【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 第1章 命题及其关系、充分条件与必要条件学案 苏教版

1 学案学案 2 2 命题及其关系 充分条件与必要条件命题及其关系 充分条件与必要条件 导学目标导学目标 1 能写出一个命题的逆命题 否命题 逆否命题 会分析四种命题的相互 关系 2 理解必要条件 充分条件与充要条件的含义 自主梳理 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的语句叫做命题 其中判断为真的语句叫 做真命题 判断为假的语句叫做假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题 一般地 用p和q分别表示原命题的条件和结论 用綈p和綈q分别表示p和q的否 定 于是四种命题的形式就是 原命题 若p则q p q 逆命题 若q则p q p 否命题 若綈p则綈q 綈p 綈q 逆否命题 若綈q则綈p 綈q 綈p 2 四种命题间的关系 3 四种命题的真假性 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 两个命题为逆命题或否命题 它们的真假性没有关系 3 充分条件与必要条件 若p q 则p叫做q的充分条件 若q p 则p叫做q的必要条件 如果p q 则p 叫做q的充要条件 自我检测 1 2011 南京模拟 设集合A B x 0 x 3 那么 m A 是 x x x 1 0 m B 的 条件 答案 充分不必要 解析 A x 0 x 1 x x x 1 0 B x 0 xb d q a b且c d p a 1 b 1 q f x ax b a 0 且a 1 的图象不过第二象限 p x 1 q x2 x p a 1 q f x logax a 0 且a 1 在 0 上为增函数 答案 2 解析 中 由于a b c d a c b d 而a c b d却不一定推出a b c d 故 中p是q的必要不充分条件 中 当a 1 b 1 时 函数f x ax b不过第二象 限 当f x ax b不过第二象限时 有a 1 b 1 故 中p是q的充分不必要条 件 中 因为x 1 时有x2 x 但x2 x时不一定有x 1 故 中p是q的充分不 必要条件 中p是q的充要条件 3 设a a b b都是非零向量 那么命题 a a与b b共线 是命题 a a b b a a b b 的 条件 答案 必要不充分 解析 a a b b a a b b a a b b同向 a a与b b共线 反之 当a a与b b共线时 不一定 有 a a b b a a b b 故a a与b b共线是 a a b b a a b b 的必要不充分条件 4 与命题 若a M 则b M 等价的命题是 答案 若b M 则a M 解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题 所以只需写出原命题的逆否命题即可 5 给出下列命题 原命题为真 它的否命题为假 原命题为真 它的逆命题不一定为真 一个命题的逆命题为真 它的否命题一定为真 一个命题的逆否命题为真 它的否命题一定为真 若m 1 则mx2 2 m 1 x m 3 0 的解集为 R R 的逆命题 其中真命题是 把你认为正确命题的序号都填在横线上 答案 解析 原命题为真 而它的逆命题 否命题不一定为真 互为逆否命题同真同假 故 错误 正确 又因为不等式mx2 2 m 1 x m 3 0 的解集为 R R 由Error Error m 1 故 正确 探究点一探究点一 四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系 例 1 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 1 实数的平方是非负数 2 等底等高的两个三角形是全等三角形 3 弦的垂直平分线经过圆心 并平分弦所对的弧 解题导引 给出一个命题 判断其逆命题 否命题 逆否命题等的真假时 如果直接 判断命题本身的真假比较困难 则可以通过判断它的等价命题的真假来确定 解 1 逆命题 若一个数的平方是非负数 则这个数是实数 真命题 否命题 若一个数不是实数 则它的平方不是非负数 真命题 逆否命题 若一个数的平方不是非负数 则这个数不是实数 真命题 2 逆命题 若两个三角形全等 则这两个三角形等底等高 真命题 否命题 若两个三角形不等底或不等高 则这两个三角形不全等 真命题 逆否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不等底或不等高 