【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 第7章 直接证明与间接证明学案 苏教版

1 学案学案 3636 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 导学目标 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合 法的思考过程及特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 及特点 自主梳理 1 直接证明 1 综合法 定义 从已知条件出发 以 为依据 逐步下推 直到推出 所要证明的结论为止 这种证明方法叫做综合法 框图表示 其中P表示已知条件 Q表示要证 P Q1Q 1 Q2Q 2 Q3Qn Q 的结论 2 分析法 定义 从问题的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使 和 为止 这种证明方法叫做分析法 框图表示 Q P1P 1 P2P 2 P3得到一个明显成立的条件 2 间接证明 反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反 证法 自我检测 1 分析法是从要证的结论出发 寻求使它成立的 条件 填 充分 必要 或 充要 2 2010 揭阳高三统考 用反证法证明 如果a b 那么 的假设内容应是 3 a 3 b 3 设a b c是互不相等的正数 则下列不等式中不恒成立的是 填序号 a c a b c b a2 a 1 a2 1 a 0 则 与 的大小关系为 a b2 b a2 1 a 1 b 5 2010 东北三省四市联考 设x y z R R a x b y c z 证明 1 y 1 z 1 x a b c中至少有一个不小于 2 2 探究点一 综合法 例 1 已知a b c都是实数 求证 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 1 3 变式迁移 1 设a b c 0 证明 a b c a2 b b2 c c2 a 探究点二 分析法 例 2 若a b c是不全相等的正数 求证 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 变式迁移 2 已知a 0 求证 a 2 a2 1 a22 1 a 探究点三 反证法 例 3 若x y都是正实数 且x y 2 求证 2 与 a2b ab2 2ab 成立 证明 abab 时注意提取公因式及配方法的运用 答题模板 1 解 由题意得 1 x2 1 即x2 1 1 或x2 1 1 2 分 由x2 1 1 得x2 2 即x 或x 22 由x2 1 1 得x 综上可知x的取值范围为 4 分 22 2 证明 由题意知即证 成立 8 分 a3 b3 2ab ab a2b ab2 2ab ab a b 且a b都为正数 a b a3 b3 2ab ab a3 2 b3 2 2a3b3 a3 b3 2 ab 2 a2b ab2 2ab ab ab a b 2ab ab 2 a b 2 10 分 abba 即证 a b 2 a b 2 0 abba 即证 a b a b a b a b 0 abbaabba 需证 0 12 分 a b a b a b a b 即证 a b a b 2 0 a b都为正数且a b 上式成立 故原命题成立 14 分 突破思维障碍 1 准确理解题意 提炼出相应不等式是解决问题的关键 2 代数式 a3 b3 2ab 与 a2b ab2 2ab 中的绝对值符号去掉为后续等价变 abab 形提供了方便 易错点剖析 1 推理论证能力较差 绝对值符号不会去 2 运用能力较差 不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错 1 综合法是从条件推导到结论的思维方法 它是从已知条件出发 经过逐步的推理 最后达到待证的结论 即由因导果 2 分析法是从待证结论出发 一步一步地寻求结论成立的充分条件 最后达到题设的 已知条件或已被证明的事实 即执果索因 用分析法寻找解题思路 再用综合法书写 这 样比较有条理 叫分析综合法 3 用反证法证明问题的一般步骤 4 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原结论的反面为真 否定结论 2 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 推 导矛盾 3 存真 由矛盾结果断定反设不真 从而肯定原结论成立 结论成立 满分 90 分 一 填空题 每小题 6 分 共 48 分 1 用反证法证明命题 若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理数根 那么a b c中至少有一个是偶数 假设内容应为 2 2010 无锡模拟 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 1 2 a b 2 3 a b 2 4 a2 b2 2 5 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于 1 的条件是 填序号 3 设a b c 0 P a b c Q b c a R c a b 则 PQR 0 是 P Q R同时大于零 的 条件 4 2010 安徽 若a 0 b 0 a b 2 则下列不等式对一切满足条件的a b恒成 立的是 写出所有正确命题的序号 ab 1 a2 b2 2 a3 b3 3 ab2 2 1 a 1 b 5 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A2B2C2是 三角形 填 锐角 钝角 或 直角 6 2010 江苏前黄高级中学模拟 某同学准备用反证法证明如下一个问题 函数f x 在 0 1 上有意义 且f 0 f 1 如果对于不同的x1 x2 0 1 都有 f x1 f x2 x1 x2 求证 f x1 f x2 0 求证 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 