【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第四章 第1节函数与方程(第2课时)目标导学 北师大版必修1

1 1 21 2 利用二分法求方程的近似解利用二分法求方程的近似解 1 根据具体函数的图像 借助计算器用二分法求相应方程的近似解 2 学习利用二分法求方程近似解的过程和方法 1 二分法的概念 对于图像在区间 a b 上连续不断且满足f a f b 0 的函数y f x 每次取区 间的 将区间 再经比较 按需要留下其中一个小区间的方法称为 二分法 二分就是平均分成两部分 二分法就是通过不断地将所选区间一分为二 逐步找到零 点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点 做一做 已知函数f x x3 x2 2x 2 f 1 f 2 0 用二分法逐次计算时 若x0是 1 2 的中点 则f x0 2 用二分法求方程的近似解的过程 过程如图所示 在图中 初始区间 是一个两端函数值 号的区间 M 的含义是 取新区间 一个端点是原区间的 另一端是原区间两端 点中的一个 新区间两端点的函数值反号 N 的含义是 方程解满足要求的 P 的含义是 选取区间内的任意一个数作为方程的近似解 2 在二分法求方程解的步骤中 初始区间的选定 往往需要通过分析函数的 和 初始区间可以选得不同 不影响最终计算结果 函数连续值两端 相乘为负有零点 区间之内有一数 方程成立很显然 要求方程近似解 先看零点的区间 每次区间分为二 分后两端近零点 答案 答案 1 中点 一分为二 做一做 0 625 2 中点 零 反 中点 精度 性质 试验估计 用二分法求方程的近似解需注意什么 剖析 剖析 用二分法求方程的近似解要注意的问题 1 要看清题目要求的精度 它决定着二分法步骤的结束 2 初始区间的选定一般在两个整数间 不同的初始区间结果是相同的 但二分的次数 却相差较大 3 用二分法求出的零点一般是零点的近似值 但并不是所有函数都可以用二分法求零 点 必须满足在区间 a b 上连续不断且f a f b 0 这样条件的函数才能用二分法求 得零点的近似值 题型一 函数零点的性质 例 1 函数f x x3 2x2 3x 6 在区间 2 4 上的零点必定在 A 2 1 内 B 4 内C 1 内 D 内 5 2 7 4 7 4 5 2 分析 分析 按二分法的顺序是计算f 1 f 等进行 但数据计算较麻烦 2 4 内的 5 2 整数较多 选易计算的整数求解 反思 反思 用二分法求函数的近似零点 是取中点求函数值 看符号 确定新区间 再取 中点求函数值等依次进行下去 有时从计算速度上考虑 首先把整数代入计算会更快一些 如f 0 f 1 题型二 求方程的近似解 例 2 求方程 lgx 2 x 1 0 的近似解 精度为 0 1 分析 分析 先确定f x lgx 2 x 1 的零点所在的大致区间 再用二分法求解 反思 反思 求方程近似解的步骤 1 构造函数 利用图像或单调性确定方程解所在的大致 区间 通常限制在区间 n n 1 n Z Z 2 利用二分法求出满足精度的方程解所在的区 间M 3 写出方程的近似解 题型三 用二分法证明方程根的分布 例 3 已知函数f x 3ax2 2bx c a b c 0 f 0 0 f 1 0 证明 a 0 并利用二分法证明方程f x 0 在 0 1 内有两个实根 分析 分析 f 0 0 f 1 0 只需在 0 1 内找到一个点的函数值小于零即可 3 反思 反思 根据二分法 若f 0 不成立 可计算f是否为负 若还不成立 再计算 1 2 1 4 f是否为负 总之 在区间 0 1 内找到一个分点 使对应函数值为负即可 3 4 题型四 二分法的实际应用 例 4 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故 障 这是一条 10 km 长的线路 如何迅速查出故障所在 如果沿着线路一小段一小段地查 找 困难很多 每查一个点要爬一次电线杆 10 km 长 大约有 200 多根电线杆呢 想一 想 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 