假命题 3 逆命题 若一条直线经过圆心 且平分弦所对的弧 则这条直线是弦的垂直平分 线 真命题 否命题 若一条直线不是弦的垂直平分线 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的 弧 真命题 逆否命题 若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧 则这条直线不是弦的垂直平 分线 真命题 3 变式迁移 1 有下列四个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 全等三角形的面积相等 的否命题 若q 1 则x2 2x q 0 有实根 的逆否命题 不等边三角形的三个内角相等 的逆命题 其中真命题的序号为 答案 解析 的逆命题是 若x y互为相反数 则x y 0 真 的否命题是 不全 等的三角形的面积不相等 假 若q 1 则 4 4q 0 所以x2 2x q 0 有 实根 其逆否命题与原命题是等价命题 真 的逆命题是 三个内角相等的三角形是不等边三角形 假 探究点二探究点二 充要条件的判断充要条件的判断 例 2 给出下列命题 试分别指出p是q的什么条件 1 p x 2 0 q x 2 x 3 0 2 p 两个三角形相似 q 两个三角形全等 3 p m 2 q 方程x2 x m 0 无实根 4 p 一个四边形是矩形 q 四边形的对角线相等 解 1 x 2 0 x 2 x 3 0 而 x 2 x 3 0 x 2 0 p是q的充分不必要条件 2 两个三角形相似两个三角形全等 但两个三角形全等 两个三角形相似 p是q的必要不充分条件 3 m 2 方程x2 x m 0 无实根 方程x2 x m 0 无实根m 2 p是q的充分不必要条件 4 矩形的对角线相等 p q 而对角线相等的四边形不一定是矩形 qp p是q的充分不必要条件 变式迁移 2 下列各小题中 p是q的充要条件的是 填序号 p m6 q y x2 mx m 3 有两个不同的零点 p 1 q y f x 是偶函数 f x f x p cos cos q tan tan p A B A q UB UA 答案 解析 q y x2 mx m 3 有两个不同的零点 q m2 4 m 3 0 q m6 p 当f x 0 时 由qp 若 k k Z Z 时 显然 cos 2 cos 但 tan tan p A B A p A B q UA UB 故 符合 题意 探究点三探究点三 充要条件的证明充要条件的证明 例 3 设a b c为 ABC的三边 求证 方程x2 2ax b2 0 与x2 2cx b2 0 有 公共根的充要条件是 A 90 解题导引 有关充要条件的证明问题 要分清哪个是条件 哪个是结论 由 条件 结论 是证明命题的充分性 由 结论 条件 是证明命题的必要性 证明 要分两个环节 一是充分性 二是必要性 证明 1 必要性 设方程x2 2ax b2 0 与x2 2cx b2 0 有公共根x0 则x 2ax0 b2 0 x 2cx0 b2 0 2 02 0 4 两式相减可得x0 将此式代入x 2ax0 b2 0 b2 c a2 0 可得b2 c2 a2 故 A 90 2 充分性 A 90 b2 c2 a2 b2 a2 c2 将 代入方程x2 2ax b2 0 可得x2 2ax a2 c2 0 即 x a c x a c 0 将 代入方程x2 2cx b2 0 可得x2 2cx c2 a2 0 即 x c a x c a 0 故两方程有公共根x a c 所以方程x2 2ax b2 0 与x2 2cx b2 0 有公共根的充要条件是 A 90 变式迁移 3 已知ab 0 求证 a b 1 的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 证明 1 必要性 a b 1 a b 1 0 a3 b3 ab a2 b2 a b a2 ab b2 a2 ab b2 a b 1 a2 ab b2 0 2 充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b 1 a2 ab b2 0 又ab 0 a 0 且b 0 a2 ab b2 a 2 b2 0 b 2 3 4 a b 1 0 即a b 1 综上可知 当ab 0 时 a b 1 的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 转化与化归思想转化与化归思想 例 14 分 已知两个关于x的一元二次方程mx2 4x 4 0 和 x2 4mx 4m2 4m 5 0 且m Z Z 求两方程的根都是整数的充要条件 答题模板 解 mx2 