1 3 5 11 14 分 已知a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 1 4 学案学案 3636 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 答案答案 自主梳理 1 1 已知的定义 公理 定理 2 结论成立的条件 已知条件或已知事实吻合 2 不成立 矛盾 自我检测 1 充分 解析 由分析法的定义可知 2 3 a 3 b 解析 的否定是 3 a 3 b 3 a 3 b 3 解析 选项成立时需得证a b 0 中 a b c b a b c b a c 作差可证 移项平方可证 4 a b2 b a2 1 a 1 b 解析 a b2 b a2 1 a 1 b a b b2 b a a2 a b 1 b2 1 a2 a b a b 2 a2b2 a b 0 a b 2 0 0 a b a b 2 a2b2 a b2 b a2 1 a 1 b 5 证明 假设a b c均小于 2 则a b c0 根据基本不等式 有 b 2a c 2b a 2c a2 b b2 c c2 a 三式相加 a b c 2 a b c a2 b b2 c c2 a 即 a b c a2 b b2 c c2 a 例 2 解题导引 当所给的条件简单 而所证的结论复杂 一般采用分析法 含有根 号 对数符号 绝对值的不等式 若从题设不易推导时 可以考虑分析法 证明 要证 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 只需证 lg lg a b c a b 2 b c 2 c a 2 只需证 abc 中间结果 a b 2 b c 2 c a 2 因为a b c是不全相等的正数 则 0 0 0 a b 2ab b c 2bc c a 2ca 且上述三式中的等号不全成立 所以 abc 中间结果 a b 2 b c 2 c a 2 所以 lg lg lg lg a lg b lg c a b 2 b c 2 c a 2 变式迁移 2 证明 要证 a 2 a2 1 a22 1 a 只要证 2 a a2 1 a2 1 a2 a 0 故只要证 2 2 a2 1 a2 2 a 1 a 2 即a2 4 4 1 a2 a2 1 a2 a2 2 2 2 1 a22 a 1 a 从而只要证 2 a2 1 a22 a 1 a 只要证 4 2 a2 1 a2 a2 2 1 a2 7 即a2 2 而该不等式显然成立 故原不等式成立 1 a2 例 3 解题导引 1 当一个命题的结论是以 至多 至少 惟一 或以否定形 式出现时 宜用反证法来证 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是 与 已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与事实矛盾等方面 反证 法常常是解决某些 疑难 问题的有力工具 是数学证明中的一件有力武器 2 利用反证法证明问题时 要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理 否则 将出现循环论证的错误 证明 假设 2 和0 且y 0 所以 1 x 2y 且 1 y 2x 两式相加 得 2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知条件x y 2 相矛盾 因此 2 与0 x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 式与 式矛盾 假设不成立 即a b c中至少有一个大于 0 课后练习区 1 假设a b c都不是偶数 2 3 解析 若a b 则a b 1 1 2 2 3 但a 1 b2 故 4 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 5 推不出 对于 3 即a b 2 则a b中至少有一个大于 1 反证法 假设a 1 且b 1 则a b 2 与a b 2 矛盾 因此假设不成立 故a b中至少有一个大于 1 3 充要 解析 必要性是显然成立的 当PQR 0 时 若P Q R不同时大于零 则其中两个为 负 一个为正 不妨设P 0 Q 0 R 0 则Q R 2c0 矛盾 即充分性也成 立 4 解析 ab 2 1 成立 a b 2 欲证 ab2 即证a b 2 2 即 2 0 显然不成立 abab 8 欲证a2 b2 a b 2 2ab 2 即证 4 2ab 2 即ab 1 由 知成立 a3 b3 a b a2 ab b2 3 a2 ab b2 a b 2 3ab 3 2 3 2 4 3ab ab 由 知 ab 不恒成立 3 2 5 6 5 6 欲证 2 1 a 1 b 即证 2 即ab 1 由 知成立 a b ab 5 钝角 解析 由条件知 A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0 则 A1B1C1是锐角三角形 假设 A2B2C2是锐角三角形 由Error 得Error 那么 A2 B2 C2 2 这与三角形内角和为 相矛盾 所以假设不成立 所以 A2B2C2是钝角三角形 6 x1 x2 0 1 使得 f x1 f x2 0 a2 b2 a b 2ab a b 3 分 a3 b3 a2b ab2 2ab a b 2a2b 2ab2 a3 b3 a2b ab2 7 分 同理 b3 c3 b2c bc2 a3 c3 a2c ac2 将三式相加得 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 a2c ac2 10 分 3 a3 b3 c3 a3 a2b a2c b3 b2a b2c c3 c2a c2b a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a b c 14 分 1 3 9 11 证明 方法一 假设三式同时大于 1 4 即 1 a b 1 b c 1 c a 3 分 1 4 1 4 1 4 a b c 0 1 三式同向相乘得 1