AE的长 2 求平 面 11 ABC与平面 11 BBC C夹角的余弦值 解析 1 证明 连接AO 在 1 AOA 中 作 1 OEAA 于点E 因为 11 AABB 得 1 OEBB 因为 1 AO 平面ABC 所以 1 AOBC 因为 ABAC OBOC 得AOBC 所以BC 平面 1 AAO 所以BCOE 所以OE 平面 11 BBC C By O C A E z A1 1 B1 C1 x 用心 爱心 专心 又 22 1 1 5AOABBOAA 得 2 1 5 5 AO AE AA 2 如图所示 分别以 1 OA OB OA所在的直线 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 A 1 0 0 C 0 2 0 A1 0 0 2 B 0 2 0 由 1 可知 1 1 5 AEAA 得点 E 的坐标为 42 0 55 由 1 可知平面 11 BBC C的法向量是 42 0 55 设平面 11 ABC的法向量 nx y z 由 1 0 0 nAB nAC 得 20 0 xy yz 令1y 得2 1xz 即 2 1 1 n 所以 30 cos 10 OEn OE n OEn 即平面平面 11 ABC与平面BB1C1C夹角的余弦 值是 30 10 点评 本题考查线面垂直 二面角 向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想 象的能力 高考中 立体几何解答题一般有以下三大方向的考查 一 考查与垂直 平行 有关的线面关系的证明 二 考查空间几何体的体积与表面积 三 考查异面角 线面角 二 面角等角度问题 前两种考查多出现在第 1 问 第 3 种考查多出现在第 2 问 对于角度问 题 一般有直接法与空间向量法两种求解方法 40 2012 年高考 江苏 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1111 ABAC DE 分别是棱 1 BCCC 上的点 点D 不同于点C 且ADDEF 为 11 BC的中点 求证 1 平面ADE 平面 11 BCC B 2 直线 1 AF平面ADE 答案 证明 1 111 ABCABC 是直三棱柱 1 CC 平面ABC 又 AD 平面ABC 1 CCAD 又 1 ADDECCDE 平面 111 BCC BCCDEE AD 平面 11 BCC B 又 AD 平面ADE 平面ADE 平面 11 BCC B 2 1111 ABAC F为 11 BC的中点 111 AFBC 用心 爱心 专心 又 1 CC 平面 111 ABC 且 1 AF 平面 111 ABC 11 CCAF 又 111 CCBC 平面 11 BCC B 1111 CCBCC 1 AF 平面 111 ABC 由 1 知 AD 平面 11 BCC B 1 AF AD 又 AD 平面 1 ADEAF 平面ADE 直线 1 AF平面ADE 41 2012 年高考 湖南理 如图 5 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AB 4 BC 3 AD 5 DAB ABC 90 E 是 CD 的中点 证明 CD 平 面 PAE 若直线 PB 与平面 PAE 所成