4x 4 0 是一元二次方程 m 0 2 分 另一方程为x2 4mx 4m2 4m 5 0 两方程都要有实根 Error 解得m 1 6 5 4 分 两根为整数 故和与积也为整数 Error 10 分 m为 4 的约数 m 1 或 1 当m 1 时 第一个方程x2 4x 4 0 的根为非整数 而当m 1 时 两方程均为整数根 两方程的根均为整数的充要条件是m 1 14 分 突破思维障碍 本题涉及到参数问题 先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单 熟悉的问题解决 两方程有实根易想 0 求出m的范围 要使两方程根都为整数可转化为它们的两根 之和与两根之积都是整数 5 易错点剖析 易忽略一元二次方程这个条件隐含着m 0 不易把方程的根都是整数转化为两根之和 与两根之积都是整数 1 研究命题及其关系时 要分清命题的题设和结论 把命题写成 如果 那 么 的形式 当一个命题有大前提时 必须保留大前提 只有互为逆否的命题才 有相同的真假性 2 在解决充分条件 必要条件等问题时 要给出p与q是否可以相互推出的两次判断 同时还要弄清是p对q而言 还是q对p而言 还要分清否命题与命题的否定的区 别 3 本节体现了转化与划归的数学思想 满分 90 分 一 填空题 每小题 6 分 共 48 分 1 2010 天津模拟 给出以下四个命题 若ab 0 则a 0 或b 0 若a b 则am2 bm2 在 ABC中 若 sin A sin B 则A B 在一元二次方程ax2 bx c 0 中 若b2 4acb 是 a b 的充分条件 a 5 是 ab 是 a b 的既不充分也不必要条件 3 2009 北京改编 2k k Z Z 是 cos 2 的 条 6 1 2 件 答案 充分不必要 解析 由 2k k Z Z 可得到 cos 2 6 1 2 由 cos 2 得 2 2k k Z Z 1 2 3 k k Z Z 6 所以 cos 2 不一定得到 2k k Z Z 1 2 6 4 2010 徐州模拟 关于命题 若抛物线y ax2 bx c的开口向下 则 x ax2 bx c 0 的逆命题 否命题 逆否命题中正确的个数为 答案 1 6 解析 对于原命题 若抛物线y ax2 bx c的开口向下 则 x ax2 bx c 0 这是一个真命题 所以其逆否命题也为真命题 但其逆命题 若 x ax2 bx c 0 则抛物线y ax2 bx c的开口向下 是一个假命题 因为当 不等式ax2 bx c0 即抛物线的开口可以向上 因此否 命题也是假命题 5 2011 扬州模拟 集合A x x 4 x R R B x x5 的 条件 答案 必要不充分 解析 A x 4 x 4 若A B 则a 4 a 4a 5 但a 5 a 4 6 x1 0 且x2 0 是 x1 x2 0 且x1x2 0 的 条件 答案 充要 7 2011 镇江模拟 已知p x 1 y 2 0 q x 1 2 y 2 2 0 则p是q 的 条件 答案 必要不充分 解析 由 x 1 y 2 0 得x 1 或y 2 由 x 1 2 y 2 2 0 得x 1 且 y 2 所 以由q能推出p 由p推不出q 所以填必要不充分条件 8 已知p x x2 2x m 0 如果p 1 是假命题 p 2 是真命题 则实数m的取值范 围为 答案 3 8 解析 因为p 1 是假命题 所以 1 2 m 0 解得m 3 又因为p 2 是真命题 所以 4 4 m 0 解得m 8 故实数m的取值范围是 3 m 8 二 解答题 共 42 分 9 12 分 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 若q 1 则方程x2 2x q 0 有实根 2 若ab 0 则a 0 或b 0 3 若x2 y2 0 则x y全为零 解 1 逆命题 若方程x2 2x q 0 有实根 则q 1 为假命题 否命题 若q 1 则方程x2 2x q 0 无实根 为假命题 逆否命题 若方程x2 2x q 0 无实根 则q 1 为真命题 4 分 2 逆命题 若a 0 或b 0 则ab 0 为真命题 否命题 若ab 0 则a 0 且b 0 为真命题 逆否命题 若a 0 且b 0 则ab 0 为真命题 8 分 3 逆命题 若x y全为零 则x2 y2 0 为真命题 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为零 为真命题 逆否命题 若x y不全为零 则x2 y2 0 为真命题 12 分 10 14 分 2011 连云港模拟 设p 实数x满足x2 4ax 3a2 0 其中a0 且綈p是綈q的必要不充分条件 求a的取 值