分析 分析 先检查中间一根电线杆 则将故障的范围缩小一半 再用同样方法依次检查下 去 反思 反思 这种检查线路故障的方法 就是二分法的应用 二分法不仅可用于查找线路 水管 气管故障 还可用于实验设计 资料查询 也是求根的常用方法 答案 答案 例 1 D 解 解 f 0 6 0 f 1 4 0 f 2 0 故 2 为一零点在 1 3 内 只有 D 选项满足 例 2 解 解 令f x lgx 2 x 1 函数f x 的定义域为 0 因为函数f x 在 0 上是增函数 证明略 所以f x 至多有一个零点 又因为f 1 0 5 0 f 0 1 0 933 032 992 0 所以方程在 0 1 1 内有唯一一个实数解 使用二分法求解 如下表 次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值 第 1 次 0 1 0 933 032 992 10 5 第 2 次 0 1 0 933 032 992 0 550 057 342 561 第 3 次 0 325 0 286 415 025 0 550 057 342 561 第 4 次 0 437 5 0 097 435 016 0 550 057 342 561 第 5 次 0 493 75 0 016 669 624 0 550 057 342 561 由于区间 0 493 75 0 55 的区间长度为 0 056 25 它小于 0 1 因此 我们可以选取 这一区间内的任意一个数作为方程 lg x 2 x 1 0 的近似解 例如 选取 0 5 作为方程 lg x 2 x 1 0 的一个近似解 例 3 解 解 f 1 0 3a 2b c 0 即 3 a b c b 2c 0 a b c 0 b 2c 0 则 b c c 即a c f 0 0 c 0 则a 0 在 0 1 内选取二等分点 1 2 则f a b c a a a 0 1 2 3 4 3 4 1 4 f 0 0 f 1 0 f x 在区间 0 和 1 内分别存在一个零点 又二次方程f x 0 最多有两个 1 2 1 2 实根 方程f x 0 在 0 1 内有两个实根 4 例 4 解 解 如图 他首先从中点C查 用随身带的话机向两端测试时 发现AC段 正常 断定故障在BC段 再到BC段中点D 这次发现BD段正常 可见故障在CD段 再 到CD段中点去查 每查一次 可以把待查的线路长度缩减一半 要把故障可能发生的范围缩小到 50 m 至 100 m 即一两根电线杆附近 只要检查 7 次就够了 1 下列图像与x轴均有交点 其中不能用二分法求函数零点的是 2 下列函数中 必须用二分法求其零点的是 A y x 7 B y 5x 1 C y log3x D y 1 2 x x 3 用二分法求函数y f x 在区间 2 4 上的零点 验证f 2 f 4 0 给定精度 0 01 取区间 2 4 的中点 x1 计算得f 2 f x1 0 则此时零点 24 3 2 x0 填区间 4 用二分法研究函数f x x3 3x 1 的零点时 第一次经计算f 0 0 f 0 5 0 可得其中一个零点x0 第二次应计算 这时可判断 x0 5 求方程 ln x x 3 0在 2 3 内的近似解 精确到 0 1 答案 答案 1 A 2 D D 选项中无法解方程 则必须用二分法求零点 1 0 2 x x 3 2 3 f 2 f 3 0 x0 2 3 4 0 0 5 f 0 25 0 25 0 5 由二分法知x0 0 0 5 取x1 0 25 这时 f 0 25 0 253 3 0 25 1 0 故x0 0 25 0 5 5 5 分析 分析 借助于计算器 利用二分法求解 解 解 令f x lnx x 3 即求函数f x 在 2 3 内的零点 因为f 2 ln2 1 0 f 3 ln3 0 即 2 3 作为初始区间 用二分法列表如下 次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值 第 1 次 2 0 306 85 31 098 61 第 2 次 2 0 306 85 2 50 416 29 第 3 次 2 0 306 85 2